【正文】 確定 ? ? ? ? ? ?titkXtkXintiR inkX ??????? ??? 11tnT ??t???tXttnT ??122 方法 2：利用積分器，即連續(xù)型相關(guān)函數(shù)測量儀 ? ? ? ? ? ????? ?? T TTX dttXtXTR ?? 2 1l i m利用電路實現(xiàn)下式 相乘器 可變延遲 τ 積分器 ??tX ? ??XR?123 兩個隨機(jī)信號間的聯(lián)合平穩(wěn)和聯(lián)合遍歷 基本要求： ? 兩個隨機(jī)信號的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù) 的定義。 ? 兩個隨機(jī)信號聯(lián)合平穩(wěn)的定義及判斷。 ? 兩個隨機(jī)信號聯(lián)合遍歷的定義及判斷。 ? 復(fù) 隨機(jī)信號的定義及數(shù)字特征的計算。 124 兩個隨機(jī)信號 和 ，如果： )(tX )(tY? 和 分別寬平穩(wěn) )(tX )(tY? 互相關(guān)函數(shù)僅為時間差 的函數(shù)，與時間 t 無關(guān) 即 ?則稱 和 為聯(lián)合寬平穩(wěn)。 )(tX )(tY)(),( 21 ?XYXY RttR ? 12 tt ??? 125 2. 互協(xié)方差與互相關(guān)系數(shù) 當(dāng)兩個隨機(jī)信號聯(lián)合平穩(wěn)時，它們的互協(xié)方差 )()(),( 1221 ?XYXYXY KttKttK ???互相關(guān)系數(shù) YXYXXYYXXYXYmmRKKKr????? ??? )()0()0()()(126 3. 聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)信號的互相關(guān)與互協(xié)方差 互相關(guān)函數(shù)的影像關(guān)系 (2) ? ?2211( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )22XY X Y X Y X YK K K K K? ? ?? ? ? ? ?????127 兩個隨機(jī)信號 和 ，如果： )(tX )(tY? 和 聯(lián)合寬平穩(wěn) )(tX )(tY? 定義它們的時間互相關(guān)函數(shù)為： 若 依概率 1收斂于互相關(guān)函數(shù) )(?XYR)(?XY?則稱 和 具有聯(lián)合寬遍歷性。 )(tX )(tY即 )()]()([)()()( ???XYXY RtYtXEtYtXt ?????????? ????? T TTXY dttYtXTtYtXt )()(2 1l i m)()()( ??聯(lián)合寬遍歷 128 平穩(wěn)隨機(jī)信號 X(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為： 故這兩個隨機(jī)信號是平穩(wěn)相依的 。 設(shè)兩個平穩(wěn)隨機(jī)信號 ( ) c o s ( )X t t? ? ? ( ) s in ( )Y t t? ? ?試問： X(t)和 Y(t)是否平穩(wěn)相依 ？ 是否正交 、 不相關(guān) 、統(tǒng)計獨立 ？ 例 1 ( ) [ ( ) ] [ c os( ) ] 0Xm t E X t E t? ? ? ? ?故 KXY(τ)僅在 時等于零 ， 所以 X(t1)和 Y(t2)是相關(guān)的 ， 因而它們不是統(tǒng)計獨立的 。 ?? n??解： ? ?? ? ? ? ? ?? ?????????? ??? ttEtYtXEttR XY s i nc os)(),(? ?? ? ? ?? ??????????? 222s i n21s i n21s i n222s i n21 ???? tEtE? ??? XYR?? s in21? ? ? ?? ? 0?? tYtm Y)()(),(),( ??? ????? tmtmttRttK YXXYXY ?sin21?129 必須首先判斷隨機(jī)信號 X(t)和 Y(t)的平穩(wěn)性以及它們的聯(lián)合平穩(wěn)性 。 解： 設(shè)兩個隨機(jī)信號 其中 a、 b、 w為常數(shù) ， 例 2 ? ? ? ???? wtatX c o s ? ? ? ???? wtatY s in? 在 (0, 2π)之間均勻分布 ， 討論 X(t)和 Y(t)是否聯(lián)合遍歷 ？ ? ? ? ?? ???? wtaEtm X c o s ? ?? ?? ? ???20 c o s21 dwta 0?? ? ? ? ? ?? ?? ????? ????? twawtaEttR X c o sc o s, ?wa co s22?因此 X(t)是平穩(wěn)的。 ? ? ? ?? ???? wtbEtm Y s in ? ?? ?? ? ???20 s i n21 dwtb 0?? ? ? ? ? ?? ?? ????? ????? twbwtbEttR Y s i ns i n, ?wb s in22?因此 Y(t)是平穩(wěn)的。 ? ? ? ? ? ?? ?? ????? ????? twbwtaEttR XY s i nc os, ?wab s in2?因此 X(t)和 Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的。 130 ? ? ? ? ? ?? ?dttwbwtatYtXtt T TTXY ???? ???????? ????? s i nc o sl i m)()(,?wab s in2? ? ??XYR?因此 X(t)和 Y(t)是聯(lián)合遍歷的。 131 理想的寬帶信號 —— 脈沖信號（白噪聲） 理想的窄帶信號 —— 單頻率的正弦波信號 正態(tài)隨機(jī)信號 馬爾可夫鏈 典型的隨機(jī)信號 132 理想的寬帶信號 脈沖信號 0)()()( 2??tmRXX ????133 理想的窄帶信號 正弦波信號 ???????????????????????MkkkkXMkkkXkkkXkkXMkkkkMkkASmAmRASmAmRnAnXnXkk12122211)]()([2)(c o s2)()]()([2)(c o s2)()s i n ()()(????????????????????134 一、 正態(tài)隨機(jī)信號的一般概念 如果隨機(jī)信號 X(t)的任意 n維概率分布都是正態(tài)分布 ，則稱它為正態(tài)隨機(jī)信號 (高斯隨機(jī)信號 ) 正態(tài)隨機(jī)信號 正態(tài)隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)由它的一、二階矩（均值、方差和相關(guān)系數(shù)完全決定）。 135 概率密度函數(shù) ?????? ?????2)()(e xp)2(1),。,(12122121XTXnnnX tttxxxfmXKmXK???? ? ? ? ? ? ? ?)])([( kXkiXiik tmtXtmtXEK ??????????????????nnnnnnKKKKKKKKK???????212222111211K? ? ? ??????????????????????????]))()([())]()())(()([())]()())(()([())]()())(()([())]()())(()([(])[(21122112211211nXnXnXnnXnXXXnXnXXtmtXEtmtXtmtXEtmtXtmtXEtmtXtmtXEtmtXtmtXEtmtXE??????式中 ,mX是 n維向量， K是 n維陣： 136 二 、平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號 2. 平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號的定義 若正態(tài)隨機(jī)信號滿足下列條件，則它是寬平穩(wěn)（平穩(wěn)）正態(tài)隨機(jī)信號。 ,)( XX mtm ?)()(),( 1221 ?XXX RttRttR ??? ?137 2. 平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號的 n維概率密度 平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號一、二維概率密度表達(dá)式 222)(21)( XXmxXX exf??????? ? ?????????????????)(12)())()((2)(e x p)(121)。,(222221212221???????rmxmxmxrmxrxxfXXXXXXX138 三、 正態(tài)隨機(jī)信號的性質(zhì) 正態(tài)隨機(jī)信號的 n維概率密度完全由它的均值集合，協(xié)方差函數(shù)集合所確定。 性質(zhì) 1： 性質(zhì) 2： 正態(tài)隨機(jī)信號的嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。 139 性質(zhì) 4：平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號與確定信號之和仍為正態(tài)分布。 若正態(tài)隨機(jī)信號 X(t) 在 T上均方可微，則其導(dǎo)數(shù) X(t)也是正態(tài)隨機(jī)信號。 性質(zhì) 5： 若正態(tài)隨機(jī)信號 X(t) 在 T上均方可積，則積分隨機(jī)信號 性質(zhì) 6： 也是正態(tài)隨機(jī)信號。 ( ) ( )taY t X d??? ?( ) ( ) ( , )baY t X h t d? ? ?? ?,a t T?,b t T?正態(tài)隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)隨機(jī)信號。 性質(zhì) 7： 推論： 正態(tài)隨機(jī)信號的線性變換仍為正態(tài)隨機(jī)信號。 140 ? ? ? ? 010 ???????? ? dttXEYE例 . 設(shè) X(t)是一個均值為零的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號，自相 關(guān)函數(shù)為 ? ??? ?? eR X求隨機(jī)變量 的概率密度。 ? ??? 10 dttXY解： 由題知 Y是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?????????????? ? ??? 110 210 21210 2110 12 dtdttXtXEdttXdttXEYE? ? ? ?? ? ??????? ? ? 110 210 21 dtdttXtXE ? ?? ?? 10 10 2121 , dtdtttR X? ? ??? 10 10 2112 dtdte tt141 ? ? ??10 10 2112 dtdte tt ? ? ? ?? ?? ?????? ?? ???10 211102122 12 dtdtedtetttt tt? ?? ??? 10 2222 dte t 12 ?? e? ? ???????? ???? 121 4e x p41eyeyf Y?例 . 設(shè) X(t)是一個均值為零的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號，自相 關(guān)函數(shù)為 ? ??? ?? eR X求隨機(jī)變量 的概率密度。 ? ??? 10 dttXY142 ???????????????????????????111162/112/32/12/1112/12/12/312/1eeeeeeeeeeeeK例 . 設(shè)平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ? ? 2/6 ?? ?? eR X求隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣。 ? ? ? ? ? ? ? ?3,2,1, ??? tXtXtXtX? ? ?? ??? s in6?XR? ? 2/6 ?? ?? eR X 時 143 ? ? ?? ??? s in6?XR 時 ???????????????????????1s i n22s i n33s i ns i n1s i n22s i n22s i ns i n1s i n33s i n22s i ns i n16????????????????????????K例 . 設(shè)平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)信號 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ? ? 2/6 ?? ?? eR X求隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣。 ? ? ? ? ? ? ? ?3,2,1, ??? tXtXtXtX? ? ?? ??? s in6?XR