【正文】 E[e2(n)] =E[x2(n)]＋ E[w2bg2n]]－E[2x(n)wbg(n)] (847) 上式中， E[2x(n)wbg(n)]= (2w/N)Σx(n)bg(n) (848) 上式中， Σx(n)bg(n)是 x(n)與 bg(n)的 0移位時的相關值。因此可以得出，當 x(n)與 bg(n)有最大相關時，輸出有最小能量。由（ 846）式可知，在 x(n)與 bg(n)有最大相關的條件下，還可以調(diào)節(jié) w使輸出能量進一步得到最小值。 由上面的分析可知， 最大相關原理與最小能量原理是一致的 3．參考信號選取的重要意義 由上述可知，在用自適應干擾對消的技術中，參考信號源的選取是十分重要的。在生物醫(yī)學信號處理中，由于體擴展源特性，介質(zhì)的非均勻性和各向異性以及測量的近場性，使得即使在測量位置附近取得的參考信號與綜合信號的相關性都很差。因此，在生物醫(yī)學信號處理的特殊領域中，合適的參考信號的選取是自適應干擾對消技術成功應用的關鍵所在。 二、自參考信號的獲得 ? 在生物醫(yī)學信號處理的的某些特定情況下，可以獲得相關性很好的參考信號。這種技術可以稱為 自參考（ autoreference）技術 。舉例如下： 1. 胎兒心電信號提取中的自參考技術 胎兒心電信號提取中，可以用同一導聯(lián)取得的母體和胎兒心電的混合信號中的不混有胎兒心電的 QRS作模板，如果需要的話還可以不混有胎兒心電的 P、T波作模板，用上述自適應干擾對消技術，逐一對消掉母體的心電信號。這種技術，也稱為“模板匹配濾波”技術。不過，由于心電信號的非線性特征（見第 4章），不能只取一個模板，而要多取一些模板，形成一個模板庫，然后，用庫中的模板， ? 逐一與混合信號求相關，選取具有最大相關的一個模板與混合信號進行對消。這是在同一信號序列中取得的參考信號，故稱為“自參考信號”。 2．誘發(fā)電位單次提取中的自參考技術 誘發(fā)電位提取的特定設計組態(tài)情況，使原位取得相關性很好的參考信號成為可能。即在每次刺激前取得足夠長的信號序列，然后進行刺激，并取得刺激后按先驗知識確定的混合信號序列長度。刺激前與刺激后的信號序列是連續(xù)采樣的，當應在序列中給出刺激標記。按照第 4章給出非線性信號應有準周期重復特征（表 41和表 42）的證據(jù)，總可在刺激前的序列中找到一段與刺激后的序列有最大相關性的序列，然后根據(jù)上述自適應干擾對消原理，將背景信號對消掉。因為這是在同一信號序列中尋求相關，故可稱為“自相關”技術。使用這種技術，不能使用沒有“單次功能”的傳統(tǒng)臨床設備。 三、 應用舉例：誘發(fā)電位單次提取中的自參考、自相關、 自適應濾波技術 ? 在本章第 4節(jié)中已經(jīng)提到過傳統(tǒng)疊加平均技術提取誘發(fā)電位中存在的理論缺陷以及單次提取技術的必要性和可能性。這里簡介適用于這種情況的自適應濾波技術 : 自參考、自相關、自適應濾波技術。 1．誘發(fā)電位單次提取的基本假設 (1) 傳統(tǒng)的疊加平均技術提取誘發(fā)電位的基本假設 在用傳統(tǒng)的疊加平均技術提取誘發(fā)電位時，關于目標信號（誘發(fā)電位）和干擾信號的特性有兩條基本假設： (i) 關于誘發(fā)電位：每一次刺激后產(chǎn)生的誘發(fā)電位，是完全相同的確定信號，即頻率、潛伏期（初相）和幅度都不變的信號。 (2) 自適應干擾技術單次提取誘發(fā)電位的基本假設 ? 在用自適應干擾技術提取誘發(fā)電位時，關于目標信號（誘發(fā)電位）和干擾信號的特性有以下基本假設： (i) 在每一次響應刺激后產(chǎn)生的誘發(fā)電位信號，其頻率、潛伏期（初相）和幅度都是可以改變的。這就等于對誘發(fā)電位的特性可以不作任何假設。 (ii) 背景腦電信號是具有某些重復特征的非線性信號（參見第 4章，特別是表 41和表 42）。 ? (iii) 50Hz電磁干擾是確定信號。 ? (iv) 其它環(huán)境干擾是白噪聲。 、自相關、自適應 (AAA)濾波技術原理 ? 可以把適用于生物醫(yī)學信號處理中的誘發(fā)電位提取這種特定目標的自參考、自相關、自適應干擾對消技術簡單稱為 AAA(或三 A)技術（ autoreference, autocorrelation, adaptive interference cancellation）。下面簡介這種技術的步驟： (1)自參考信號的獲得：參考信號選取是關系技術成敗的十分關鍵的問題。我們已經(jīng)采取措施，保證取得相關性很好的參考信號。在刺激之前用獲取誘發(fā)電位的同一電極獲取足夠長時間 (50~100倍長于提取誘發(fā)電位序列的長度 )的參考信號 REF(n)。 ? (2)給予刺激，標記刺激開始位置。 (3)繼續(xù)采集一段含誘發(fā)電位的序列（如 ） x(n)。 (4)自相關 設 EP(n)=x(n)REF(n) (849) 式中， EP(n)表示誘發(fā)電位， x(n)表示綜合信號，為誘發(fā)電位 +背景干擾， REF(n)為參考信號。技術措施保證 REF(n)的長度 x(n)，如 REF(n)兩分鐘長度，設有 Nr點。 x(n)為 500mS的長度，設為 Nx點。求x(n)與 REF(n)的滑動自相關 : R(m)= x(n)REF(n) (850) 式中， m是參考信號序列從左到右活動的點數(shù)。這樣可以獲得具有最大自相關的序列 REFM(n)。式中，“ ”號為相關算符。 R(m)為相關系數(shù)數(shù)組。 假定 REF(n)有 Nb=104點， x(n)有 Nx=1000點，相關系數(shù)的個數(shù) Nr為： Nr=1+[ REF(n)x(n)] (851) 按上述條件， Nr=9001。因此，（ 850）式中， m的變化范圍為 m=0,1,2,3,…,Nr 。 (5)求相關系數(shù)的最大值 Rmax: Rmax=MAX[R(m)] (852) 式中 MAX[]為求最大值算符。 (6)自適應 EP(n)=S(n)W*REFM(n) (853) 式中 W為調(diào)節(jié)矩陣。調(diào)節(jié) W使 EP(n)最小。按最小功率準則求 W。令： d[ΣEP2(n)]/dw=d{Σ[S(n)W*REFM(n)]2} / dw=0 （ 854） 得 W=ΣS(n)*REFM(n)/Σ[REFM(n)]2 （ 855） 這就是求調(diào)節(jié)矩陣 W的公式。 (7)對消：求出 W后，按（ 853）式實現(xiàn)對消，求得最佳條件下的 EP(n)。 (simulation)研究 (1) 誘發(fā)電位 (evoked potential)仿真 基于上述基本假設，假定響應每一次刺激產(chǎn)生的誘發(fā)電位的幅度、頻率和初相都是可變的： EPi(n) =∑Ai,jCOS(2πfi,jn +θi,j) j = 0,1,2。 n=0,1,2,…,N 1 (856) 式中， EPi(n)表示各次刺激產(chǎn)生的誘發(fā)電位， i表示刺激次數(shù)。變量 j = 0,1,2表示各次刺激產(chǎn)生的誘發(fā)電位由三種不同幅度、頻率和初相的余弦信號合成（原則上可以任意多的有界量）。 (2) 背景干擾 (background reference)仿真 基于上述基本假設，假定各次刺激的背景干擾產(chǎn)生的誘發(fā)電位的幅度、頻率和初相都是可變的： BGi (n) =∑Bi,jCOS(2πhi,jn +φi,j) j = 0,1,2。 n=0,1,2,…,N 1 （ 857） 式中， BGi(k)表示各次刺激時的背景干擾仿真信號，i表示刺激次數(shù)。變量 j = 0,1,2表示每次刺激時產(chǎn)生的背景干擾由三種不同幅度、頻率和初相的余弦信號合成（原則上可以任意多的有界量）。這樣，只要在刺激前采樣的背景信號足夠長，就可以找到一段與刺激后的背景干擾高度相關的信號段。 (3)白噪聲 (white noise)仿真 白噪聲由下列隨機信號仿真： WNi(n) =∑Ci,jCOS(2πRNDi,jn+rndi,j) j = 0,1,2。 n=0,1,2,…,N 1 (858) 式中， WNi(n)表示各次刺激時的頻率 RNDi,j和初相rndi,j都可隨機變化的白噪聲， i表示刺激次數(shù)。變量j = 0,1,2表示每次刺激時產(chǎn)生的白噪聲是由三種隨機信號組成的（原則上可以任意多的有界量）。在誘發(fā)電位的單次提取時，不能保證誘發(fā)電位的滿意對消 。 (4)參考信號 (reference signal) 參考信號 =背景干擾 +白噪聲 (5)綜合信號（ posite signal） 綜合信號 =背景干擾 +誘發(fā)電位 +白噪聲 ? 4. 仿真結(jié)果 三 A技術的兩次仿真結(jié)果如圖 88所示。圖中 a)表示單次提取信號 (extracted signal)。 b)表示綜合信號(posite signal)與參考信號對消的情況。 c)表示計算機按（ 856）式發(fā)生的目標信號 (target signal)。d)表示參考信號（ reference signal）。從圖 88中可以看出，參考信號與綜合信號有很好的相關性（ ）。目標信號與提取信號也有很好的相關性（ ）。提取信號功率（ ）接近于目標信號功率（ ）。參考信號功率（ ）大約是目標信號功率（ ）的 50倍（ ）。 ? 圖 88 三 A技術仿真 1，說明見正文 圖 89 三 A技術仿真 2，說明見正文 ? 比較圖 88和圖 89可以看出： (1)不同的刺激次數(shù)提取出的信號的功率（ target signal power）是不同的（ ），這是因為白噪聲每次對消不同的原因。 (2)每次的綜合信號的功率也是不同的（ ）。 (3)每次的參考信號的功率也是不同的（ ）。 (4)每次的綜合信號與參考信號的相關系數(shù)也是不同的（ ）。 (5)每次的目標信號與提取信號的相關系數(shù)也是不同的（ ）。 (6)計算機發(fā)生的目標信號的功率是完全相同的（ ）。 (7)兩次產(chǎn)生的目標信號的波形和功率（ ）都是不同的。 (8)兩次產(chǎn)生的參考信號的波形和功率（ ）都是不同的。 5．實際數(shù)據(jù)結(jié)果 用三 A技術單次提取的體感誘發(fā)電位(somatosensory evoked potential)如圖 810 a)所示。傳統(tǒng)的迭加平均技術提取的體感誘發(fā)電位如圖 811 b)所示。比較兩圖的結(jié)果可以看出，單次提取的結(jié)果有與傳統(tǒng)的迭加平均技術提取的結(jié)果相同的趨勢（ P N P N2和 P3序列波形），但有更多的細節(jié)。 (注 : 圖形已修改 , 原書 ) 圖 810 體感誘發(fā)電位的三 A技術提取結(jié)果與傳統(tǒng)疊加平均技術提取結(jié)果比較 ? 應該說明的是，單次提取的誘發(fā)電位可能含有不能完全對消掉的噪聲（傳統(tǒng)技術也一樣），如果需要進一步去噪，可在單次提取的基礎上，用“加權(quán)平均”或“鎖相平均”技術進一步消除之。