【正文】 ?? ? ???? ? ????? ? ?() 式中 ， k=1,2,3,:,K； i=1,2,3,:,N。 同理求得 212112212R e [ ]1R e [ ]1R e [ ]1j iij iij iii ii zek k i k ii ii zek k i k ii ii zek k i k iH zHb a z b zH zHc c z d zH zHd c z d z?????? ???? ???? ???? ? ????? ? ????? ? ?() () () 由于系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù) ， 極 、 零點均以共軛成對的形式存在 ， 對于極點 z1,一定有下面關(guān)系： 1 1 1 11111112111( ) ( )11( ) ( )11j j j jjjj j j jjje z e z e z e ze z e zz e e z e ezzz e ezz? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?() 圖 例 (a)要求的幅度特性； (b)k=1， 2時的幅度特性 例 設(shè)計低通數(shù)字濾波器 ， 其幅度特性如圖 (a)所示 。 截止頻率 ωs=。 解 考慮到通帶和過渡帶的重要 ， 在 0~ ，每隔 ωi值 ， 在 ~π區(qū)間每隔 ωi值 ， 并增加一點過渡帶 ， 在 ω= |Hd(e jω)|=。 ,ω=0,:, ,ω= ,ω=,:, ,ω=,:,π ()jdHe?N=29， 取 k=1， 系統(tǒng)函數(shù)為 121112111()1a z b zH z Ac z d z????????? 待求的參數(shù)是 A， a1,b1,c1,d1。設(shè)初始值θ=()T經(jīng)過 90 次迭代 ， 求得 E=， 系統(tǒng)函數(shù)零 、 極點位置為 零點 177。 。 極點 177。 為使濾波器因果穩(wěn)定 ， 將極點按其倒數(shù)搬入單位圓內(nèi) ， 再進行 62次優(yōu)化迭代 ， 求得結(jié)果為 零點 177。 。 極點 177。 。 Ag=,E= 誤差函數(shù)用下式表示： 1( )( ( ) ( )i i iN pj j jPdiE W e H e H e? ? ?????() 3. 在時域直接設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器 設(shè)我們希望設(shè)計的 IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應為 hd(n)， 要求設(shè)計一個單位脈沖響應 h(n)充分逼近 hd(n)。 下 面我們介紹這種設(shè)計方法 。 設(shè)濾波器是因果性的 ， 系統(tǒng)函數(shù)為 0010( ) ( )MiikiNi kibzH z h k zaz????? ???????() 式中 a0=1， 未知系數(shù) ai和 bi共有 N+M+1個 ， 取 h(n)的一段 ， 0≤n≤p1， 使其充分逼近 hd(n)， 用此原則求解M+N+1個系數(shù) 。 將 ()式改寫為 10 0 00 0 0()()p NMk i iiik i iM N N Mk i iiik i ih k z a z b zh k z a z b z?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?令 p=M+N+1,則 () 令上面等式兩邊 z的同冪次項的系數(shù)相等 ， 可得到 N+M+1個方程： h(0)=b0 h(0)a1+h(1)=b1 h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2 上式表明 h(n)是系數(shù) ai,bi的非線性函數(shù) ， 考慮到iM時 ， bi=0， 一般表達式為： 00( ) , 0( ) 0 ,kjkjkjja h k j b k Ma h k j M k M N??? ? ? ?? ? ? ? ???() () 設(shè) x(n)為給定的輸入信號 ， yd(n)是相應的希望的輸出信號 ， x(n)和 yd(n)長度分別為 M和 N， 實際濾波器的輸出用 y(n)表示 ， 下面我們按照 y(n)和 yd(n)的最小均方誤差求解濾波器的最佳解 ， 設(shè)均方誤差用 E表示： 1 201200[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ]NdnNndnmE y n y nh m x n m y n???????? ? ????() () 上式中 x(n),0≤n≤M1； yd(n)， 0≤n≤N1 為選擇 h(n)使 E最小 ， 令 0 , 0 , 1 , 2 , , 1()E iNhi? ? ? ? ? ? ?? 由 ()式得到 1 1 120 0 01 1 120 0 01 1 10 0 0( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )N N Nn n nN N Nn n nN N Nn n nx n x n x n x n x nx n x n x n x n N x nx n x n x n x n N x n N? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ???? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ? ?? ? ?? ? ?101010( ) ( )( 0 )( 1 ) ( ) ( 1 )( 1 )( ) ( 1 )NdnNdnNdny n x nhh y n x nhNy n x n N??????? ?? ?? ?? ?? ?? ?????? ?? ?? ? ???? ?????? ?????() 例 ， 要求在給定輸入 x(n)=3,1的情況下 ， 輸出 yd(n)=1,0。 解 設(shè) h(n)長度為 p=4， 按照 ()式 ， 得 10 3 0 0 ( 0) 3 10 3 0 ( 1 ) ( 2 ) 3 10 3( 3 ) 0 3 9hhhh?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???列出方程： 10h(0)+3h(1)= 3h(0)+10h(1)+3h(2)= 3h(1)+10h(2)+3h(3)= 3h(2)+9h(3)= 解聯(lián)立方程 ， 得 h(n)=, 將 h(n)以及 M=1,N=2代入 (),()式中 ， 得 a1=,a2= b0=,b1= 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 1120 .3 3 3 3 0 .0 3 3 0()1 0 .1 8 2 4 0 .1 1 2 6zHzzz??????? 相應的差分方程為 y(n)=(n)+(n1)(n1)+(n2) 當 x(n)=3,1時 ， 輸出 y(n)為 y(n)=,,: 將 y(n)與給定 yd(n)比較 ， y(n)的前五項與 yd(n)的前五項很相近 ， y(n)在五項以后幅度值很小 。