【文章內(nèi)容簡介】 A)=p)首次出現(xiàn)為止所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù) . ( 4 ) 幾 何 分 布 的無 記 憶 性 特 征 性 質(zhì){ | } { }P X m n X m P X n? ? ? ? ?{}{ | }{}P X m nP X m n X mP X m??? ? ? ??證 明1111kk m nkkmqpqp??? ? ????????nq? {}P X n??( 1 )( 1 )mnmq p qq p q? ??? – 5. 超幾何分布 – 定義 如果離散型隨機(jī)變量 的概率分布為 – 其中 為自然數(shù)且 ，則稱 服從參數(shù)為 的 超幾何分布 . X12{ } , 0 , 1 , ,m n mNNnNCCP X m m nC?? ? ?（ 29） 12,n N N12,n N N12 ,1N N N N n? ? ? ?X ?注意 ，若出現(xiàn) 或 的情況，規(guī)定此時(shí)的 . ?應(yīng)用組合公式（ 3）容易驗(yàn)證式（ 29）滿足 ?又 是顯然的，所以式（ 29）滿足概率分布的兩個性質(zhì) . ?超幾何分布的典型模式是： 個不同的元素分為兩大類，其中第一類元素有 個，第二類元素有 個 從 個元素中一次取出 個 元素（不重復(fù)抽?。?. 表示 個元素所含第一類元素的個數(shù)，則事件 發(fā)生的概率即為式（ 29） . 1mN? 2n m N??12 0m n mNNCC ???0{ } 1nmP X m????{ } 0P X m??N1N 2N 12()N N N??N n (1 )nN??X n{}Xm? ?例 一批產(chǎn)品 20件，其中有 3件優(yōu)質(zhì)品，從中一次抽取 4件產(chǎn)品，被取到的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品件數(shù)記為 ，試寫出 的概率分布 . ?解 由題意知， 服從超幾何分布，且 由式（ 29）可計(jì)算出 見下表 . ?超幾何分布與二項(xiàng)分布有如下關(guān)系： 表 25 XXX 123 , 17 , 4N N n? ? ?{ } , 0 , 1 , 2 , 3 .P X m m?? – 定理 若隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的超幾何分布，則對于固定的 ，當(dāng) 時(shí)，有 – 其中 ， 且 . X12,n N Nn 1limN N pN?? ?12l im { } l imm n mNN m m n mnnNNNCCP X m C p qC??? ? ? ?? ? ? ? ?（ 210） 12N N N?? 1Nn?? 1qp?? ?例 一袋種子有 10000粒，該種子的發(fā)芽率為96%，從中任取 100粒進(jìn)行試驗(yàn)，計(jì)算恰好有 1粒沒有發(fā)芽的概率 . ?解 令 表示 100粒中未發(fā)芽的種子數(shù)，則 服從超幾何分布， ， ， .由于 很大，盡管 ，但相對于 仍然是小的 .因而由定理： ?另一方面 ，由于 較大而 較小，因而二項(xiàng)分布可以用泊松分布近似計(jì)算，其中 .查附表 2得 X X10000N ?1 400N ? 100n ?N100n ? N1 9 9100{ 1 } 0 . 0 4 0 . 9 6 0 . 0 7 0 2 9 3 .P X C? ? ? ? ?100n ? ?4np? ??144{ 1 } 73 26 3.1!P X e?? ? ?167。 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 ?先看下述例子： ?假設(shè)某城市人口中年齡的頻率分布表如 26所示（假設(shè)年齡這個隨機(jī)變量的取值充滿區(qū)間（ 0，90]）： 表 26 ?其中每一個矩形的面積等于隨機(jī)變量落入其底部區(qū)間的頻率，如以區(qū)間 [30,40]為底的矩形的面積等于從 30～ 40歲這個年齡組的人數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的百分?jǐn)?shù)，即 15%. ?如果將上述平滑曲線定義為一個函數(shù) ，則由定積分的知識得：對于任意的 ，定積分表示以 為底，以曲線 為曲邊的曲邊梯形的面積，亦即年齡位于 與 之間的人口數(shù)量占總?cè)丝跀?shù)量的百分比，又表示隨機(jī)變量 的取值位于 與 之間的概率 .很明顯 具有以下性質(zhì)： ?可見， 反映了該城市人口中的年齡分布狀況，不妨稱其為年齡密度函數(shù) .將以上思想一般化，引入如下概念 . ()y f x?(0 , 9 0 ]ab ?、 ()ba f x dx?[ , ]ab ()y f x?aabbX{}P a X b?? ()fx( ) 0 ,( ) 1fxf x d x???????? ????()fx ? 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 – 定義 設(shè) 是一個隨機(jī)變量，如果存在非負(fù)可積函數(shù) ，使對任意兩個實(shí)數(shù) 都有 （ 211） – 則稱 為 連續(xù)型隨機(jī)變量 ，稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量的 概率密度函數(shù)（或分布密度函數(shù)） ，簡稱 概率密度（或分布密度）或密度 .簡記為 . XXX()fx , ( )a b a b?{ } ( )baP a X b f x d x??? ?()fx()X f x ?由于 ，所以連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 有以下兩個基本性質(zhì)： ?（ 1） （ 212） ?（ 2） （ 213） ?反之，對于滿足式（ 212）及式（ 213）的任一函數(shù) ，均可以作為某一個連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) . { } { } 1P X P? ? ? ? ? ? ? ? ?()fx( ) 0 ,f x x? ? ? ? ? ? ?( ) x d x???? ??()fx ?注 由定義 ，連續(xù)型隨機(jī)變量 取任一固定數(shù)值 的概率為 0，即 .據(jù)此，以后在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量 落入某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必考慮該區(qū)間是開、閉或半開，即對連續(xù)型隨機(jī)變量 ，我們有 ?例 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 ?試求（ 1）常數(shù) 的值；（ 2） . Xc { } 0P X c??XX{ } { } { }{ } ( ) .baP a X b P a X b P a X bP a X b f x d x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?, 0 1 ,( ) ( 2 ) , 1 2 ,0,k x xf x k x x????? ? ? ???? 其 他 .Xk 13{}22PX?? ?解 （ 1）由概率密度函數(shù)的性質(zhì)，有 ?即 ，解得 . ?（ 2） 1201( ) ( 2 ) 1f x d x k x d x k x d x???? ? ? ? ?? ? ?122201( 2 ) 122xxk k x? ? ? ?1k?1 3 1 3{ } { 1 } { 1 }2 2 2 2P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ?312112( 2 )3.4x d x x d x? ? ???? ?注 在第 1章，曾證明了不可能事件的概率為 0（性質(zhì) ），并指出：概率為零的事件未必是不可能事件 .由本例中的 來看，并不能得出事件 是不可能事件的結(jié)論 .同理，概率為 1的事件也未必是必然事件 . ?例 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 ? 又已知 ，試求常數(shù) 和 . 3{ } 02PX ??3{}2X ?X, 0 1()0,a x b xfx ? ? ????? 其 他 .11{ } { }33P X P X? ? ?a b ?解 由概率密度函數(shù)的性質(zhì)，有 ?又由條件 ，有 ， ?而 ?于是，得到方程組 ?解之得 . 10( ) ( ) 1 ,2af x d x a x b d x b???? ? ? ? ? ???11{ } { }33P X P X? ? ? 11{}32PX ??1301 1 1{ } ( ) ,3 18 3 2aP X ax b dx b? ? ? ? ? ??11,21 1 1.1 8 3 2abab? ?????? ????37,24ab? ? ? ?例 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 ?確定 的值，并計(jì)算 . ?解 由概率密度函數(shù)的性質(zhì)，有 ?所以 . ?稱概率密度函數(shù)為 的分布為柯西（ Cauchy）分布 . X2( ) ,1Af x xx? ? ? ? ? ? ??A { 1}PX?21 ( ) 1a r c ta n ,Af x d x d xxA x A?? ? ? ?? ? ? ????????????1A??1 12 111 1 1{ 1 } a r c ta n .( 1 ) 2P X dx xx?? ??? ? ? ? ???21( ) ( )( 1 )f x xx?? ? ? ? ? ? ?? ?注 要計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量 在某一區(qū)間 上取值的概率，只需要將概率密度函數(shù) 在區(qū)間上求定積分即可 .這個概率的幾何意義是由直線 及曲線 所圍成的曲邊梯形的面積 .如圖 24. 圖 24 X ( , )ab()fx ( , )ab, , 0x a x b y? ? ? ()y f x? ? 幾種常見的連續(xù)型分布 – 1. 均勻分布 – 定義 如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 （ 214） – 其中 且 ，則稱 服從區(qū)間 上的 均勻分布， 記為 . X1 ,()0 , .a x bfx ba? ???? ???? 其 他, ( , )ab ? ?? ?? ab? X [ , ]ab[ , ]X U a b ?顯然對所有 ，有 ，并且 ?即 滿足概率密度函數(shù)的兩個基本性質(zhì) . ?很明顯，若 服從區(qū)間 上的均勻分布，即 則 ?并且若 ，則 ( , )x ? ?? ?? ( ) 0fx?1( ) 1 ,baf x d x d xba???? ?????()fxX [ , ]ab [ , ]X U a b{ } { } 0 .P X a P X b? ? ? ?a c d b? ? ?1{ } .dcdcP c X d d xb a b a?? ? ? ???? ?這表明， 的取值小于 或大于 的概率為零， 的取值落入?yún)^(qū)間 的概率為 1， 落入 的任意子區(qū)間 上的概率與區(qū)間 的長度成正比，而與子區(qū)間的位置無關(guān)，也就是說 的取值落在兩個長度相等的子區(qū)間內(nèi)的概率是相等的，所以均勻分布又稱 等概率分布 . X a b X[ , ]