【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (iv) 由上式可知，只要求出 F0與 F2的表達(dá)式，就可得到中心點(diǎn)的值 a 0的表達(dá)式。由（ 821）式可知： 當(dāng) r = 0時(shí)， F0 =∑x(u) = x(2) + x(1) + x(0) + x(1) + x(2) (v) 當(dāng) r = 2時(shí)， F2 =∑x(u) u 2 = 4x(2) + x(1) + x(1) + 4x(2) (vi) 將上面兩表達(dá)式帶入（ iv）可得 [注：原書 公式 (7)] a0 =（－ 3x(2) + 12x(1) +17 x(0) + 12x(1)－ 3x(2)）/35 （ 824） 將原序列任意指定的一段 5點(diǎn)序列的中心值 x(0)用上式計(jì)算的 a0值替換，即完成了平滑。可以這樣認(rèn)為：在（ 824）式中，對(duì)不同點(diǎn)的數(shù)據(jù)給以了不同的權(quán)重，所以這種方法又稱為加權(quán)平滑濾波。實(shí)際上是最小二乘意義上的 5點(diǎn) 2階（次）擬合濾波。 二、加權(quán)平均濾波的結(jié)果 一段心電信號(hào)的 5點(diǎn) 2階的加權(quán)平滑濾波的結(jié)果如圖 51。其中 a)為原始心電信號(hào)， b)為被濾去的成分， c)為濾波后的心電信號(hào)。從圖中明顯可以看出 5點(diǎn) 2 階加權(quán)平滑濾波的低通性質(zhì)。這種技術(shù)對(duì)于平滑基 線的波紋很有效。 圖 81 心電信號(hào)的 5點(diǎn) 2階加權(quán)平均 注： a)為原始心電信號(hào)， b)為被濾去的成分， c)為濾波后的心電信號(hào) ? 【 例 82】 求 M=1, P=1時(shí)的 a 0的表達(dá)式。 〖 解 〗 由題給出的條件和（ 818）式可知，數(shù)據(jù)段有 3個(gè)點(diǎn)，擬合多項(xiàng)式（ 818）的階次為 1，即是線性平滑濾波。由上例的討論可知，這種情況下，只存在 S0、 S F0、 F a 0、 a 1。因而 (i)式變成了 F0 = a0 S0 而此時(shí) F0 = x(1) + x(0) + x(1) S0 = 3 所以 [注：原書 公式 (4)] a0 = [x(1) + x(0) + x(1)]/3 （ 825） ? 這就是說，三點(diǎn)均值濾波也是最小能量誤差（最小二乘）意義上的濾波。三點(diǎn)均值濾波的計(jì)算量小，效果也滿意。三點(diǎn)平滑濾波的另外的優(yōu)點(diǎn)是幅度和相位失真小。圖 81中的一條可以移動(dòng)的長(zhǎng)豎直線就是用來觀察相位失真的 三 、 加權(quán)平均濾波的討論 5點(diǎn)加權(quán)平均濾波或三點(diǎn)平均濾波。實(shí)踐證 明，取更多的點(diǎn)和 /或更高的階次不但增加計(jì)算量， 而且幅度損失太大。取更多點(diǎn)的加權(quán)系數(shù)見表 81。 表 81 11點(diǎn)加權(quán)平均濾波的權(quán)系數(shù) 2．取為 0的基準(zhǔn)點(diǎn)可以任意，如可取接續(xù) 5點(diǎn)的值加權(quán)平均作為第一點(diǎn)或第二點(diǎn)的值，取第一點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)， a0的值為 a0 =（ 69x(0) + 41x(1)－ 6x(2) + 4x(3)－ x(4)） /60 （ 826） 取第二點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)， a0的值為 a0 =（ 2x(1) + 27x(0) +12x(1)－ 8x(2) + 2x(3)）/60 就 5點(diǎn)加權(quán)平均濾波而論，有首尾兩點(diǎn)的數(shù)據(jù)予于處理。對(duì)于為首兩點(diǎn)，可用式（ 826）和（ 827）處理，對(duì)于末尾兩點(diǎn)， ? 可用類似的方法計(jì)算。但是這樣做，未必有優(yōu)點(diǎn)。首先，相位移動(dòng)太大。其次計(jì)算量大。實(shí)際上下面的方法可能是更好的選擇。對(duì)于第一首尾數(shù)據(jù)，可以接續(xù)兩點(diǎn)的數(shù)據(jù)的平均，作為首尾第一點(diǎn)的值。對(duì)于第二首尾數(shù)據(jù)，以首尾接續(xù)三點(diǎn)的數(shù)據(jù)的平均，作為首尾第二點(diǎn)的數(shù)據(jù)。因?yàn)橐呀?jīng)證明，三點(diǎn)均值濾波，也是最小二乘意義上的濾波。也可以證明，兩點(diǎn)均值濾波，也是最小二乘意義上的平滑。 第三節(jié) 周期平均濾波 （ Averaging Filtering by Period） 周期平均濾波技術(shù)適用于具有適當(dāng)波形重復(fù)性或稱為周期性或擬周期性這樣的信號(hào)。本節(jié)除了介紹周期平均濾波技術(shù)過程而外，還要討論該技術(shù)存在的問題和解決此問題的方向。 一 、 周期平均濾波 生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中 ， 周期平均濾波技術(shù)常用于心血管系統(tǒng)的信號(hào)這樣的具有擬周期性的信號(hào)的濾波 。例如 ， 在提取心房 、 心室晚電位 （ late potential）時(shí) ， 就使用周期平均技術(shù) 。 具體做法是 ? 首先取一個(gè)合適的 QRS波作為“模板”，然后將其余的 QRS波與之比較。在比較之前，先要進(jìn)行對(duì)位或稱為“配準(zhǔn)”（ alignment），即對(duì)準(zhǔn) R波的峰值。然后取相同的寬度（點(diǎn)數(shù)），再求已配準(zhǔn)了的兩個(gè)QRS波序列的相關(guān)性，取合適的相關(guān)系數(shù)閾值（如99%）作為判據(jù)，以決定這兩個(gè) QRS波是否迭加或迭加平均。如果不能滿足相關(guān)性判據(jù)，則再取下一個(gè) QRS波進(jìn)行比較。迭加到什么時(shí)候，才停止呢？一般設(shè)兩個(gè)終止迭加判據(jù)：迭加次數(shù) N或以標(biāo)準(zhǔn)差SD表示的噪聲水平。在計(jì)算 SD時(shí)另外設(shè)置一個(gè)“噪聲窗”的位置，一般取在“ 0”電勢(shì)或認(rèn)為電勢(shì)不變化的位置，如 P－ R段， U－ P段（見第五章）。做 QRS波迭加平均的寬度稱為“相關(guān)窗”。當(dāng)然在進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算之前，要進(jìn)行雙向?yàn)V波預(yù)處理以抑制噪聲水平。在臨床使用的軟件中，這兩個(gè)窗的寬度是可調(diào)節(jié)的，而“噪聲窗”的位置也是可調(diào)節(jié)的。 ? 所謂心室晚電位（ VLP: ventricular late potential）指的是由于某種原因（如疾?。┊a(chǎn)生的心室肌的去極化不同步，部分心肌延遲去極化，而在主 QRS波的下降支產(chǎn)生的高頻、低幅震蕩電位，時(shí)間可延長(zhǎng)至 ST段。關(guān)于心室晚電位的進(jìn)一步細(xì)節(jié)見第 12章或有關(guān)專著（如文獻(xiàn) [2]）。 由于臨床心電測(cè)量要求測(cè)量 35個(gè)心動(dòng)周期的時(shí)間、幅度，然后取平均值。因此，也有主張，先進(jìn)行平均，再進(jìn)行測(cè)量的策略。 二、關(guān)于周期平均濾波的注記 ? 1．迭加平均技術(shù)的類型 周期平均濾波技術(shù)采取的 R波配準(zhǔn)策略實(shí)際上是對(duì)準(zhǔn)相位。因此，這種用兩序列間的迭加平均技術(shù)可以稱為“時(shí)域鎖相平均”技術(shù)。另外如果用兩序列的功率譜進(jìn)行迭加平均，稱為“頻域鎖頻平均”技術(shù)，即對(duì)準(zhǔn)頻率的平均技術(shù)。這是一種“標(biāo)量”平均技術(shù)。如果用兩序列的頻譜進(jìn)行迭加平均，則是“向量鎖頻平均”技術(shù)。如果兩序列中都有一定的定時(shí)標(biāo)記，配準(zhǔn)定時(shí)標(biāo)記進(jìn)行兩序列的迭加平均， 稱為“鎖時(shí)平均”技術(shù)。如在提取誘發(fā)電位中使用的技術(shù)。在該技術(shù)中，當(dāng)發(fā)出刺激信號(hào)后，以一定的延時(shí)，給出一個(gè)時(shí)標(biāo)信號(hào)。 以上的四種兩序列間的迭加平均技術(shù)中，除了功率譜的迭加平均外，都是矢量平均技術(shù)。不能保證相位配準(zhǔn)的兩信號(hào)將使迭加平均的結(jié)果嚴(yán)重失真，包括波形和幅度失真。如果兩信號(hào)分量恰好反相，則兩成分完全抵消。如果恰使不同的分量同相，則產(chǎn)生錯(cuò)誤的增強(qiáng)（相加）作用，也會(huì)使迭加平均的結(jié)果嚴(yán)重失真。這兩種失真統(tǒng)稱為“膺像（ artifact）”。前者為失去某種成分的膺像，后者為增加某種成分的膺像。 2．迭加平均技術(shù)的波形增寬效應(yīng) 研究表明，迭加平均可使波形增寬，如 QRS增寬（詳見文獻(xiàn) [3]）。增寬的原因可能是不能保證每次采樣得到的 R波峰值是客觀存在的實(shí)際的 R波的峰值。因此用迭加平均后的測(cè)量來代替單次測(cè)量的平均未必可取。 3．晚電位的單搏提取可能是更好的方法 在 VLP或 ALP(心房晚電位： atrial late potential ) 提取中，進(jìn)行相位對(duì)準(zhǔn)的是 QRS波而不是晚電位， 因此，不能保證晚電位是相位對(duì)準(zhǔn)的，因?yàn)椴荒? 保證晚電位與 QRS波是同步（同相）的。如果兩 序列的晚電位恰好反相，則將完全抵消。 因此，這種技術(shù)的信號(hào)處理理論基礎(chǔ)一直受到質(zhì)疑。也可能是該技術(shù)的準(zhǔn)確性或可靠性差的原因之一。消除這種疑慮的辦法之一是進(jìn)行單搏（ single beat）晚電位提取。能否成功的實(shí)現(xiàn)，要靠單搏提取技術(shù)的進(jìn)步。 4．保證目標(biāo)信號(hào)同相疊加的困難 在 VLP提取中，要計(jì)算 QRS終末 40ms內(nèi)的波幅的rsm（均方根幅值）。這種方法也不能有晚電位存在時(shí)該值就大（如大于 25μV標(biāo)準(zhǔn)）。如果 VLP與QRS反相，這個(gè)值反而小，因?yàn)闆]有措施保證 VLP與 QRS同相。 第四節(jié) 迭加平均濾波 （ Superposing and Averaging Filtering） 在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中，迭加平均技術(shù)常用以提取被背景信號(hào)淹沒的目標(biāo)信號(hào)，如各種誘發(fā)電位（ EP：evoked potential）和事件相關(guān)電位（ ERP： event related potential）的提取。其理論基礎(chǔ)一般認(rèn)為是牢固的。本節(jié)將首先敘述迭加平均技術(shù)的 目的 ，然后敘述其 理論基礎(chǔ) ，再討論 仿真研究 ，最后討論在具體使用中 存在的問題 。 一、 迭加平均技術(shù)的目的 ? 迭加平均技術(shù)的目的是提取目標(biāo)信號(hào) S(n)。目標(biāo)信號(hào)可以強(qiáng)于也可弱于干擾信號(hào) N(n)。如誘發(fā)電位提取中，目標(biāo)信號(hào)大大弱于干擾信號(hào)。在 VLP提取中，為達(dá)到一定的噪聲水平而進(jìn)行的迭加平均中，則是目標(biāo)信號(hào)（ ECS）大大強(qiáng)于非目標(biāo)信號(hào)（噪聲）。 二 、 迭加平均技術(shù)的理論假設(shè) 迭加平均技術(shù)的理論假設(shè)是： (1)目標(biāo)信號(hào)是不變 的，更具體說是特征（幅度、頻率、相位）不變的 確定信號(hào) ； (2)干擾都是均值為 0的白噪聲。假定目標(biāo)信號(hào)為S(n)，非目標(biāo)信號(hào)為 N(n)。則綜合信號(hào)為 X(n) = S(n) + N(n) n = 0,1, …, M 1 （ 828） 對(duì)于 N(n)有： ΣNi(n) = 0 i = 0,1,2,…, K K→∞ （ 829） 在進(jìn)行足夠多的迭加平均次數(shù)后得到迭加平均后的信號(hào) AX(n)為： AX(n) = (ΣSi (n) +ΣNi(n) )/K i = 0,1,2,…, K （ 830） 當(dāng) K→∞ 時(shí)有（ 829）式成立，而 ΣSi (n) = K Si (n) （ 831） ? 所以 ? AX(n) = Si (n) （ 831） ? 如果 Ni(n)的均值不為 0而為 C(n)，則 ? ΣNi(n)/K = C(n) i = 0,1,2,…, ∞ （ 832） ? 式中 C(n)可以是常數(shù)，表示干擾信號(hào)中有一直流分量。 ? 此時(shí)， ? AX(n) = Si (n) + C(n) i = 0,1,2,…, ∞ （ 833） ? 就是說，迭加平均的結(jié)果不再是 Si (n)。 C(n)也可能是某種非目標(biāo)信號(hào)的迭加平均不滿足均值為 0的條件的結(jié)果。如誘發(fā)電位提取中的背景腦電信號(hào)， 和 /或 50Hz干擾信號(hào)。這也就是當(dāng)前誘發(fā)電位提取中一般遇到的情況。如果在某些情況下 C(n)很小，結(jié)果就滿意。 三 、 迭加平均技術(shù)的仿真研究 這里的仿真研究將證明，如果目標(biāo)信號(hào)滿足 (831)式 的條件，而非目標(biāo)干擾信號(hào)是滿足 (814)式的條件的 均值為 0的噪聲，則將能得到滿意的結(jié)果。如果不能 滿足，將不能有