【文章內(nèi)容簡介】 阻帶最小衰減： ?s=－ 21 dB 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 2． 三角形窗（ Bartlett Window） 其頻譜函數(shù)為 （ ） ??????????????????1)1(21122)1(21012)(BNnNNnNnNnn，?? ? ???? 21j2jB e)2/s i n (4/s i n2)e(?????????NNNW其幅度函數(shù)為： 2Bg2 s i n ( / 4 )()s i n ( / 2 )NWN??????????三角窗的四種波形如圖 . 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖 三角窗的四種波形 參數(shù)為 : ? n=－ 25 dB。 Bg=8π/N。 ?s=－ 25 dB 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 3． 漢寧（ Hanning）窗 —— 升余弦窗 （ ） H n N2( ) 0 . 5 1 c o s ( )1nw n R nN??? ???????? ?????jH n H n1j2R g R g R g1j2H n g1jj 2R N R g( e ) [ ( ) ]2 π 2 π ( ) 5 e11 ( ) e( e ) [ ( ) ] ( ) e????????? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ????????NNNW F T W nW W WNNWW F T R n W????? ? ???其頻譜函數(shù)為 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 當 N1時， N－ 1≈N H n g R g R g R g2 π 2 π( ) 0 . 5 ( ) 0 . 2 5W W W WNN? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???漢寧窗的幅度函數(shù) WHng(ω)由三部分相加，旁瓣互相對消，使能量更集中在主瓣中。 漢寧窗的四種波形如圖 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖 漢寧窗的四種波形 參數(shù)為 : ?n=－ 31 dB。 Bg=8π/N。 ? s=－ 44 dB 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 4． 哈明（ Hamming）窗 —— 改進的升余弦窗 )e()e()e()e( 1π2R1π2jRERjHm?????? ???????? ????? NENWWWW????)(1π2c o )(NHm nRNnn?????? ??????????（ ） 其頻譜函數(shù)為： 其幅度函數(shù) WHmg(ω)為： 當 N１時，其可近似表示為 ?????? ????????? ???? )()( RgRgRgHm g NWNWWW ?????????? ???????? ??? NWNWWW )()( RgRgRgHm g ????第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 這種改進的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占 %，瓣峰值幅度為 40 dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為 8π/N?？梢姽鞔笆且环N高效窗函數(shù)，所以 MATLAB窗函數(shù)設計函數(shù)的默認窗函數(shù)就是哈明窗。 哈明窗的四種波形如圖 . 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖 哈明窗的四種波形 參數(shù)為 : ? n=－ 41 dB。 Bg=8π/N。 ? s=－ 53 dB 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 5． 布萊克曼（ Blackman）窗 其頻譜函數(shù)為 （ ） )(1π4c o o )(Bl nRN nN nn N?????????????????????????????????????????????????????????????????????）（）（）（1π4jR1π4jR1π2jR1π2jRjRjBl e)e()e()e(NNNNWWWWWW??????第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 其幅度函數(shù)為 這樣其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的 WRg(ω)函數(shù)，使旁瓣再進一步抵消。旁瓣峰值幅度進一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的 3倍。 布萊克曼窗的四種波形如圖 . ?????????????????????????????????????????????????1π41π4 1π21π2)()(RgRgRgRgRgB l gNWNWNWNWWW??????第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖 布萊克曼窗的四種波形 參數(shù)為 : ?n=－ 57 dB。 ΔB=12π/N。 ? s=－ 74 dB 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 6． 凱塞 — 貝塞爾窗（ KaiserBasel Window） 以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞 — 貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。 21121 ?????? ????Nn??10)( )()(00k ???? NnIIn ，??? （ ） 其中： 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 I0(β)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算： 一般 I0(β)取 15~25項，便可以滿足精度要求。 ?參數(shù)可以控制窗的形狀。一般 ?加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小 ，典型數(shù)據(jù)為 4 ? 9。當 ? =，窗函數(shù)接近哈明窗。 ?=，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設計指標給定時，可以調(diào)整 ?值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu) . 凱塞（ Kaiser）給出的估算 β和濾波器階數(shù) N的公式如下 : 2011( ) 1!2kkIk?? ???????? ?????????第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 式中， Bt=|ωs－ ωp|, 是數(shù)字濾波器過渡帶寬度。應當注意，因為式（ ）為階數(shù)估算，所以必須對設計結果進行檢驗。另外，凱塞窗函數(shù)沒有獨立控制通帶波紋幅度，實際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。 凱塞窗的幅度函數(shù)為： （ ） ss0 . 4s s ss0 . 1 1 2 ( 8 . 7) , 5 0 d B0 . 5 8 4 2 ( 2 1 ) 0 . 0 7 8 8 6 ( 2 1 ) , 2 1 5 0 d B0 , 2 1??? ? ? ??????? ? ? ? ? ??? ??（ ） st8 B? ??第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 ( 1 ) / 2k g k k1( ) ( 0 ) 2 ( ) c o sNnW w w n n?????? ?對 ?的 8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表 ，供設計者參考。由表可見 , 當 ? = 時 , 各項指標都好于哈明窗。 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 表 凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 表 6種窗函數(shù)的基本參數(shù) 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 例如：設計一個截止頻率為 的數(shù)字低通濾波器 4/??cw第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 ★ 矩形窗過渡帶最窄，布拉克曼窗過渡帶最寬，但是對于阻帶最小衰減性矩形窗最差，只有－ 21dB，布萊克曼窗最好，達到－ 75dB。漢明窗與漢明窗的過渡帶稍寬，阻帶衰減性也較好，是較為常用的窗函數(shù)。 N=20 ?改變 N只能改變過渡帶寬窄，不能改變阻帶的衰減性； ?阻帶的衰減性由窗函數(shù)類型決定，矩形窗最差，布萊克曼窗最好 。 ?設計數(shù)字濾波器時，一般希望濾波器既要有很好過渡性又要有很好的阻帶衰減性。過渡帶窄時，但阻帶衰減不好；阻帶衰減好時，但過渡帶寬；因此，實際中窗函數(shù)的選擇往往是它們的折衷。 結論： 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對應的窗函數(shù)設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應指標。隨著數(shù)字信號處理的不斷發(fā)展，學者們提出的窗函數(shù)已多達幾十種，除了上述 6種窗函數(shù)外，比較有名的還有 Chebyshev窗、Gaussian窗 ［ 5, 6］ 。 MATLAB信號處理工具箱提供了 14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，下面列出上述 6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)及其調(diào)用格式： 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 Matlab窗函數(shù) 產(chǎn)生函數(shù) 窗函數(shù) 矩形窗 三角窗 寧漢窗 MATLAB 函數(shù) MATLAB 函數(shù) 窗函數(shù) wn=boxcar(N) wn=triang(N) wn=hanning(N) wn=hamming(N) wn=blackman(N) wn=Kaiser(N,beta) 哈明窗 布萊克曼 凱澤窗 表中列向量 wn中返回長度為 N窗函數(shù) w(n) 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 用窗函數(shù)法設計 FIR (1)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的指標要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計窗口長度 N。 先按照阻帶衰減選擇窗函數(shù)類型。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。然后根據(jù)過渡帶寬度估計窗口長度 N。待求濾波器的過渡帶寬度 Bt近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，且近似與窗口長度 N成反比， N≈A/Bt， A取決于窗口類型。 用窗函數(shù)法設計 FIR濾波器的步驟 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 (2) 構造希望逼近的頻率響應函數(shù) Hd(ejω )，即 對所謂的“標準窗函數(shù)法”，就是選擇 Hd(ejω)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。以低通濾波器為例， Hdg(ω)應滿足： j j ( 1 ) / 2d d g( e ) ( ) e??? NHH ?? ?cdgc1 | |()0 | | π???? ???H ??? ??（ ） 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 由圖 ，理想濾波器的截止頻率 ωc近似位于最FIRDF 的過渡帶的中心頻率點，幅度函數(shù)衰減一半（約－ 6 dB）。所以如果設計指標給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率 ωp和 ωs， 一般取 (3) 計算 hd(n) ? 如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為 Hd(ejω)，那么單位脈沖響應用下式求出： 2spc?????（ ） 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 的線性相位理想低通濾波器作為 Hd(ejω)，其單位脈沖響應 hd(n)： 為保證線性相位特性， ? =(N－ 1)/2 cds i n ( ( ))()π ( )nhnn??????（ ） ??? ππjjdd de)e(π21)( ??? nHnhcdg