【正文】 ..z)(??))(()z(H)z(H)z(H13j13j11???? ??? －：必含有因子 解： ： ]z)(1][z)(1[)z(H)z(H113j113j ?????? ??? －：兩個(gè)零點(diǎn)倒數(shù)包含因子22)311)(31)(421)(( 112121 ?????? ??????? zzzzzzA)z31)(z1()z(H)z(H3z11 ?? ????1333 ：及其倒數(shù)包含因子整理多項(xiàng)式： 由 h(0)＝ 1 得： A=1 )z(H)z(H)z(AH)z(H 1 32?則系統(tǒng)函數(shù)第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4. 線(xiàn)性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè) N為偶數(shù) ， 則有 111 2002( ) ( ) ( ) ( )???? ? ??? ?? ? ?? ? ?NNNn n nNnmnH z h n z h n z h n z令 m=Nn1,則有 1122( 1 )00( ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 )??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???NNn N mnmH z h n z h N m zh n h N n12( 1 )0( ) ( ) [ ]?? ? ? ?????Nn N nnH z h n z z() 如果 N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng) h［ (N1)/2］單獨(dú)列出， 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) () ( 1 ) 12 1( 1 ) 20( ) ( ) [ ] ( 1 )2????? ? ? ??? ? ? ??NNn N nnNH z h n z z h z圖 第一類(lèi)線(xiàn)性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x ( n )y ( n )z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)x ( n )y ( n )z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )N ＝ 偶數(shù)N ＝ 奇數(shù)第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 第二類(lèi)線(xiàn)性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x ( n )y ( n )z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)x ( n )y ( n )z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )N ＝ 偶數(shù)N ＝ 奇數(shù)－ 1 － 1 － 1 － 1－ 1－ 1 － 1 － 1 － 1第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )e(H jd ? )n(hd)n()n(h)n(h d ?? )e(H j?? ??? ?? ??? de)e(H2 1)n(h njjdd截?cái)? 逼進(jìn) 一、設(shè)計(jì)思想 nj1N0nj e)n(h)e(H ????? ?? 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 相應(yīng)的單位取樣響應(yīng) hd(n)為 ,()0,jacjdceHe?? ??? ? ??? ??? ?????() 1 s i n ( ( ))()2 ( )ccj a j n cdnah n e e dna? ???????????????() h(n)=hd(n)RN(n) () 例如：設(shè)計(jì)一個(gè) FIR低通 filter,其理想頻響為 ： 為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為 N的線(xiàn)性相位濾波器 ， 只有將hd(n)截取一段 ， 并保證截取的一段對(duì) (N1)/2對(duì)稱(chēng) 。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 實(shí)際的濾波器單位取樣響應(yīng)為 h(n),長(zhǎng)度為 N， 其系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)， 圖 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 吉布斯（ Gibbs）效應(yīng)： 用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列 h(n)去代替 hd(n)，肯定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是引起過(guò)渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)，尤其使阻帶的衰減小，從而滿(mǎn)足不了技術(shù)上的要求。這種吉布斯效應(yīng)是由于將 hd(n)直接截?cái)嘁鸬?，也稱(chēng)為 截?cái)嘈?yīng) 。 Hd(ejω)是一個(gè)以 2π為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級(jí)數(shù)，即 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 hd(n)。 設(shè)計(jì) FIR濾波器就是 根據(jù)要求找到 N個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) h(n)， n=1, 2, ? , N－ 1，以 N項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)去近似代替無(wú)限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)，這樣在一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)引起較大誤差，這種誤差就是截?cái)嘈?yīng) 。 ???????nnnhH ?? jdjd e)()e(傅氏級(jí)數(shù)法： 顯然，選取傅氏級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)愈多，引起的誤差就愈小，但項(xiàng)數(shù)增多即 h(n)長(zhǎng)度增加，也使成本和濾波計(jì)算量加大，應(yīng)在滿(mǎn)足技術(shù)要求的條件下，盡量減小 h(n)的長(zhǎng)度。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 二、窗函數(shù)對(duì)頻響的影響 )n(w)n(h)n(h d???? ??? ?? ???? ?? deWeHeH jRjdj )()()( )(2 1????????? jRg)(jjjRe)()/s i n ()/s i n (e ee)()(????????????? ??WNnWeWNNnnNnnjR221211010?)( jwd eH?21?? ? )e(H j )( ?jR eW21)2/s in ()2/s in ()(Rg??? NNW ???? ，第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 0 ( ) ( ) ??j j addH e H e???按照 ()式 ， 理想低通濾波器的幅度特性 Hd(ω)為 1,()0,???? ?????cdcH???? ? ?將 Hd(e jω)和 WR(e jω)代入 ()式 ， 得到： ()gg1( ) ( ) ( )21( ) ( )2? ? ??????????j j a j adRjadRH e H e W e de H W d?? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ??ggg( ) ( )1( ) ( ) ( )2??????j j adRH e H eH H W d?????? ? ? ? ??)(?dH0 c?? c? ??? ?1 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ,0?? H(0) 為 在 面積的積分 )(?RgW1).當(dāng) cc ?? 到－第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2） 時(shí)， 正好與 的一半相重疊。這時(shí) 有 c?? ? )( ?? ?RgW)(H d ?)0(H/)(H c ??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3） 時(shí)， 的主瓣全部在 的通帶內(nèi)，這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。 N2c????? )( ?? ?RgW )(H d ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4） 時(shí)，主瓣全部在通帶外，出現(xiàn)負(fù)的肩峰。 Nc /2 ?????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （ 5）當(dāng) 時(shí)，隨 增加，左邊旁瓣的起伏部分掃過(guò)通帶，卷積也隨著 在通帶內(nèi)的旁瓣的面積變化而變化，故 將圍繞著零值而波動(dòng)。 N2c????? ?)(g ?H)(g ?? ?RWN2c?????(6)當(dāng) 時(shí)， 的右邊旁瓣將進(jìn)入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而 波動(dòng)。 )(g ?? ?RW )(Hd ?)(H ? )0(H第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1 0 ?)(?gHω c ω c 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響 （ 1） 在理想特性不連續(xù)點(diǎn) ω=ωc附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度近似等于 WRg(ω)主瓣寬度 4π/N （ 2） 通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在 ωc－ 2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在 ωc+2π/N處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)， WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影響 Hg(ω)波紋幅度的大小。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 以上兩點(diǎn)就是對(duì) hd(n)用矩形窗截?cái)嗪?，在頻域的反映，稱(chēng)為吉布斯效應(yīng)。這種效應(yīng)直接影響濾波器的性能。通帶內(nèi)的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波紋影響阻帶內(nèi)的衰減，可能使最小衰減不滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)要求。當(dāng)然，一般濾波器都要求過(guò)渡帶愈窄愈好。 加窗影響： 直觀上，好像增加矩形窗的長(zhǎng)度 N，就可以減少吉布斯效應(yīng)，但 實(shí)際上加大 N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法 。 我們分析一下 N加大時(shí) WRg(ω)的變化，在主瓣附近， WRg(ω)可近似為 ?該函數(shù)的性質(zhì)是隨 x加大（ N加大），主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變； ?另一方面， N加大時(shí)， WRg(ω)的主瓣和旁瓣寬度變窄，波動(dòng)的頻率加快。 三種不同長(zhǎng)度的矩形窗函數(shù)的幅度特性 WRg(ω)及其設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅度特性 Hg(ω)曲線(xiàn)如圖 Rgs in ( / 2 ) s in()/2NxWNx?????減少吉布斯效應(yīng)的影響： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表明： 當(dāng) N加大時(shí)， Hg(ω)的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善，只能使 Hg(ω)過(guò)渡帶變窄（過(guò)渡帶近似為主瓣寬度 4π/N）。因此加大 N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法。 圖 矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度的影響 例如：設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為 的數(shù)字低通濾波器 4/??cw第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ★★ 對(duì)于同一個(gè)的窗函數(shù)當(dāng)隨著 N的增加，阻帶衰減越快，但是第一旁瓣值不變， N越大，過(guò)渡帶越窄，旁瓣越多，通帶越寬。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 以上分析說(shuō)明： 調(diào)整窗口長(zhǎng)度 N只能有效地控制過(guò)渡帶的寬度，而要減少帶內(nèi)波動(dòng)以及增大阻帶衰減，只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問(wèn)題的方法。構(gòu)造新的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度更小。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動(dòng)減小，從而加大阻帶衰減。但這樣總是以加寬過(guò)渡帶為代價(jià)的。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 典型窗函數(shù)介紹 1． 矩形窗（ Rectangle Window） wR(n)=RN(n) 其幅度函數(shù)為 下面均以低通為例， Hd(ejω)取理想低通， ωc=π/2，窗函數(shù)長(zhǎng)度 N=31。 Rgs i n ( / 2 )()s i n ( / 2 )NW ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 矩形窗的四種波形如圖 . 圖 矩形窗的四種波形 旁瓣峰值： ? n=－ 13 dB； 過(guò)渡帶寬度：Bg=4π/N。