【正文】 窗。 Bg=8π/N。因此加大 N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 二、窗函數(shù)對(duì)頻響的影響 )n(w)n(h)n(h d???? ??? ?? ???? ?? deWeHeH jRjdj )()()( )(2 1????????? jRg)(jjjRe)()/s i n ()/s i n (e ee)()(????????????? ??WNnWeWNNnnNnnjR221211010?)( jwd eH?21?? ? )e(H j )( ?jR eW21)2/s in ()2/s in ()(Rg??? NNW ???? ，第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 0 ( ) ( ) ??j j addH e H e???按照 ()式 ， 理想低通濾波器的幅度特性 Hd(ω)為 1,()0,???? ?????cdcH???? ? ?將 Hd(e jω)和 WR(e jω)代入 ()式 ， 得到： ()gg1( ) ( ) ( )21( ) ( )2? ? ??????????j j a j adRjadRH e H e W e de H W d?? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ??ggg( ) ( )1( ) ( ) ( )2??????j j adRH e H eH H W d?????? ? ? ? ??)(?dH0 c?? c? ??? ?1 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ,0?? H(0) 為 在 面積的積分 )(?RgW1).當(dāng) cc ?? 到－第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2） 時(shí)， 正好與 的一半相重疊。 注意： 這里 Hg(ω)不同于 |H(ejω)|,Hg(ω)為 ω的實(shí)函數(shù) ， 可能取負(fù)值 ， 而 |H(ejω)|總是正值 。 Hd(ejω)是一個(gè)以 2π為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級(jí)數(shù)，即 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 hd(n)。 加窗影響： 直觀上，好像增加矩形窗的長(zhǎng)度 N，就可以減少吉布斯效應(yīng)，但 實(shí)際上加大 N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法 。 ? s=－ 44 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4． 哈明（ Hamming）窗 —— 改進(jìn)的升余弦窗 )e()e()e()e( 1π2R1π2jRERjHm?????? ???????? ????? NENWWWW????)(1π2c o )(NHm nRNnn?????? ??????????（ ） 其頻譜函數(shù)為： 其幅度函數(shù) WHmg(ω)為： 當(dāng) N１時(shí)，其可近似表示為 ?????? ????????? ???? )()( RgRgRgHm g NWNWWW ?????????? ???????? ??? NWNWWW )()( RgRgRgHm g ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 這種改進(jìn)的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占 %，瓣峰值幅度為 40 dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為 8π/N。應(yīng)當(dāng)注意，因?yàn)槭剑?）為階數(shù)估算，所以必須對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR濾波器的步驟 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (2) 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) Hd(ejω )，即 對(duì)所謂的“標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法”，就是選擇 Hd(ejω)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。不過，當(dāng)用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時(shí)， fir1會(huì)自動(dòng)對(duì) M加 1 hn=fir1(M, wc, window)， 可以指定窗函數(shù)向量 window。希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線性相位 FIR數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)上述濾波，采樣頻率 Fs=10 kHz。 %調(diào)用 kaiser計(jì)算低通 FIRDF的 h(n) ％以下繪圖部分省去 運(yùn)行程序得到 h(n)的 24個(gè)值 : h(n)=［ － － － － － － － － － ］ 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 低通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【 例 】 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位 FIR帶阻濾波器。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)變成傾斜下降的過渡帶曲線，過渡帶寬度近似為 2π/N。如果濾波器邊界頻率未達(dá)到指標(biāo)要求，則要微調(diào) Hdg(ω) 上述設(shè)計(jì)過程中的計(jì)算相當(dāng)繁瑣，所以通常借助計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)。％ N為奇數(shù)，幅度采樣向量偶對(duì)稱 A(k)=A(N－ k) Hk(Np+2)=T。 （ 2） 確定過渡帶寬度 Bt，估算頻域采樣點(diǎn)數(shù)（即濾波器長(zhǎng)度） N。 %帶阻濾波器要求 h(n)長(zhǎng)度為奇數(shù)，所以取 N+1 ％省略繪圖部分 程序運(yùn)行結(jié)果 : N=81 由于 h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出 h(n)的波形及損耗函數(shù)曲線，如圖 。ws=2*pi*fs/Fs。 ％確保 h(n)長(zhǎng)度 N wc=(wp+ws)/2/pi。 s i n [ 3 ( 1 2 ) / 8 ]( 1 2 )nn????d( ) ( ) ( )h n h n w n?（ 4） 加窗 : 25sin[ 3 ( 12 ) / 8 ]( 12 ) 0. 5 0. 5 c os ( )( 12 ) 12nnn R nn??? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ?????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (1) fir1 fir1用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)。隨著數(shù)字信號(hào)處理的不斷發(fā)展，學(xué)者們提出的窗函數(shù)已多達(dá)幾十種，除了上述 6種窗函數(shù)外，比較有名的還有 Chebyshev窗、Gaussian窗 ［ 5, 6］ 。 21121 ?????? ????Nn??10)( )()(00k ???? NnIIn ，??? （ ） 其中： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) I0(β)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算： 一般 I0(β)取 15~25項(xiàng)，便可以滿足精度要求。 Rgs i n ( / 2 )()s i n ( / 2 )NW ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 矩形窗的四種波形如圖 . 圖 矩形窗的四種波形 旁瓣峰值： ? n=－ 13 dB； 過渡帶寬度：Bg=4π/N。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在 ωc+2π/N處。所以，當(dāng) ω=0, 2π時(shí)， sin［ ω(n－ τ)］ =0；當(dāng) ω=π時(shí)， sin［ ω(n－ τ)］ =(－ 1)n－N/2, 為峰值點(diǎn)。 h(N－ n－ 1) 為了推導(dǎo)方便，引入兩個(gè)參數(shù)符號(hào)： 情況 1： h(n)=h(N－ n－ 1), N為奇數(shù) 將時(shí)域約束條件 h(n)=h(N－ n－ 1)和 θ(ω)=－ ωτ代入式（ ）和（ ），得到 : 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) n10)()( ????? ?? jNnj enheHn12/12/)1(n2/30)()2 1()()( ??????????? ?? ???? jNNnNjjNnj enheNhenheH －）（）－（m)/3m/)(n/3 m()()()( ?????????? ?????? 120212012 1 NjNNjjNnj eNheNhenheH （）－（）－（ ） ????n1m ??N＝令??????? ??? ))(c o s ()()()(/?????? －＋）－（nnhheeH3Nnjj202])[()()( )n()n(/3/)( 2121202121 ?????? ???? ??? ? NjNjNnNjj eenhNheeH ????）－（1 ,2N? ??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ★★ 呈偶對(duì)稱對(duì) ,2,0)(g ???? ?H)nc o s ()n()()(ng ??? －＋ ????102MhhH第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )(?gH 仿照情況 1的推導(dǎo)方法得到 : 1j j j jg00( e ) ( ) e = ( ) e e 2 ( ) c os( ( ) )NMnnnH H h n h n n? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???（ ） g0( ) 2 ( ) c o s [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????式中： ( 1 ) / 2 / 2 1 / 2NN? ? ? ? ?? ??c os[ ( ) ] c os sin 022NNn n n?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 情況 2： h(n)=h(N－ n－ 1), N為偶數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ★★ 呈奇對(duì)稱呈偶對(duì)稱對(duì),)(g??????? 20H★ 不適合高通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )(?gHn10)()( ????? ?? jNnj enheH])()([)( 1 )n(n ???????? ? NjjMnj enNhenheH ??? 10])()([)( 1 )n(n ?????? ? NjjMnj enhenheH ???0? ])[()( )n()n(/)( 2 12 11021??????? ?? ?NjNjMnNjj eenheeH ????1 ,2N? ?? 情況 3： h(n)=－ h(N－ n－ 1)， N為奇數(shù) )]n(i n [)n(j)(n????? －sheeH Mjj ? ????? 102)]n([in)n()(n2 ?????? －）＋（ sheeH Mjj ? ???? 102第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ★★ 呈奇對(duì)稱對(duì) ,)(g ???? 20?H★ 不適合低通、高通，帶阻濾波器 )]n([in)n()(ng ??? －shHM? ???102第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 用情況 3的推導(dǎo)過程可以得到 : g0( ) 2 ( ) s in [ ( ) ]MnH h n n? ? ????? 情況 4： h(n)=－ h(N－ n－ 1)， N為偶數(shù) 式中， N是偶數(shù)， τ=(N－ 1)/2=N/2－ 1/2。過渡帶的寬度近似等于 WRg(ω)主瓣寬度 4π/N （ 2） 通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在 ωc－ 2π/N處。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 典型窗函數(shù)介紹 1． 矩形窗（ Rectangle Window） wR(n)=RN(n) 其幅度函數(shù)為 下面均以低通為例， Hd(ejω)取理想低通， ωc=π/2，窗函數(shù)長(zhǎng)度 N=31。凱塞 — 貝塞爾窗是一種參數(shù)可