【正文】 ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 )??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???NNn N mnmH z h n z h N m zh n h N n12( 1 )0( ) ( ) [ ]?? ? ? ?????Nn N nnH z h n z z() 如果 N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng) h［ (N1)/2］單獨(dú)列出， 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) () ( 1 ) 12 1( 1 ) 20( ) ( ) [ ] ( 1 )2????? ? ? ??? ? ? ??NNn N nnNH z h n z z h z圖 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x ( n )y ( n )z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)x ( n )y ( n )z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )N ＝ 偶數(shù)N ＝ 奇數(shù)第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x ( n )y ( n )z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)x ( n )y ( n )z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1z－ 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )N ＝ 偶數(shù)N ＝ 奇數(shù)－ 1 － 1 － 1 － 1－ 1－ 1 － 1 － 1 － 1第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )e(H jd ? )n(hd)n()n(h)n(h d ?? )e(H j?? ??? ?? ??? de)e(H2 1)n(h njjdd截?cái)? 逼進(jìn) 一、設(shè)計(jì)思想 nj1N0nj e)n(h)e(H ????? ?? 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 相應(yīng)的單位取樣響應(yīng) hd(n)為 ,()0,jacjdceHe?? ??? ? ??? ??? ?????() 1 s i n ( ( ))()2 ( )ccj a j n cdnah n e e dna? ???????????????() h(n)=hd(n)RN(n) () 例如：設(shè)計(jì)一個(gè) FIR低通 filter,其理想頻響為 ： 為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為 N的線性相位濾波器 ， 只有將hd(n)截取一段 ， 并保證截取的一段對(duì) (N1)/2對(duì)稱 。 設(shè)計(jì) FIR濾波器就是 根據(jù)要求找到 N個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) h(n)， n=1, 2, ? , N－ 1，以 N項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)去近似代替無限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)，這樣在一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)引起較大誤差，這種誤差就是截?cái)嘈?yīng) 。 N2c????? )( ?? ?RgW )(H d ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4） 時(shí)，主瓣全部在通帶外，出現(xiàn)負(fù)的肩峰。過渡帶的寬度近似等于 WRg(ω)主瓣寬度 4π/N （ 2） 通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在 ωc－ 2π/N處。這種效應(yīng)直接影響濾波器的性能。 我們分析一下 N加大時(shí) WRg(ω)的變化，在主瓣附近， WRg(ω)可近似為 ?該函數(shù)的性質(zhì)是隨 x加大（ N加大），主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變； ?另一方面， N加大時(shí)， WRg(ω)的主瓣和旁瓣寬度變窄，波動(dòng)的頻率加快。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 以上分析說明： 調(diào)整窗口長(zhǎng)度 N只能有效地控制過渡帶的寬度，而要減少帶內(nèi)波動(dòng)以及增大阻帶衰減，只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問題的方法。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 典型窗函數(shù)介紹 1． 矩形窗（ Rectangle Window） wR(n)=RN(n) 其幅度函數(shù)為 下面均以低通為例， Hd(ejω)取理想低通， ωc=π/2，窗函數(shù)長(zhǎng)度 N=31。 ?s=－ 25 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3． 漢寧（ Hanning）窗 —— 升余弦窗 （ ） H n N2( ) 0 . 5 1 c o s ( )1nw n R nN??? ???????? ?????jH n H n1j2R g R g R g1j2H n g1jj 2R N R g( e ) [ ( ) ]2 π 2 π ( ) 5 e11 ( ) e( e ) [ ( ) ] ( ) e????????? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ????????NNNW F T W nW W WNNWW F T R n W????? ? ???其頻譜函數(shù)為 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 當(dāng) N1時(shí)， N－ 1≈N H n g R g R g R g2 π 2 π( ) 0 . 5 ( ) 0 . 2 5W W W WNN? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???漢寧窗的幅度函數(shù) WHng(ω)由三部分相加，旁瓣互相對(duì)消，使能量更集中在主瓣中?？梢姽鞔笆且环N高效窗函數(shù)，所以 MATLAB窗函數(shù)設(shè)計(jì)函數(shù)的默認(rèn)窗函數(shù)就是哈明窗。旁瓣峰值幅度進(jìn)一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的 3倍。凱塞 — 貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。當(dāng) ? =，窗函數(shù)接近哈明窗。另外，凱塞窗函數(shù)沒有獨(dú)立控制通帶波紋幅度，實(shí)際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。漢明窗與漢明窗的過渡帶稍寬，阻帶衰減性也較好，是較為常用的窗函數(shù)。 結(jié)論： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對(duì)應(yīng)的窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)指標(biāo)。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。以低通濾波器為例， Hdg(ω)應(yīng)滿足： j j ( 1 ) / 2d d g( e ) ( ) e??? NHH ?? ?cdgc1 | |()0 | | π???? ???H ??? ??（ ） 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 由圖 ，理想濾波器的截止頻率 ωc近似位于最FIRDF 的過渡帶的中心頻率點(diǎn)，幅度函數(shù)衰減一半（約－ 6 dB）。 窗函數(shù)： 已知阻帶最小衰減 ? s=40 dB，由表（ ）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗。這就是求理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)的另一個(gè)公式。 濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)與向量 hn h(n)=hn(n+1) n=0, 1, 2, ? , M 滿足線性相位條件 : h(n)=h(N－ 1－ n) wc為對(duì) π 0≤wc≤1 當(dāng) wc=［ wcl, wcu］時(shí)，得到的是帶通濾波器，其－ 6 dB通帶為 wcl≤ω≤wcu 調(diào)用格式及功能： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) hn=fir1(M, wc, ′ftype′) 可設(shè)計(jì)高通和帶阻 FIR濾波器。如果缺省 window參數(shù)，則fir1默認(rèn)為哈明窗。用 help命令查閱其 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 的設(shè)計(jì)程序 : ％ : 例 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIR wp=pi/2。 ％根據(jù)表 需 h(n)長(zhǎng)度 N0， ceil(x)取大于等于 x N=N0+mod(N0+1, 2)。, hanning(N))。用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)滿足要求的 FIR數(shù)字低通濾波器，求出 h(n)，并畫出損耗函數(shù)曲線。如果用漢寧窗， h(n)長(zhǎng)度為 N=40。 wp=2*pi*fp/Fs。 %根據(jù)()式計(jì)算 kaiser窗的控制參數(shù) α N=ceil((rs8)/)。要求通帶下截止頻率 ωlp =，阻帶下截止頻率ωls=，阻通帶上截止頻率 ωus=，通帶上截止頻率 ωup=， 通帶最大衰減 ? p=1 dB，阻帶最小衰減 ? s=60 dB 解 本例直接調(diào)用 fir1函數(shù)設(shè)計(jì)。wup=*pi。 %設(shè)置 hn=fir1(N,wp,‘stop’,blackman(N+1))。 N為偶數(shù)時(shí)， N為奇數(shù)時(shí)， 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2） FIR濾波器具有線性相位的條件是 h(n)為實(shí)序列，且滿足 h(n)=h(N－ n－ 1)，其頻響函數(shù)應(yīng)滿足的條件是： )()( kNHkH gg ???N = 奇數(shù) )()( kNHkH gg ??N = 偶數(shù) Hd(k)的約 束條件 ： 2112212 ????? ????????? )()(NkNkNk第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3． 逼近誤差及其改進(jìn)措施 如果待逼近的濾波器為 Hd(ejω)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，則由頻率域采樣定理知道，在頻域 0~2π范圍等間隔采樣 N點(diǎn)，利用 IDFT得到的 h(n)應(yīng)是 hd(n)以 N為周期的周期延拓的主值區(qū)序列，即 如果 Hd(ejω)有間斷點(diǎn)，那么相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) hd(n)應(yīng)是無限長(zhǎng)的。通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生震蕩波紋，且間斷點(diǎn)附近振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，往往不能滿足技術(shù)要求。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 N=15和 N=75的幅度內(nèi)插波形 Hg(ω) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 在窗函數(shù)設(shè)計(jì)法中，通過加大過渡帶寬度換取阻帶衰減的增加。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 將過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 ? s的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表 ，我們可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減 ? s選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m 表 過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 ? s的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 四． 頻率采樣法設(shè)計(jì)步驟 （ 1） 根據(jù)阻帶最小衰減 ? s選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m。如果給定過渡帶寬度 Bt，則要求 (m+1)2π/N≤Bt ，濾波器長(zhǎng)度 N必須滿足如下估算公式 : （ ） t2 π( 1 )NmB??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （ 3） 構(gòu)造一個(gè)希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) : 設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)型片斷常數(shù)特性的 FIR數(shù)字濾波器時(shí)，一般構(gòu)造幅度特性函數(shù) Hdg(ω)為相應(yīng)的理想頻響特性，且滿足表 （ 4） 按照（ ）式進(jìn)行頻域采樣 : j j ( 1 ) / 2d d g( e ) ( ) e NHH ?? ? ???（ ( 1 )jjd2( ) ( e ) ( ) e , 0 , 1 , 2 , , 1N kNgkNH k H H k k N???????? ? ? ?…（ ） dg 2( ) , 0 , 1 , 2 , , 1gH k H k k NN ???? ? ????? …第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 并加入過渡帶采樣。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【 例 】 用頻率采樣法設(shè)計(jì)第一類線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率 ωp=π/3，阻帶最小衰減大于 40 dB，過渡帶寬度 Bt≤π/16 解 查表 ， ? s=40 dB時(shí)，過渡帶采樣點(diǎn)數(shù) m=1。 ％過渡帶寬度為 pi/16，通帶截止頻率為 pi/3 m=1。 ％ Ns為阻帶［ wp, 2*pi－ wp］上采樣點(diǎn)數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) Hk=［ ones(1, Np+1), zeros(1, Ns), ones(1, Np) 。 ％相位采