【正文】 ％加一個過渡采樣 thetak=－ pi*(N－ 1)*(0:N－ 1)/N。％ N為奇數(shù)，幅度采樣向量偶對稱 A(k)=A(N－ k) Hk(Np+2)=T。 ％ Np+1為通帶［ 0, wp］上采 Ns=N－ 2*Np－ 1。N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1。wp=pi/3。 根據(jù) m=1和 Bt≤π/16估算濾波器長度 : N≥(m+1)2π/Bt=64 留一點富余量，取 N=65。如果濾波器邊界頻率未達到指標要求，則要微調(diào) Hdg(ω) 上述設(shè)計過程中的計算相當繁瑣，所以通常借助計算機設(shè)計。過渡帶采樣值可以設(shè)置為經(jīng)驗值，或用累試 （ 5） 對 H(k)進行 N點 IDFT，得到第一類線性相位 FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)： 1 01( ) I D F T [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1N knNkh n H k H k W n NN??? ? ? ?? …（ ） （ 6） 檢驗設(shè)計結(jié)果。當 N確定時， m越大，過渡帶越寬。 （ 2） 確定過渡帶寬度 Bt，估算頻域采樣點數(shù)（即濾波器長度） N。其基本思想是將過渡帶采樣值設(shè)為自由量，用一種優(yōu)化算法（如線性規(guī)劃算法）改變它們，最終使阻帶最小衰減 ? s最大。頻率采樣法同樣滿足這一規(guī)律。 N=15和 N=75兩種情況下的幅度內(nèi)插波形 Hg(ω)如圖，圖中的空心圓和實心圓點分別表示 N=15和N=75時的頻域幅度采樣。 當然，增加 N可以使過渡帶變窄，但是通帶最大衰減和阻帶最小衰減隨 N的增大并無明顯改善。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 表現(xiàn)形式為間斷點變成傾斜下降的過渡帶曲線，過渡帶寬度近似為 2π/N。這樣，由于時域混疊及截斷，使 h(n)與 hd(n)有偏差。另外，對于高通和帶阻濾波器，這里 N只能取奇數(shù)。 %帶阻濾波器要求 h(n)長度為奇數(shù)，所以取 N+1 ％省略繪圖部分 程序運行結(jié)果 : N=81 由于 h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出 h(n)的波形及損耗函數(shù)曲線，如圖 。 %計算階數(shù) N,ceil(x)為大于等于 x 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 wp=［ (wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi］ 。 % B=wlswlp。wus=*pi。因為阻帶最小衰減 ? s=60 dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過渡帶寬度選擇濾波器長度 N，布萊克曼窗的過渡帶寬度 Bt=12π/N，所以 l p l s12 π 0 . 3 5 0 . 2 0 . 1 5N ??? ? ? ? ? ? ? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 解之得 N=80 l p l s u s u pc ,2 π 2 π? ? ? ?? ????????? 設(shè)計程序為 ％ : 例 用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位帶阻FIR wlp=*pi。 %調(diào)用 kaiser計算低通 FIRDF的 h(n) ％以下繪圖部分省去 運行程序得到 h(n)的 24個值 : h(n)=［ － － － － － － － － － ］ 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 例 低通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 【 例 】 窗函數(shù)法設(shè)計一個線性相位 FIR帶阻濾波器。 %根據(jù) ()式計算 kaiser窗所需階數(shù) N 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 wc=(wp+ws)/2/pi。 % alph=*(rs21)^+*(rs21)。ws=2*pi*fs/Fs。rs=40。 理想低通濾波器的通帶截止頻率 ωc=(ωs+ωp)/2=，所以得到 : 式中， w(n)是長度為 24（ ? = st8 4 0 8 2 2 . 2 8 8 72 . 2 8 5 2 . 2 8 5 0 . 2M B? ? ?? ? ???ds i n [0 . 4 ( ) ] 1( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 . 5( ) 2nNh n h n w n w nn? ??? ? ?? ? ? ???第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 實現(xiàn)本例設(shè)計的 MATLAB程序為 ％ : 例 用凱塞窗函數(shù)設(shè)計線性相位低通FIR fp=1500。所以 h(n)長度為 N=M+1=24。 解 （ 1） 確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標 : 通帶截止頻率為 1 0 0 0 01 5 0 0π2π2spp ???? Ff?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 阻帶截止頻率為 阻帶最小衰減為 ? s =40 dB （ 2） 用窗函數(shù)法設(shè)計 FIR數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。希望對模擬信號采樣后用線性相位 FIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)上述濾波，采樣頻率 Fs=10 kHz。 ％調(diào)用 fir1計算高通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n) ％略去繪圖部分 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 運行程序得到 h(n)的 25個值 : h(n)=［ － － － － － － － － － － － － ］ 高通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)及損耗函數(shù)如圖 。high39。 ％確保 h(n)長度 N wc=(wp+ws)/2/pi。 N0=ceil(*pi/Bt)。 ws=pi/4。主要用于設(shè)計幅度特性形狀特殊的濾波器（如數(shù)字微分器和多帶濾波器等）。 例如 : 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 hn=fir1(M, wc, bartlett(M+1))，使用 Bartlett窗設(shè)計； hn =fir1(M, wc, blackman(M+1))，使用 blackman窗設(shè)計； hn=fir1(M, wc, ‘ftype’, window) 通過選擇 wc、 ftype和 window參數(shù)（含義同上），可以設(shè)計各種加窗濾波器。不過，當用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時， fir1會自動對 M加 1 hn=fir1(M, wc, window)， 可以指定窗函數(shù)向量 window。當 ftype=high時，設(shè)計高通 FIR濾波器；當 ftype=stop，且 wc=［ wcl, wcu］時，設(shè)計帶阻 FIR濾波器。因而將所設(shè)計的 窗函數(shù)法的 MATLAB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 hn=fir1(M, wc) 返回 6 dB截止頻率為 wc的 M階（單位脈沖響應(yīng) h(n)長度 N=M+1） FIR低通（ wc為標量）濾波器系數(shù)向量 hn，默認選用哈明窗。 s i n [ 3 ( 1 2 ) / 8 ]( 1 2 )nn????d( ) ( ) ( )h n h n w n?（ 4） 加窗 : 25sin[ 3 ( 12 ) / 8 ]( 12 ) 0. 5 0. 5 c os ( )( 12 ) 12nnn R nn??? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ?????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 (1) fir1 fir1用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位 FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實現(xiàn)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的標準窗函數(shù)法設(shè)計。 25( ) 0 . 5 1 c o s ( )12nw n R n? ? ????? ????????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 （ 2） 構(gòu)造 Hd(ejω): jjcdce , ≤ ≤( e )0 , 0 ≤H??? ?????? ??? ????spc131 2 , 22N ???? ???? ? ? ??式中： （ 3） 求出 hd(n): jjdd1( ) ( e ) e d2nh n H ?? ????? ? ?ccj j j j1 e e d e e d2nn? ? ? ? ? ? ????????????????? ????cs i n ( )s i n ( ) ( ) ( )nnnn??????????? ? ? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 將 τ=12代入得 ： ds i n [ 3 ( 1 2 ) / 8 ]( ) ( 1 2 )( 1 2 )nh n nn???? ? ???δ(n－ 12)對應(yīng)全通濾波器， 是截止頻率為3π/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 過渡帶： 本例中過渡帶寬度 Bt≤ωp－ ωs=π/4， 漢寧窗的精確過渡帶寬度 Bt=，所以要求 Bt=≤π/4N≥。 解 (1） 選擇窗函數(shù) w(n)，計算窗函數(shù)長度 N。所以如果設(shè)計指標給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率 ωp和 ωs， 一般取 (3) 計算 hd(n) ? 如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為 Hd(ejω)，那么單位脈沖響應(yīng)用下式求出： 2spc?????（ ） 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 的線性相位理想低通濾波器作為 Hd(ejω)，其單位脈沖響應(yīng) hd(n)： 為保證線性相位特性， ? =(N－ 1)/2 cds i n ( ( ))()π ( )nhnn??????（ ） ??? ππjjdd de)e(π21)( ??? nHnhcdgc1 | |()0 | | π???? ???H ??? ??對： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 2 πjdd( ) ( e )kMMH k H?根據(jù)頻域采樣理論， hdM(n)與 hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系： dd( ) I D F T [ ( ) ]?M M Mh n H kdd( ) ( ) ( )MMrh n h n rM R n?? ? ?????如果 Hd(ejω)較復(fù)雜或者不能用封閉公式表示 可以對 Hd(ejω)從 ω=0到 ω=2π采樣 M點，采樣值為： k=0 ,1, 2, …, M－ 1，進行 M點 IDFT(IFFT) 得到： 如果 M選得較大，可以保證在窗口內(nèi) hdM(n)有效逼近 hd(n) (4) 加窗得到設(shè)計結(jié)果： h(n)=hd(n)w(n) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 例 用矩形窗 、 漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計 FIR低通濾波器 ， 設(shè) N=11,ωc=。 用窗函數(shù)法設(shè)計 FIR濾波器的步驟 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 (2) 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) Hd(ejω )，即 對所謂的“標準窗函數(shù)法”，就是選擇 Hd(ejω)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。然后根據(jù)過渡帶寬度估計窗口長度 N。 先按照阻帶衰減選擇窗函數(shù)類型。隨著數(shù)字信號處理的不斷發(fā)展，學(xué)者們提出的窗函數(shù)已多達幾十種，除了上述 6種窗函數(shù)外，比較有名的還有 Chebyshev窗、Gaussian窗 ［ 5, 6］ 。過渡帶窄時，但阻帶衰減不好；阻帶衰減好時，但過渡帶寬；因此，實際中窗函數(shù)的選擇往往是它們的折衷。 N=20 ?改變 N只能改變過渡帶寬窄，不能改變阻帶的衰減性； ?阻帶的衰減性由窗函數(shù)類型決定，矩形窗最差，布萊克曼窗最好 。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 表 凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 表 6種