【正文】 ??????????????????????????????????????????????????? ???)4192sin(61)241sin()4192sin(41)241sin()412sin(41)241sin()412sin(41)241sin()2sin(41)241sin()(8120????????????????????kjjkkkkeeH圖 例 阻帶衰減： 例：利用頻率抽樣法設(shè)計一個頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為 ，抽樣點數(shù)為 N=33，要求濾波器具有線性相位。 將 H(k)表達(dá)式帶入內(nèi)插公式（ ）化簡，得 ????40041)(411)]([)(kknWkHkHIDFTnh 依據(jù)上式分析濾波器的性能，從而驗證設(shè)計結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求。所以從 ω =0開始對 Hd(ω)在 ω =0~2π內(nèi)抽樣 41點，得到幅度抽樣 A(k) 在 A(k)原為零的 k= 32處加入值為 樣點，即 A(9)=A(32)=，則 ??????32,10,9,040,34,33,8,1,0,1)(???kkkA?????????31,11,10,032,9,40,34,33,8,1,0,1)(???kkkkA又依據(jù)式 ()得到相位抽樣 φ(k)為 由此得到頻率抽樣 ??? kkNk 4140)()( ?????20,1,0 ??k????????????????????40,34,33,32,31,11,10,09,8,1,0,)()(4140414041404140)(???kekekkekeekAkHkjkjkjkjkj?????（ 5）求解 h(n)。 （ 2）估算頻域抽樣點數(shù)，依據(jù)式 ()，得 留一點的裕量，取 N=41 40)(2)11(/2)1( ?????? ??? BmN（ 3）構(gòu)造所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)。 ? ????10)(1)]([)(NkknNWkHNkHIDF Tnh 1,1,0 ?? Nn ?例 運用頻率抽樣法設(shè)計一個 FIR低通數(shù)字濾波器，要求截止頻率 ωc =，阻帶最小衰減 δst ≥40 dB，過渡帶寬 ΔB ≤ ，所設(shè)計的濾波器應(yīng)具有第一類線性相位。 （ 5）求解所設(shè)計濾波器單位抽樣響應(yīng) h(n)。首先確定在通帶內(nèi)的抽樣點數(shù) kc +1（ ω =0~ π） 。一般選擇 Hd(ejω)為理想頻率響應(yīng)，注意應(yīng)確保相位 θ(ω)為線性相位，而要 Hd(ω)滿足線性相位要求。依據(jù)給定的過渡帶寬 ΔB，利用式（ ）來確定。依據(jù)給定的 δst ，結(jié)合表 。增加 N，使抽樣點變密，減小過渡帶寬度，但增加了計算量 優(yōu)點：頻域直接設(shè)計 缺點：抽樣頻率只能是 或 的整數(shù)倍， 截止頻率 ωc不能任意取值。 圖 注意：這時總抽樣點數(shù) N并未改變，只是將原來為零的幾個點改為非零點 增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減，一般取過渡帶的抽樣點數(shù)為 1~3點即可得到滿意的效果。同時，頻域抽樣點數(shù) N越大， h(n)越接近于 hd(n)。 時域： 依據(jù)頻域抽樣知識 若 Hd(ejω)是分段的，則 hd(n)是無限長的。 2．逼近誤差產(chǎn)生的原因 (頻域和時域） 頻域：從式（ ）可以看出， H(ejω)在各頻率抽樣點上等于本抽樣點出的 H(k)，但是在抽樣點之間則由各抽樣值 H(k)乘以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。 由上圖看出，抽樣點數(shù) N越大， Hd(ω)平坦區(qū)域的誤差越小，過渡帶也越窄，通帶與阻帶的波紋變化越快。 ????140)(151)]([)(kknNWkHkHIDFTnh 14,1,0 ??n14702( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )15jjkH e F T h n H e H k k?? ?? ? ???? ? ? ??????? 7)2/si n()2/15si n(151)( je ??當(dāng) N=65時，幅度響應(yīng)如圖 ，為了便于比較，與 N=15的曲線繪制在一起。依據(jù)所要求的截止頻率，得 則 接下來，從 ω=0開始對 Hd(ejω) 在 ω =0~ 2π抽樣 15點，得到幅度抽樣 A(k)，如圖 (a)所示。 解：以理想低通濾波器作為希望逼近的濾波器，則頻率響應(yīng)函數(shù)為 ???????????????????????,0,)()( 2121NjNjdjdeeHeH（ 1）對 Hd(ejω) 進(jìn)行抽樣。 為了討論方便，將所設(shè)計濾波器的 H(ejω) 、 H(k)分別表示成以下形式： )()()( ??? ? jj eHeH ? )()()( kjekAk ??() () 比較上述兩式，可知下述關(guān)系成立： )2(|)()( 2 kNHHkAkN???? ?? ?1,1,0 ?? Nk ? )2(|)()(2 kNk kN??????? ?? ?1,1,0 ?? Nk() () 從表 ，此時幅度函數(shù) 關(guān)于 ω=π偶對稱，即 則 即 相位抽樣 φ(k) ( ) ( 2 )HH? ? ???1） h(n)偶對稱， N為奇數(shù) )())(2()22()2()( kNAkNNHkNHkNHkA ??????? ????( ) ( ) 0 , 1 , , 1A k A N k k N? ? ? ?() ??? ??kNNNkkN)1(|2)1()(2???????1,1,0 ?? Nk ?() 此時幅度函數(shù)關(guān)于 ω=π奇對稱，即 即 相位抽樣 φ(k) 2） h(n)偶對稱， N為偶數(shù) ( ) ( 2 )HH? ? ?? ? ?)())(2()22()2()( kNAkNNHkNHkNHkA ?????????? ????( ) ( )A k A N k? ? ?1,1,0 ?? Nk ? ??? ??kNNNkkN)1(|2)1()(2???????1,1,0 ?? Nk ?3） h(n)奇對稱， N為奇數(shù) 3） h(n)奇對稱， N為偶數(shù) )()( kNAkA ??? ??? kNNk )1(2)(???1,1,0 ?? Nk ? 1,1,0 ?? Nk ( ) ( )A k A N k?? ??? kNNk )1(2)( ??? 1,1,0 ?? Nk ? 1,1,0 ?? Nk 設(shè)計公式 頻率抽樣的兩種方法 1）第一種頻率抽樣 ? ? ? ? 2jdkNH k H e ? ?? ??0 , 1 , ..., 1kN??1101 ( )()1N Nkk Nz H kHzN W z? ????????系統(tǒng)函數(shù) ： ? ? ? ?1 120si n1 2si n2kN Njjj NkNH e e H k ekNN??????? ???????????????????頻率響應(yīng)： 2）第二種頻率抽樣 ? ? ? ? 2jdkNNH k H e ? ??? ???0 , 1 , ..., 1kN??? ?1210 121()1N NjkkNHkzHzNez?? ??????? ???????? ?? ?121 120c o s21si n22jkNN NjjkNH k eH e eNjkN?????????? ??? ?????????????? ???? ?????????系統(tǒng)函數(shù)： 頻率響應(yīng)： 線性相位第一種頻率抽樣 依據(jù)式（ ） 而 當(dāng) N為奇數(shù)時， N1為偶數(shù)，由于 ，則可取 ( 1 )() NkkN?????1,1,0 ?? Nk ? ???? kNNNkNNNkN )1()1()()1()( ????????????? kNNjkNNNj ee )1(])1()1([ ????? ??? kNNkN )1()( ??? 1,1,0 ?? Nk ?當(dāng) N為偶數(shù)時， 為 N1奇數(shù)，由于 ，則可取 但此時 A(k)=A(Nk)，則 所以此時可以將幅度抽樣和相位抽樣改寫為 ])1([])1()1([ ???? kNNjkNNNj ee ?????? ? ??? kNNkN )1()( ???? 1,1,0 ?? Nk ? ???? kNNjkNNjkNj ekAekAekNAkNH)1(])1([)( )()()()(???? ??????)()( kNAkA ?? ?? kNNkN )1()( ???綜合上述分析過程，可得到如下設(shè)計公式： （ 1） N為奇數(shù) （ 2） N為偶數(shù) )()( kNAkA ??( 1 )( ) ( ) Nk N k kN? ? ??? ? ? ? ?1,1,0 ?? Nk ? )()( kNAkA ??( ) 02N ? ( 1 )( ) ( ) Nk N k kN? ? ??? ? ? ? ?1,1,0 ?? Nk ?() () 例如：設(shè)計所希望的濾波器是理想低通濾波器，要求截止頻率為 ωc，抽樣點數(shù) N為奇數(shù)，則 A(k) 、 φ(k)可以下列公式計算： kc為小于或等于 的最大整數(shù)。 抽樣點上，頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等 抽樣點之間，加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加 變化越平緩，內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差較小 H(k)滿足的條件 關(guān)于線性相位 FIR濾波器的時域、頻域特性，我們已經(jīng)將其歸納于表 。同時，也就可以獲得其系統(tǒng)函數(shù) H(z)或頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω) 。 解： , 0 ()0, jjdeHe???? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ????????、si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 ) ( 15 )(), 15dn n nnn n nhnn? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ?? ?? ??所設(shè)計帶阻濾波器的單位抽樣響應(yīng)為 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ]( ) ( )( 15 ) ( 15 ) ( 15 )n n nh n R nn n n? ? ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ??? 頻率抽樣設(shè)計法 頻率抽樣設(shè)計法則是在頻域內(nèi)，以有限個頻率響應(yīng)抽樣，去近似所希望的理想頻率響應(yīng) Hd(ejω)的設(shè)計方法。 解： , ()0, 0 jjdeHe???? ? ????? ?????????si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 )(), 15dnnnnnhnn????????????? ?? ??選擇漢明窗函數(shù)，則 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] 2( ) c os ( )( 15 ) ( 15 ) 1n n nh n R nn n N