【正文】 N 值 N???選 擇 漢 明 窗 ：5）確定 FIR濾波器的 h(n) ? ?? ? 33si n 16( ) c os ( )16 16n nh n R nn? ???? ? ????? ? ???? ??6）求 ，驗(yàn)證 ()jHe ?若不滿足，則改變N或窗形狀重新設(shè)計(jì) 線性相位 FIR高通濾波器的設(shè)計(jì) 理想線性相位高通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為 ,()0, 0jcjdceHe???? ? ????? ?????????單位抽樣響應(yīng)為 ( ) ( )11( ) ( )22si n [ ( ) ]si n [ ( ) ],( ) ( ),ccj j n j n j nddcch n H e e d e d e dnnnnnn? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ????????? ? ? ????????????? ? ??????????????? ??????? ? ?12N? ??高通濾波器的長(zhǎng)度 N只能取奇數(shù) 例 利用漢明窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR高通濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 取長(zhǎng)度 N=31。 解： , ()0, 0 jjdeHe???? ? ????? ?????????si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 )(), 15dnnnnnhnn????????????? ?? ??選擇漢明窗函數(shù)，則 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] 2( ) c os ( )( 15 ) ( 15 ) 1n n nh n R nn n N? ? ??????? ?? ??? ? ???????? ? ????? ??線性相位 FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì) 理想帶通的頻響 1221( ) ( )1()2j n j ndh n e d e d??? ? ? ????? ?????????????? ?? ?? ?? ?2121si n si nnnnnnn? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ????? ??? ??????其單位抽樣響應(yīng)： 120()0jjdeHe ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? 其 它12N? ??例 利用漢寧窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR帶通濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 取長(zhǎng)度 N=31。 解： , ()0, 0 jjdeHe???? ? ?? ? ? ? ??? ?????? ? ? ??? 、si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 )() , 15dnnnnnhnn????????????? ?? ??所設(shè)計(jì)帶通濾波器的單位抽樣響應(yīng)為 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] 2( ) 1 c os ( )( 15 ) ( 15 ) 1n n nh n R nn n N? ? ????????? ?? ??? ? ?? ? ? ?????? ? ????? ????0 10 20 30 0 . 2 0 . 100 . 10 . 20 . 3nh(n)單位抽樣響應(yīng)0 0 . 4 0 . 6 1 8 0 4 460? / ?dB幅度頻率響應(yīng)線性相位 FIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 理想帶阻的頻響： 2112( ) ( ) ( )1()2j n j n j ndh n e d e d e d? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?????? ? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1212si n si n si nn n nnn n nn? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ???????其單位抽樣響應(yīng)： 120,()0jjdeHe??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? 其 它例 利用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR帶阻濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 取長(zhǎng)度 N=31。 解： , 0 ()0, jjdeHe???? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ????????、si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 ) ( 15 )(), 15dn n nnn n nhnn? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ?? ?? ??所設(shè)計(jì)帶阻濾波器的單位抽樣響應(yīng)為 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ]( ) ( )( 15 ) ( 15 ) ( 15 )n n nh n R nn n n? ? ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ??? 頻率抽樣設(shè)計(jì)法 頻率抽樣設(shè)計(jì)法則是在頻域內(nèi)，以有限個(gè)頻率響應(yīng)抽樣，去近似所希望的理想頻率響應(yīng) Hd(ejω)的設(shè)計(jì)方法。 10( ) ( ) ( )Nj j n jdnH e h n e H e? ? ???????1( ) ( )2j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ?( ) ( ) ( )dh n w n h n?窗函數(shù)設(shè)計(jì)法： 對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為 N的序列 h(n)，若知道其頻域的 N個(gè)抽樣值 H(k)，則 h(n)就可以由 H(k) 唯一地確定。同時(shí)，也就可以獲得其系統(tǒng)函數(shù) H(z)或頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω) 。 設(shè)所希望得到的頻率響應(yīng)為 Hd(ejω) （一般為理想頻率響應(yīng)），在頻域的 ω=0~2π之間對(duì)其等間隔抽樣 N點(diǎn)（或?qū)?Hd(z) 在單位圓上進(jìn)行等間隔抽樣），得到 個(gè)抽樣值為 設(shè)計(jì)的基本思想 kNjd eHkH ???2|)()( ?? 1,1,0 ?? Nk ?則 重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù) H(z) 12/01( ) ( ) , 0 , 1 , ..., 1N j nk Nkh n H k e n NN ???? ? ??101 1 1 12 / 2 /0 0 0 0112 / 1 100( ) ( )11[ ( ) ] ( )1 1 1 1( ) ( )11NnnN N N Nj nk N n j nk N nn k k nNNNNj nk N kkk NH z h n zH k e z H k e zNNzzH k H kN e z N W z??????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ???????????????????? ? ? ???() 將 z=ejω代入 H(z)表達(dá)式可得 式中，內(nèi)插函數(shù) 12/011()20101 ( ) ( 1 )()11 ( ) si n( / 2)si n[ ( 2 / ) / 2]2( ) ( )jNNjj nk N jkNkNjNkNkH k eHeN e eH k NeN k NH k kN??????????????????????????????????() 12si n12()si n2NjNeN????????從式（ ）可以看出，在個(gè)頻率抽樣點(diǎn)上，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)時(shí)嚴(yán)格和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等，但是在抽樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)則是個(gè)抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀，理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差越小；反之，如果抽樣點(diǎn)之間的理想頻率響應(yīng)變化越陡，則內(nèi)插與理想值之間誤差就越大。 抽樣點(diǎn)上，頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等 抽樣點(diǎn)之間，加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加 變化越平緩，內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差較小 H(k)滿足的條件 關(guān)于線性相位 FIR濾波器的時(shí)域、頻域特性，我們已經(jīng)將其歸納于表 。下面將以該表內(nèi)容為依據(jù)，討論當(dāng) H(k)的幅度和相位滿足什么條件時(shí)，才能使所設(shè)計(jì)的 FIR濾波器具有線性相位。 為了討論方便，將所設(shè)計(jì)濾波器的 H(ejω) 、 H(k)分別表示成以下形式： )()()( ??? ? jj eHeH ? )()()( kjekAk ??() () 比較上述兩式，可知下述關(guān)系成立： )2(|)()( 2 kNHHkAkN???? ?? ?1,1,0 ?? Nk ? )2(|)()(2 kNk kN??????? ?? ?1,1,0 ?? Nk() () 從表 ，此時(shí)幅度函數(shù) 關(guān)于 ω=π偶對(duì)稱，即 則 即 相位抽樣 φ(k) ( ) ( 2 )HH? ? ???1） h(n)偶對(duì)稱， N為奇數(shù) )())(2()22()2()( kNAkNNHkNHkNHkA ??????? ????( ) ( ) 0 , 1 , , 1A k A N k k N? ? ? ?() ??? ??kNNNkkN)1(|2)1()(2???????1,1,0 ?? Nk ?() 此時(shí)幅度函數(shù)關(guān)于 ω=π奇對(duì)稱，即 即 相位抽樣 φ(k) 2） h(n)偶對(duì)稱， N為偶數(shù) ( ) ( 2 )HH? ? ?? ? ?)())(2()22()2()( kNAkNNHkNHkNHkA ?????????? ????( ) ( )A k A N k? ? ?1,1,0 ?? Nk ? ??? ??kNNNkkN)1(|2)1()(2???????1,1,0 ?? Nk ?3） h(n)奇對(duì)稱， N為奇數(shù) 3） h(n)奇對(duì)稱， N為偶數(shù) )()( kNAkA ??? ??? kNNk )1(2)(???1,1,0 ?? Nk ? 1,1,0 ?? Nk ( ) ( )A k A N k?? ??? kNNk )1(2)( ??? 1,1,0 ?? Nk ? 1,1,0 ?? Nk 設(shè)計(jì)公式 頻率抽樣的兩種方法 1）第一種頻率抽樣 ? ? ? ? 2jdkNH k H e ? ?? ??0 , 1 , ..., 1kN??1101 ( )()1N Nkk Nz H kHzN W z? ????????系統(tǒng)函數(shù) ： ? ? ? ?1 120si n1 2si n2kN Njjj NkNH e e H k ekNN??????? ???????????????????頻率響應(yīng)： 2）第二種頻率抽樣 ? ? ? ? 2jdkNNH k H e ? ??? ???0 , 1 , ..., 1kN??? ?1210 121()1N NjkkNHkzHzNez?? ??????? ???????? ?? ?121 120c o s21si n22jkNN NjjkNH k