【正文】 ? ? ??????? ?? ??? ? ???????? ? ????? ??線性相位 FIR帶通濾波器的設(shè)計 理想帶通的頻響 1221( ) ( )1()2j n j ndh n e d e d??? ? ? ????? ?????????????? ?? ?? ?? ?2121si n si nnnnnnn? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ????? ??? ??????其單位抽樣響應(yīng)： 120()0jjdeHe ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? 其 它12N? ??例 利用漢寧窗設(shè)計一個 FIR帶通濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 取長度 N=31。 203802( 3 1 ( 1 ) )si n [ ( ) ] 37( ) ( )( ) ( 3 )nInh n R nnI????????0 10 20 30 0 . 200 . 20 . 40 . 6nh(n)單位抽樣響應(yīng)0 0 . 4 0 . 5 0 . 6 1 8 0 6 060? / ?dB幅度頻率響應(yīng)例 2 設(shè)計一個線性相位 FIR低通濾波器， 給定抽樣頻率為 通帶截止頻率為 阻帶起始頻率為 阻帶衰減不小于 50dB。 0. 11 02 ( 8. 7 ) 5. 65 3st??? ? ?81 19 5( )sts t pN????? ? ??取 N=38 203802( 1 ( 1 ) )37( ) ( )( )nIw n R nI???（ 2）確定理想低通濾波器的截止頻率 ωc 2c???? ???（ 3）求解 hd(n)。 si n [ ( 10 ) ]()( 10 )dnhnn?????解： 若選擇矩形窗函數(shù)，則有 21si n [ ( 10 ) ]( ) ( ) ( ) ( )( 10 )dnh n h n w n R nn??????若選擇漢寧窗函數(shù)，則有 21si n [ ( 10 ) ] 2( ) ( ) ( ) 1 c os ( )( 10 ) 1dnnh n h n w n R nnN?????? ??? ? ? ??????? ????矩形窗設(shè)計的FIR濾波器幅度特性 ； 漢寧窗設(shè)計的FIR濾波器幅度特性 例 利用凱塞窗設(shè)計一個 FIR低通濾波器，要求：通帶截止頻率 ωp=，阻帶截止頻率ωst=，阻帶最小衰減 δst≥60dB。依據(jù)所選窗函數(shù)，得到單位抽樣響應(yīng)為 33( ) ( ) ( )si n [ ( 16 ) ] c os ( )( 16 ) 16dh n h n w nnnRnn??????? ???? ????? ????（ 4）由 h(n) 求出 H(ejω) ，以便驗證設(shè)計結(jié)果是否滿足要求。但由于漢明窗的主瓣最窄，因而我們選擇漢明窗，其表達(dá)式為 2( ) c os ( )1 Nnw n R nN??? ???????? ?????由過渡帶寬確定窗的長度 N。 解 ：（ 1） 以理想線性相位低通濾波器作為逼近濾波器，即 d,()0,jcjceHe?????? ? ??? ????????單位抽樣響應(yīng)為 dsi n [ ( ) ]()()cccnhnn? ? ?? ? ????理想低通濾波器的截止頻率 ωc為 22p stc?? ????? ?? ? ? si n [ ( ) ] si n [ ( ) ] ( ) ( )nnnn? ? ? ? ?? ? ? ? ???????為了保證線性相位 12N? ??（ 2）依據(jù)阻帶最小衰減指標(biāo)選擇窗函數(shù)類型。 (3) 計算濾波器的單位取樣響應(yīng) h(n)， h(n) =hd(n)w(n) (4)驗算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求 。 圖 凱塞窗波形（ N=21） 圖 參數(shù)變化時凱塞窗的傅里葉變換 表 β對濾波器性能的影響 若阻帶最小衰減表示為 δst， β的確定可采用下述經(jīng)驗公式 81 5 ( )stst pN???????0 .40 21 42 ( 21 ) 886 ( 21 ) 21 50 02 ( ) 50stst st stst st?? ? ? ??????? ? ? ? ? ??? ???n???BS 窗函數(shù)設(shè)計法總結(jié) (1)確定所希望設(shè)計濾波器的 hd(n) 一般以理想線性相位濾波器作為逼近函數(shù)來求hd(n)， 即設(shè) Hd(ejω)為理想線性相位濾波器 ， 那么單位取樣響應(yīng)用下式求出： dd1( ) ( )2jjh n H e e d? ??????? ?求解過程中涉及 Hd(ejω)的截止頻率 2p stc?????(2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求 ， 選擇窗函數(shù)的形式 ， 并估計窗口長度 N。 當(dāng) β = ，窗函數(shù)接近哈明窗 。 β參數(shù)可以控制窗的形狀 。)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。 20021 ( 1 )1( ) ( )()NnINw n R nI????????????β是一個可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說來， β越大 ,過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。反之，給定指標(biāo)，凱塞窗可以使濾波器的階數(shù)最小。而凱塞窗是一種可調(diào)整的窗函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)以同一種窗函數(shù)類型來滿足不同性能需求的目的。 8N?主瓣寬度寬： 旁瓣幅度小 31 d Bn? ?? 8/ N???? 6. 2 /BN??? 44 d Bst? ?4. 漢明 (Hamming)窗 ——改進(jìn)的升余弦窗 2( ) [ c os( ) ] ( )1 Nnw n R nN????幅度函數(shù) 主瓣寬度寬： 8N?旁瓣幅度更小 121222( ) ( ) 11()NjjR R RNjW e W W W eNNWe?????? ? ???????? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ??????22( ) ( ) 11R R RW W W WNN??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ???41 d Bn? ?? 8/ N???? 6. 6 /BN??? 53 d Bst? ?5. 布萊克曼 (Blackman)窗 在升余弦窗的定義式中再加上一個二次諧波的余弦分量得到的 ， 故又稱二階升余弦窗 。窗函數(shù)設(shè)計得到 FIR濾波器的阻帶最小衰減。 （ 3）過度帶寬 ，窗函數(shù)設(shè)計得到 FIR濾波器的過度帶寬，即通帶截止頻率與阻帶截止頻率之差。 幾種典型的窗函數(shù) 窗函數(shù)的要求： （ 1）窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶 （ 2）盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度，以減小肩峰和波紋 （ 1）最大旁瓣峰值 （ dB）。 2N?肩峰值的大小，直接影響通帶特性和阻帶衰減。 其相對比例由窗函數(shù)形狀決定 。 幅度函數(shù) 1( ) ( )2ccRH W d??? ? ? ??????d ( ) * ( )RHW???相位函數(shù) 1()2N? ? ??????????一般情況 2c N?? ?c??? ( ) / ( 0 ) 0 . 5cHH? ?正肩峰 2/c N? ? ???2/c N? ? ???負(fù)肩峰 2/c N??? 2/c N???0? ?1( 0 ) ( )2 RH W d??????? ?加窗函數(shù)的影響： ① 形成過渡帶 Hd(ejω)在截止頻率處有陡峭的邊沿 H(ω)在截止頻率處連續(xù)曲線 邊沿加寬 ，形成過渡帶 窗頻譜的主瓣越寬 ， 過渡帶也越寬 。 π偶 ?????? )2 1N()( )1()( nNhnh ???)1()( nNhnh ????2)21N()( ????????()H ?()H ?()H ?()H ?0,???0? ?0,???0? ?()hn()hn在 處，兩者完全一樣 在 處，當(dāng) N為奇數(shù)，兩者完全一樣；偶數(shù)相反 0?????對稱性與 在 處對稱性的比較 ()H ? ()hn ( 1 ) / 2N ?. 線性相位 FIR濾波器的零點(diǎn)分布 零點(diǎn)的分布原則 ( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ???若 z=zi 是 H(z)的零點(diǎn)，則 ???????也是 H(z)的零點(diǎn) 1iizz?? ?*1*iizz?h(n)為實(shí)序列時 線性相位濾波器的零點(diǎn)是互為倒數(shù)的共軛對即共軛成對且鏡像成對 ? ?1*1*iiiizzzz?????????? ?j1 j* j1*j*1111iiiiiiz rezezrz rezerz??????? ????????????????4種 零點(diǎn) 零點(diǎn)的位置 1） 零點(diǎn) zi既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上 jeizr???1 j1 eiz r?? ??jeizr?? ??? ?1 j1eizr??? ??4個零點(diǎn)成對出現(xiàn) 2） 零點(diǎn) zi不在實(shí)軸上，在單位圓上 jeiz??1 jeiz?? ? jeiz ?? ?? ?1 jeiz??? ?2個零點(diǎn)成對出現(xiàn) 存在共軛對，但倒數(shù)是其本身 3） 零點(diǎn) zi在實(shí)軸上，不在單位圓上 izr?1 1i r? ?izr? ?? ?1 1iz r???2個零點(diǎn)成對出現(xiàn) 存在倒數(shù)，但共軛是其本身 4） 零點(diǎn) zi在既實(shí)軸上，又在單位圓上 1iz ??4個互為倒數(shù)、共軛的零點(diǎn)合為 1點(diǎn) N為偶數(shù)時的偶對稱 1iz ?N為偶數(shù)時的奇對稱 1iz ??N為奇數(shù)時的奇對稱 小結(jié) （ 1）四種 FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于 h(n)的對稱性， 而與 h(n)的值無關(guān)； （ 2）幅度特性取決于 h(n)的取值； （ 3）設(shè)計線性相位 FIR濾波器時，在保證 h(n) 對稱的條件下 ，只要完成幅度特性的逼近即可。 π奇 奇對稱： ? N為奇數(shù)時， 對 呈奇對稱。 FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)： ( ) 0 1h n n N? ? ?10( ) ( )NnnH z h n z???? ?系統(tǒng)函數(shù)： 在 z 平面有 N –1 個零點(diǎn) 在 z = 0 處是 N –1 階極點(diǎn) . 線性相位的定義 FIR濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù) 1()0( ) ( ) ( )Nj j n j jnH e h n e H e e? ? ? ? ???????( ) ( )( ) ( )j j jH e e H e? ? ? ? ??? ? ?幅度響應(yīng)（ +， 實(shí)函數(shù)） ?幅度函數(shù)（可 +可 ， 實(shí)函數(shù)） ?相位函數(shù) 線性相位是指 θ(ω)是 ω的線性函數(shù) ()? ? ? ???()? ? ? ? ???滿足 ()dd??????第一類線性相位 第二類線性相位 群延時為