【正文】 ?? ? ????從時域分析誤差 頻域采樣定理：在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點 ， 利用 IDFT得到的 h(n)。 缺點是： 要求用計算機實現(xiàn)，邊界頻率不易控制。驗算 H(ejω)是否滿足設(shè)計要求，若不滿足要求，重復(fù)上面 2， 3， 4過程。其中 w(n)是上面選擇好的窗函數(shù)， hd(n)與 w(n)都應(yīng)滿足線性相位要求。原則是保證阻帶衰減的前提下，盡量選主瓣窄的窗函數(shù)。10,)( )()( 200 ???????? NnNnIInWk ???? 其中I0(x) 是零階第一類修正貝塞爾函數(shù) ( 1 ) / 21( ) ( 0) 2 ( ) c o sNk k knW n n? ? ? ????? ?凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響 六種窗函數(shù)的基本參數(shù) 四、窗函數(shù)法的設(shè)計步驟 1．確定希望逼近的濾波器的頻響函數(shù) Hd(ejω) 根據(jù) Hd(ejω)確定其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) hd(n) 22101( ) ( )M j k j k nMMMdkh n H e eM????? ?IDFT ( ) ( )Mdrh n h n r M?? ? ????RM(n) 1( ) ( )2jjddh n H e e d? ??? ?? ?? ?n (1) Hd(ejω)可封閉求解，則： (2) Hd(ejω) 不可封閉求解，對 Hd(ejω) 從 ω=0?2?采樣 M點，采樣值為 Hd(ej2?k/M)， k=0,1,…,M 1，用 2?/M 代替上式中 dω ，則： (3) 如果已知通帶 (或阻帶 )衰減和邊界截止頻率 ωc，選 理想濾波器 作為逼近函數(shù)，對理想濾波器頻響函數(shù)作 IFT ，求出 hd(n)。10,)( )()( 200 ???????? NnNnIInWk ???? 其中??????120 ])2(!1[1)(kkxkxI? 參數(shù)用以 控制窗的形狀 ，影響濾波器的性能參數(shù)， ?加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為： 4?9；當 ?＝ ，窗函數(shù)接近哈明窗， ?＝ ，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。 dB080?60?20?40??0??N?2)e(Wlg20 ωjw 5．布萊克曼窗 (Blackman Window):二階升余弦窗 24( ) [ 0 .4 2 0 .5 c o s 0 .0 8 c o s ] ( )11B l Nnnn R nNN??? ? ? ???22( ) ( )11R22( ) ( )11( ) 0 . 4 2 ( ) 0 . 2 5 [ ( ) ( )]0 . 0 4 [ ( ) ( )]jjjj NNB l R RjjNNRRW e W e W e W eW e W e??????????????????? ? ???22( ) 0. 42 ( ) 0. 25 [ ( ) ( ) ]11440. 04 [ ( ) ( ) ]11Bl R R RRRW W W WNNWWNN??? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ???21?N0n)(nw1?NWBl(ejw)主瓣寬度為 12?/N，第一副瓣比主瓣低 57dB。 dB020?40?60?80?0 ???N?2)e(Wlg20 ωjw 1()2 2sin ( )4( ) [ ]2 sin ( / 2 )NjjBrNNW e e ??? ??????1()2 2sin ( )4( ) [ ]2 sin ( / 2 )NjjBrNNW e e ??? ??????1()22sin( )4( ) [ ]2sin( /2)NjjBrNNWe e??? ?? ????1()2 2sin( )4( ) [ ]2sin( /2) NjjBr NNWe e ??? ?? ????2 3. 漢寧 (Hanning)窗 —— 升余弦窗 1211222( ) 0. 5 [ 1 c o s( ) ] ( )1( ) [ ( ) ] ( )2( ) [ ( ) ] { 0. 5 ( ) 0. 25 [ ( )12( ) ] } ( )1Hn NNjjR N RjHn Hn R RNNjjR Hnnn R nNW e FT R n W eW e FT W n W W NW e W eN????????????????????? ???? ? ? ? ?? ? ??頻響函數(shù) 22( ) 0 .5 ( ) 0 .2 5 [ ( ) ( )]H n R R RW W W WNN??? ? ? ?? ? ? ? ?其幅度函數(shù) 0)(nw1?Nn21?NWHn(ejw)主瓣寬度為 8?/N，第一副瓣比主瓣低 33dB。 三、幾種常見的窗函數(shù) 矩形窗 (Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 其頻率響應(yīng) 為 1 ( 1 )2s i n ( / 2)()s i n ( / 2)jNjRNW e e ?? ?????0)(nw1?Nn21?N WR(ejw)主瓣寬度為 4?/N，第一副瓣比主瓣低 13dB。使阻帶最小的 衰減只有 21dB。 Hd(ω)在加窗后在頻域中的現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng) 影響 : (1)通帶內(nèi)的波動影響濾波器通帶的 平穩(wěn)性 ； (2)阻帶內(nèi)波動影響 阻帶的衰減 ，可使最小衰減不滿足技術(shù)要求； 減小吉布斯效應(yīng)措施 增加 N值 ? 可減小過渡帶寬度 ，由于 主瓣與旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁瓣的 相對值不變 ， H(w)的波動幅度沒有改變。 Hd(ω)與 Rd(ω)卷積形成 H(ω)的過程 ()1( ) ( ) ( )21 ( ) ( )2j j a j adNjadNH e H e R e de H R d?? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ??? ? ????????( ) ( )1( ) ( ) ( )2j j adNH e H eH H R d?????? ? ? ? ????????Wc+2?/N Wc－ 2?/N H(w)最大的正峰與最大的負峰對應(yīng)的頻率相差 4π/N H(ω)與原理想低通 Hd(ω)差別有以下 2點： ? H(ω)在 ω=ωC附近形成過渡帶 ，過渡帶 寬度 B=4?/N，近似于矩形序列 幅度譜 RN(ω)的主瓣寬度 ； ? 通帶內(nèi)增加了 波動 ，最大的峰值在 ω=ωC?2?/N 處，阻帶內(nèi)產(chǎn)生了 余振 ，最大的負峰值在 ω=ωC+2?/N 處。即用一個 有限長的序列 h(n)去代替一個 無限長的序列 hd(n)， 會產(chǎn)生誤差，時域中是 截斷處理 ，在頻域表現(xiàn)出的現(xiàn)象就是 通帶和阻帶中有波動 ，也稱為吉布斯效應(yīng) (截斷效應(yīng) )。 設(shè)截取的一段用 h(n)表示 ， 即 h(n)=hd(n)RN(n) RN(n) n 0 N1 hd(n) n h (n) n a＝ (N1)/2 矩形窗的長度為 N，且a＝ (N1)/2時 ，滿足上述兩個要求。 ,()0,jacjdceHe ?? ??? ? ??? ????????h(n) 1， 0≤n ≤ 5 0，其他 n 一 、 設(shè)計思想 設(shè)希望設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)為 Hd(ejω )， hd(n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) ， 因此 ： 用窗函數(shù)法設(shè)計 FIR濾波器 ( ) ( )1( ) ( )2jjddnj j nddH e h n eh n H e e d??? ???????? ? ??????n ( ) ( )1( ) ( )2jjddnj j nddH e h n eh n H e e d??? ???????? ? ??????問題 ： 一般情況下 Hd(ejω )是逐段恒定的 ， 在邊界頻率處有不連續(xù)點 ， 所以 hd(n)是無限時寬 ， 且為非因果 ， 這樣的系統(tǒng)不能實現(xiàn) 。 ZI?1 0 1 jIm(z) Zi (3) Re(z) ○ ○ 例：如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 (1) 判斷該系統(tǒng)是否具有線性相位，說明理由。 0 1 Re(z) jIm(z) Zi1 Zi Zi* (Zi1)* (1) 分析： (1) 當 zi不在實軸上，不在 |z|=1上，則 零點是互為倒數(shù)的兩組共軛對； 確定了一個零點，其它三個確定了。 ? 由于 h(n)為實序列，零點必定共軛成對。)]在 ω =0、 2?處都呈奇對稱，對 ω =?呈偶對稱，故幅度函數(shù) H(ω)在 ω =0, ??也呈 奇對稱，在 ω =?處呈偶對稱 。)]在 ω =0、 2?處都為 0，因此 H (ω)在 ω =0， 2?處也為 0， H(z)在 z=1處為零點； 不能實現(xiàn)低通、帶阻濾波器 。 (2) H(ω)在 ω =0、 ?、 2?處值為 0，即 H(z)零點在 z=?1處 ，只能實現(xiàn) 帶通濾波器 。)]對 w=?奇對稱，所以 H(ω)在 ω =?呈奇對稱 ； (3) 用這種濾波器設(shè)計方法 不能實現(xiàn)高通、帶阻濾波器 ； /21/211( ) 2 ( ) c o s [ ( )]221( ) ( ) c o s [ ( )]2( ) 2 ( ), 1 , 2 , , )]22NgmNgnNH h m mH b n nNNb n h n n??????? ? ???? ? ? ? ? ???H (ω) h(n)=h(Nn1)， N=奇數(shù) 由前面推導(dǎo)的幅度函數(shù)可得： ( 1 ) / 21( ) ( ) s i n11( ) 2 ( ), 1 , 2 , ,22NgnH c n nNNc n h n n???????? ? ? ????( 1 ) / 21( ) ( ) s i n11( ) 2 ( ), 1 , 2 , ,22NgnH c n nNNc n h n n???????? ? ? ? ? ??)(== 2 1Nh)12 1NN(h)2 1N(h由于 h(n)=h(Nn1)， 當 n=(N1)/2時： h(n)和 正弦項都對 (N1)/2奇對稱 ， 相同項合并 ， 共合并 (N1)/2項 。 ( 3 ) / 20( 1) / 20( 1) / 2011( ) ( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]2211( ) ( ) 2 ( ) c o s22( ) ( ) c o sNgnNgnNgnNNH h h n nNNH h h m nH a n n????????????? ? ???? ? ?????H (ω)= h(n)=h(Nn1)， N=偶數(shù) 推導(dǎo)情況和前面 N為奇數(shù)相似 ， 不同點是由于 N為偶數(shù) ， Hg(ω)中沒有單獨項 ， 相等的項合并成 N/2項 。 特點： FIR濾波器永遠穩(wěn)定和容易實現(xiàn)線性相位 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的特點 對于長度為 N的 h(n)，傳輸函數(shù)為： 注意： ? H (ω)為 ω的實函數(shù)，可能取負值； ? |H(ejω)|稱為幅度響應(yīng)，