【正文】 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHk He k Nhn Hke k NN? ??????? ? ??? ?? ? ??? ??2210() ( ) , 0,1,2, , 11() () , 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHkHe k Nhn Hke k NN? ??????? ? ?? ?? ? ?? ??2210() ( ) , 0,1,2, , 11() () , 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHkHe khn Hke k NN? ??????? ? ?? ?? ? ?? ??2210( ) ( ) , 0 , , 2 , , 11( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1jdd kDN j k nNdkH k H e k Nh n H k e k NN???????? ? ??? ?? ? ??? ??2210( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 11( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1jdd kDN j k nNdkH k H e k Nh n H k e k NN???????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??對 N點 Hd(K)進行 IDFT，得所設計的濾波器的單位脈沖響應 h(n) 3．對求出的 h(n)進行 z變換，得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z) 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?120 11 ( )()1N Ndjkk Nz H kHzN ez ?? ?? ?????或利用頻域內插公式（ P88） Hd(ejω) Hd(k) h(n) H(ejω) 等間隔采樣 IDFT 內插函數(shù) 是否滿足指標 二、線性相位的約束 (1) 第一類線性相位： h(n)偶對稱， N為奇數(shù) kNNkNNk ??? 122 1 ???????kk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2???? ?? 2 1)( )()()( ???? Njjj eHeHeH特點： 幅度函數(shù) H(ω)關于 ω=0， π， 2π偶對稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk關于 N/2偶對稱，即： Hk= HNk ? 相位采樣值： (2) 第一類線性相位： h(n)偶對稱， N為偶數(shù) kNNkNNk ??? 122 1 ???????kk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2???? ?? 2 1)( )()()( ???? Njjj eHeHeH特點： 幅度函數(shù) H(ω)關于 ω=π奇對稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk關于 N/2奇對稱，即： Hk= HNk ，且 HN/2 =0 ? 相位采樣值： (3) 第二類線性相位： h(n)奇對稱， N為奇數(shù) 212221 ????? ????????? kNNkNNkkk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2)22 1()( )()()( ????? ?? ????? Njjj eHeHeH特點： 幅度函數(shù) H(ω)關于 ω=0， π， 2π奇對稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk奇對稱，即： Hk= HNk ? 相位采樣值： (4) 第二類線性相位： h(n)奇對稱， N為偶數(shù) 212221 ????? ????????? kNNkNNkkk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2)22 1()( )()()( ????? ?? ????? Njjj eHeHeH特點： 幅度函數(shù) H(ω)關于 ω=π偶對稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk偶對稱，即： Hk=HNk ? 相位采樣值： （ 2） h(n)偶對稱， N為偶數(shù)時： 設計方法： 用理想濾波器作為逼近濾波器 ， 截止頻率為 ωc， 采樣點數(shù)為 N，則 Hk和 θk的計算公式為： （ 1） h(n)偶對稱， N為奇數(shù)時： Hk = HNk = 1， k=0， 1， … ， kc； Hk = 0， k= kc+1， kc+2， … ， Nkc1； kNNk ?? 1???k=0， 1， … ， N1； Hk = 1， k=0， 1， … ， kc； Hk = 0， k= kc+1， kc+2， … ， Nkc1； kNNk ?? 1???k=0， 1， … ， N1； HNk = 1， k=0， 1， … ， kc； kc取小于等于 ωcN /2?的 最大整數(shù) 對 H(k) 進行 IDFT變換，求出 h(n)； 由 h(n)可求出所設計濾波器的頻響 H(ejw) 由前面計算出的 Hk和 θk的值可構造出 H(k) kjk eHkH ??)(等效于在 [0， 2π ] 上的 N個采樣值 k=0， 1， … ， N1； 三、誤差分析與改進措施 設待設計的濾波器為 Hd(ejω)， 對應的單位取樣響應為 hd(n) 1( ) ( )2j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ?( ) ( ) ( )dNrh n h n r N R n?? ? ????從時域分析誤差 頻域采樣定理：在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點 ， 利用 IDFT得到的 h(n)。 分析： 如果 Hd(ejω)有間斷點 ， 則 hd(n)是無限長的 ， 這樣得到的 h(n)產生時域的混迭 ， 無法逼近 hd(n)。 改進措施： 增大 N值 ， 使設計出的濾波器愈逼近待設計 Hd(ejω)。 從頻域分析誤差 頻率域等間隔采樣得到 N個采樣值 H(k)，頻響函數(shù)和 H(k)的關系為 120 110121 ( )()12( ) ( ) ( )1 si n( / 2 )()si n( / 2 )N Njk NNjkNjz H kHzN ezH e H k kNN eN????????? ?? ????????? ? ?????120 110121 ( )()12( ) ( ) ( )1 si n( / 2 )()si n( / 2 )N Njk NNjkNjz H kHzN ezH e H k kNN eN????????? ?? ????????? ? ?????內插函數(shù) 內插公式 ? 在采樣點 ω =2?k/N， k=0,1,…,N 1處， ?(ω 2?k/N)=1，因此采樣點 H(ejωk)與H(k)相等，逼近誤差為 0。 ? 在采樣點間， H(ejω)由有限項 H(k)與 ?(ω 2?k/N)之乘積和形成，其誤差與Hd(ej ω)平滑度有關，越平滑，誤差越小。 ? 特性曲線 間斷點處，誤差最大 ，表現(xiàn)形式為間斷點用斜線取代，且間斷點附近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，有可能滿足不了技術要求。 誤差分析 ： (1)增大 N值， 但間斷點仍無法彌補，帶來體積增大，成本增加。 (2) 在頻響 間斷點 附近區(qū)間 內插一個或幾個過渡采樣點 ，使不連續(xù)點變成緩慢過渡，雖然 增加了過渡帶帶寬 (代價） ，但 增加了阻帶衰減 (收獲 )。過渡帶的優(yōu)化要借助于計算機優(yōu)化設計。 減小誤差措施 總結：頻率采樣法設計線性相位 FIR濾波器步驟 根據(jù) ωc 及 N的奇偶性，確定濾波器 Hk和 ?k及 kC值； 由 H(k) = Hkej?k，求出 H (k)； 對 H (k) 進行 IDFT變換，求出 h(n)； 由 h(n) 求出所設計的濾波器的頻率響應 H(ejw)，并分析誤差，優(yōu)化設計。 例： 試用頻率采樣設計法設計一個 FIR線性相位低通濾波器，已知：ωc =， N=51。畫出 |Hd(ejw)|， |H(k)|, 20lg|H(ejw)|曲線。 解： 在 0～ ～ 2π處的幅度函數(shù)為 1，其余為 0 。采樣頻率為： 2π/N＝ 2π/51， ωc 51/2π＝ ，所以 kc 取值 12。 Hk＝ 1 0≤k≤12 和 39≤k≤50 13≤k≤38 0 ?(k) = ? ?k(N1)/N＝－ 50?k/51 由幅度和相位特性，得到 FIR DF的采樣值為 H(k)＝ Hkej?k ＝ e－ j50?K/51 0≤k≤12 和 39≤k≤50 13≤k≤38 0 畫出 |Hd(ejw)|， |Hd (k)|的曲線如下圖所示 20lg|H(ejw)|曲線如下圖所示 Ne1)jwe(H Nωj=－ 1 20 110121 ( )()12( ) ( ) ( )1sin( /2)()sin( /2)N Njk NNjkNjz HkHzN ezHe Hk kNN eN????????? ?? ????????? ? ?????ωjkN eW1)k(H－ 頻率采樣法特點： 優(yōu)點： (1) 可以在頻域直接進行設計，并且適合于最優(yōu)化設計； (2) 特別適合于設計窄選頻濾波器，因為只有少數(shù)幾個非零值的H(k)，因而設計計算量小。 缺點： 采樣頻率只能等于 2π/N的整數(shù)倍，因而不能確保制止頻率的自由取值，要想實現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加采樣點數(shù) N，但這又使計算量加大。 1．性能方面： IIR濾波器 ：傳輸極點可位于單位圓內任何地方。 優(yōu)點： 較低階數(shù)濾波器實現(xiàn)，存儲單元少，所以經濟且效率高； 缺點： 相位是非線性的，往往可選擇性越好，相位非線性越嚴重。 FIR濾波器 優(yōu)點 ：可以得到嚴格的線性相位。 缺點： 由于濾波器傳輸函數(shù)的極點固定在原點，所以只能用較高階數(shù)的濾波器達到性能指標。 IIR和 FIR數(shù)字濾波器的比較 2．結構方面： ? IIR濾波器采用 遞歸型結構 ，極點要控制在單位圓內，系統(tǒng)才確保穩(wěn)定，缺點是有限字長效應時，有 寄生振蕩 ； ? FIR采用 非遞歸型結構 ，由于 FIR的單位沖激響應 h(n)有限長，可采用 FFT運算，其運算速度快，誤差??； 3. 設計工具方面： ? IIR濾波器的設計可借助于模擬濾波器的成果 ,由于有有效的封閉設計公式和圖表供選擇，計算工作量小 ,計算工具要求不高 ； ? FIR濾波器設計沒有封閉形式的公式和圖表，一般 FIR設計只有按照計算程序進行，故對 計算工具要求較高 。 4. 應用方面： ? IIR設計較簡單，主要應用于設計具有 片斷常數(shù) 特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等濾波器； ? FIR濾波器能適應某些特殊的應用，如構成微分器或積分器，因而適應性更大，范圍更廣。 在語音通信中，對相位線性特性要求不高，可以選用經濟高效的 IIR濾波器實現(xiàn) ；而在圖像通信中，對相位的線性特性要求較高，則要用稍為復雜的 FIR濾波器來實現(xiàn) 。 作業(yè) P322 P323