【正文】 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHk He k Nhn Hke k NN? ??????? ? ??? ?? ? ??? ??2210() ( ) , 0,1,2, , 11() () , 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHkHe k Nhn Hke k NN? ??????? ? ?? ?? ? ?? ??2210() ( ) , 0,1,2, , 11() () , 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHkHe khn Hke k NN? ??????? ? ?? ?? ? ?? ??2210( ) ( ) , 0 , , 2 , , 11( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1jdd kDN j k nNdkH k H e k Nh n H k e k NN???????? ? ??? ?? ? ??? ??2210( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 11( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1jdd kDN j k nNdkH k H e k Nh n H k e k NN???????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??對 N點(diǎn) Hd(K)進(jìn)行 IDFT，得所設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n) 3．對求出的 h(n)進(jìn)行 z變換，得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z) 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?120 11 ( )()1N Ndjkk Nz H kHzN ez ?? ?? ?????或利用頻域內(nèi)插公式（ P88） Hd(ejω) Hd(k) h(n) H(ejω) 等間隔采樣 IDFT 內(nèi)插函數(shù) 是否滿足指標(biāo) 二、線性相位的約束 (1) 第一類線性相位： h(n)偶對稱， N為奇數(shù) kNNkNNk ??? 122 1 ???????kk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2???? ?? 2 1)( )()()( ???? Njjj eHeHeH特點(diǎn)： 幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=0， π， 2π偶對稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk關(guān)于 N/2偶對稱，即： Hk= HNk ? 相位采樣值： (2) 第一類線性相位： h(n)偶對稱， N為偶數(shù) kNNkNNk ??? 122 1 ???????kk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2???? ?? 2 1)( )()()( ???? Njjj eHeHeH特點(diǎn)： 幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=π奇對稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk關(guān)于 N/2奇對稱，即： Hk= HNk ，且 HN/2 =0 ? 相位采樣值： (3) 第二類線性相位： h(n)奇對稱， N為奇數(shù) 212221 ????? ????????? kNNkNNkkk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2)22 1()( )()()( ????? ?? ????? Njjj eHeHeH特點(diǎn)： 幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=0， π， 2π奇對稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk奇對稱，即： Hk= HNk ? 相位采樣值： (4) 第二類線性相位： h(n)奇對稱， N為偶數(shù) 212221 ????? ????????? kNNkNNkkk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2)22 1()( )()()( ????? ?? ????? Njjj eHeHeH特點(diǎn)： 幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=π偶對稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk偶對稱，即： Hk=HNk ? 相位采樣值： （ 2） h(n)偶對稱， N為偶數(shù)時(shí)： 設(shè)計(jì)方法： 用理想濾波器作為逼近濾波器 ， 截止頻率為 ωc， 采樣點(diǎn)數(shù)為 N，則 Hk和 θk的計(jì)算公式為： （ 1） h(n)偶對稱， N為奇數(shù)時(shí)： Hk = HNk = 1， k=0， 1， … ， kc； Hk = 0， k= kc+1， kc+2， … ， Nkc1； kNNk ?? 1???k=0， 1， … ， N1； Hk = 1， k=0， 1， … ， kc； Hk = 0， k= kc+1， kc+2， … ， Nkc1； kNNk ?? 1???k=0， 1， … ， N1； HNk = 1， k=0， 1， … ， kc； kc取小于等于 ωcN /2?的 最大整數(shù) 對 H(k) 進(jìn)行 IDFT變換，求出 h(n)； 由 h(n)可求出所設(shè)計(jì)濾波器的頻響 H(ejw) 由前面計(jì)算出的 Hk和 θk的值可構(gòu)造出 H(k) kjk eHkH ??)(等效于在 [0， 2π ] 上的 N個(gè)采樣值 k=0， 1， … ， N1； 三、誤差分析與改進(jìn)措施 設(shè)待設(shè)計(jì)的濾波器為 Hd(ejω)， 對應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為 hd(n) 1( ) ( )2j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ?( ) ( ) ( )dNrh n h n r N R n?? ? ????從時(shí)域分析誤差 頻域采樣定理：在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點(diǎn) ， 利用 IDFT得到的 h(n)。 分析： 如果 Hd(ejω)有間斷點(diǎn) ， 則 hd(n)是無限長的 ， 這樣得到的 h(n)產(chǎn)生時(shí)域的混迭 ， 無法逼近 hd(n)。 改進(jìn)措施： 增大 N值 ， 使設(shè)計(jì)出的濾波器愈逼近待設(shè)計(jì) Hd(ejω)。 從頻域分析誤差 頻率域等間隔采樣得到 N個(gè)采樣值 H(k)，頻響函數(shù)和 H(k)的關(guān)系為 120 110121 ( )()12( ) ( ) ( )1 si n( / 2 )()si n( / 2 )N Njk NNjkNjz H kHzN ezH e H k kNN eN????????? ?? ????????? ? ?????120 110121 ( )()12( ) ( ) ( )1 si n( / 2 )()si n( / 2 )N Njk NNjkNjz H kHzN ezH e H k kNN eN????????? ?? ????????? ? ?????內(nèi)插函數(shù) 內(nèi)插公式 ? 在采樣點(diǎn) ω =2?k/N， k=0,1,…,N 1處， ?(ω 2?k/N)=1，因此采樣點(diǎn) H(ejωk)與H(k)相等，逼近誤差為 0。 ? 在采樣點(diǎn)間， H(ejω)由有限項(xiàng) H(k)與 ?(ω 2?k/N)之乘積和形成，其誤差與Hd(ej ω)平滑度有關(guān)，越平滑，誤差越小。 ? 特性曲線 間斷點(diǎn)處，誤差最大 ，表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)用斜線取代，且間斷點(diǎn)附近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，有可能滿足不了技術(shù)要求。 誤差分析 ： (1)增大 N值， 但間斷點(diǎn)仍無法彌補(bǔ)，帶來體積增大，成本增加。 (2) 在頻響 間斷點(diǎn) 附近區(qū)間 內(nèi)插一個(gè)或幾個(gè)過渡采樣點(diǎn) ，使不連續(xù)點(diǎn)變成緩慢過渡，雖然 增加了過渡帶帶寬 (代價(jià)） ，但 增加了阻帶衰減 (收獲 )。過渡帶的優(yōu)化要借助于計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)。 減小誤差措施 總結(jié)：頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位 FIR濾波器步驟 根據(jù) ωc 及 N的奇偶性，確定濾波器 Hk和 ?k及 kC值； 由 H(k) = Hkej?k，求出 H (k)； 對 H (k) 進(jìn)行 IDFT變換，求出 h(n)； 由 h(n) 求出所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng) H(ejw)，并分析誤差，優(yōu)化設(shè)計(jì)。 例： 試用頻率采樣設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)一個(gè) FIR線性相位低通濾波器，已知：ωc =， N=51。畫出 |Hd(ejw)|， |H(k)|, 20lg|H(ejw)|曲線。 解： 在 0～ ～ 2π處的幅度函數(shù)為 1，其余為 0 。采樣頻率為： 2π/N＝ 2π/51， ωc 51/2π＝ ，所以 kc 取值 12。 Hk＝ 1 0≤k≤12 和 39≤k≤50 13≤k≤38 0 ?(k) = ? ?k(N1)/N＝－ 50?k/51 由幅度和相位特性，得到 FIR DF的采樣值為 H(k)＝ Hkej?k ＝ e－ j50?K/51 0≤k≤12 和 39≤k≤50 13≤k≤38 0 畫出 |Hd(ejw)|， |Hd (k)|的曲線如下圖所示 20lg|H(ejw)|曲線如下圖所示 Ne1)jwe(H Nωj=－ 1 20 110121 ( )()12( ) ( ) ( )1sin( /2)()sin( /2)N Njk NNjkNjz HkHzN ezHe Hk kNN eN????????? ?? ????????? ? ?????ωjkN eW1)k(H－ 頻率采樣法特點(diǎn)： 優(yōu)點(diǎn)： (1) 可以在頻域直接進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且適合于最優(yōu)化設(shè)計(jì)； (2) 特別適合于設(shè)計(jì)窄選頻濾波器，因?yàn)橹挥猩贁?shù)幾個(gè)非零值的H(k)，因而設(shè)計(jì)計(jì)算量小。 缺點(diǎn)： 采樣頻率只能等于 2π/N的整數(shù)倍，因而不能確保制止頻率的自由取值，要想實(shí)現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加采樣點(diǎn)數(shù) N，但這又使計(jì)算量加大。 1．性能方面： IIR濾波器 ：傳輸極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)任何地方。 優(yōu)點(diǎn)： 較低階數(shù)濾波器實(shí)現(xiàn)，存儲(chǔ)單元少，所以經(jīng)濟(jì)且效率高； 缺點(diǎn)： 相位是非線性的，往往可選擇性越好，相位非線性越嚴(yán)重。 FIR濾波器 優(yōu)點(diǎn) ：可以得到嚴(yán)格的線性相位。 缺點(diǎn)： 由于濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)固定在原點(diǎn)，所以只能用較高階數(shù)的濾波器達(dá)到性能指標(biāo)。 IIR和 FIR數(shù)字濾波器的比較 2．結(jié)構(gòu)方面： ? IIR濾波器采用 遞歸型結(jié)構(gòu) ，極點(diǎn)要控制在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)才確保穩(wěn)定，缺點(diǎn)是有限字長效應(yīng)時(shí)，有 寄生振蕩 ； ? FIR采用 非遞歸型結(jié)構(gòu) ，由于 FIR的單位沖激響應(yīng) h(n)有限長，可采用 FFT運(yùn)算，其運(yùn)算速度快，誤差??； 3. 設(shè)計(jì)工具方面： ? IIR濾波器的設(shè)計(jì)可借助于模擬濾波器的成果 ,由于有有效的封閉設(shè)計(jì)公式和圖表供選擇，計(jì)算工作量小 ,計(jì)算工具要求不高 ； ? FIR濾波器設(shè)計(jì)沒有封閉形式的公式和圖表，一般 FIR設(shè)計(jì)只有按照計(jì)算程序進(jìn)行，故對 計(jì)算工具要求較高 。 4. 應(yīng)用方面： ? IIR設(shè)計(jì)較簡單，主要應(yīng)用于設(shè)計(jì)具有 片斷常數(shù) 特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等濾波器； ? FIR濾波器能適應(yīng)某些特殊的應(yīng)用，如構(gòu)成微分器或積分器，因而適應(yīng)性更大，范圍更廣。 在語音通信中，對相位線性特性要求不高，可以選用經(jīng)濟(jì)高效的 IIR濾波器實(shí)現(xiàn) ；而在圖像通信中，對相位的線性特性要求較高，則要用稍為復(fù)雜的 FIR濾波器來實(shí)現(xiàn) 。 作業(yè) P322 P323