【正文】 濾波器二階基本節(jié)的形式為 1112211,() ?? ? ? ? ?? ? ? js 極點(diǎn)為 () 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) () 111112121s in1 2 c o s????????? ? ?TTTz e Tz e T z e數(shù) 字 ： Bz, Az］ =impinvar(B, A) 實(shí)現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法將分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量為 B和 A的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)， H(z)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量為 Bz和 Az。 8. matlab中脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換函數(shù) 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù) Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 解 首先將 Ha(s)寫(xiě)成部分分式： 20 . 5 0 1 2()0 . 6 4 4 9 0 . 7 0 7 9aHs ss? ??0 . 3 2 2 4 0 . 3 2 2 4()0 . 3 2 2 4 0 . 7 7 7 2 0 . 3 2 2 4 0 . 7 7 7 2ajjHss j s j???? ? ? ?極點(diǎn)為 12( 0 .3 2 2 4 0 .7 7 2 ) , ( 0 .3 2 2 4 0 .7 7 7 2 )s j s j? ? ? ? ? ?那么 H(z)的極點(diǎn)為 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 那么 H(z)的極點(diǎn)為 按照 ()式，并經(jīng)過(guò)整理，得到： 式中 , T是采樣間隔，若 T選取過(guò)大，則會(huì)使 ω=π附近頻譜混疊現(xiàn)象嚴(yán)重。 TsTs zz 21 ee 21 ?? ，264 4 2 132 2 e)(e21) )(???????????zTzzTzHTT6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 11 1212 120 .3 2 7 6()1 1 .0 3 2 8 0 .2 4 70 .0 4 8 5()1 1 .9 3 0 7 0 .9 3 7 5zHzzzzHzzz????????????6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 這里選取 T=1 s和 T= s兩種情況，以便進(jìn)行比較。設(shè) T=1 s時(shí)用 H1(z)表示， T= s 時(shí)用 H2(z)表示，則 112 2 2 21 1 1 1 10 . 5 0 1 2( ) 0 . 6 4 4 9( ) ( )aHs ss??????? ? ? ? ? ? ?再按照 ()式 ， H(z)為 111112121sin( ) 0 . 6 4 4 91 2 co sTTTz e THzz e T z e???????????? ? ? 轉(zhuǎn)換時(shí) ， 也可以直接按照 (),()式進(jìn)行轉(zhuǎn)換 。 先求出 Ha(s) 極點(diǎn)： s1,2=σ1177。 jΩ1 則： 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 例 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【 例 】 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標(biāo)參數(shù)如下 : ωp= rad， ? p=1 dB, ωs= rad, ? s=10 dB 解 （ 1） 將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期為 T，則： ppp0 . 2 r a d / s , 1 d BTT??? ?? ? ?sss0 .3 5 r a d / s , 4 0 d BTT??? ?? ? ?6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (2） 設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃斯濾波器。設(shè)計(jì)過(guò)程與例 ，求出階數(shù) N=4。 （ 3） 將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)： 如上求解計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。本例調(diào)用 MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)程序 4a1( ) ,kkkAHsss?? ??411() 1ekksTkAHzz ??? ??6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ％例 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器程序 : T=1； ％ T=1s wp=*pi/T。 ws=*pi/T。 rp=1。 rs=10。 ％ T=1 s ［ N, wc］ =buttord(wp, ws, rp, rs, 39。s39。)。 ％計(jì)算相應(yīng)的模擬濾波器階數(shù) N和 3 dB截止頻率 wc ［ B, A］ =butter(N, wc, 39。s39。)。 ［ Bz, Az］ =impinvar(B, A)。 ％用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 省略繪圖部分。 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 取 T=1 s時(shí)的運(yùn)行結(jié)果： N=4 模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量 B和 A： B=［ 0 0 0 0 A=［ 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量 Bz和 Az： Bz=［ 0 0 Az=［ － － ］ 由 Bz和 Az寫(xiě)出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： T=1 s時(shí)模擬濾波器和數(shù)字濾波器的損耗函數(shù)分別如圖 (a)和 (b) 1 2 31 2 3 40 . 0 4 5 6 0 . 1 0 2 7 0 . 0 1 5 4()1 1 . 9 1 8 4 1 . 6 5 4 6 0 . 6 8 5 3 0 . 1 1 2 7z z zHzz z z z? ? ?? ? ? ????? ? ? ?6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1. 變換原理 用雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR數(shù)字通濾波器 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 式中 , T仍是采樣間隔。當(dāng) Ω1從 π/T經(jīng)過(guò) 0變化到 π/T 時(shí)， Ω則由－ ∞經(jīng)過(guò) 0變化到 +∞，實(shí)現(xiàn)了 s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到 s1平面上虛軸的 177。 π/T之間的轉(zhuǎn)換。 )2 Tt a n (T2 1???（ ） 通過(guò)歐拉公式，可得： 2Tj2Tj2Tj2Tj1111eeee.T2j??????????平面映射：平面 1SS ?得：＝令 11s ??? jjsTSezZS 11 ?? 平面的映射：平面雙線性變換 消除頻譜混疊現(xiàn)象 H(z) 因果穩(wěn)定的 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )2 Tt a n (T2 1???11112??????zzTS（ ） ST2ST2ST21ST21Z?????? （ ） TSTS11e1e1.T2S????? （ ） 分析模擬頻率 Ω和數(shù)字頻率 ω之間的關(guān)系。令 s=jΩ，z=ejω, 并代入（ ）式 , 得到 : ,e1e12jjj??? ?????T（ ） ?? 21t a n2T? 說(shuō)明， s平面上 Ω與 z平面的 ω成非線性正切關(guān)系，如圖所示。 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 在 ω=0附近接近線性關(guān)系； 當(dāng) ω增加時(shí)， Ω增加得愈來(lái)愈快； 當(dāng) ω趨近 π時(shí)，Ω趨近于 ∞。正是因?yàn)檫@種非線性關(guān)系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 雙線性變換法的缺點(diǎn) :ω與 Ω之間是非線性關(guān)系，使數(shù)字濾波器頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器頻響的曲線形狀。適合片斷常數(shù)特性的濾波器的設(shè)計(jì) 。 幅度特性和相位特性失真的情況如圖 。 圖 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 20 1 220 1 2() ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ?kka kkA A s A s A sHsB B s B s B s3. 數(shù)字化方法 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 11112( ) ( ) ,???????azszH z H s CT120 1 21212() 1? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?kkkka a z a z a zHzb z b z b z 表 系數(shù)關(guān)系表 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 所示的 RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 。 解 首先按照?qǐng)D Ha(s)為 1( ) ,aHs s R C? ????? 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H1(z)為： 1 1() 1 THz ez????? ?6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H2(z)為 11112 1212112( 1 )( ) ( )12,22a zsT zzH z H sazTTTT???????????????????????H1(z)和 H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖 (a),(b)所示 。 圖 例 ——H1(z)和 H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)H1(z)。 (b)H2(z) 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4. 模擬濾波器設(shè)計(jì) IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 （ 1） 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 通帶邊界頻率 ωp、通帶最大衰減 ? p、阻帶截止頻率 ωs、阻帶最小衰減 ? s （ 2） 將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里主要是邊界頻率 ωp和 ωs的轉(zhuǎn)換， ? p和 ? s指標(biāo)不變。 如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （ ） ppssTT?????? ???????6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ?如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 ?（ 3） 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過(guò)渡模擬低通濾波器。 ?（ 4） 用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 （ ） ppss2ta n22ta n2TT???????? ????????? ?? ??????6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 預(yù)畸變 脈沖響應(yīng)不變法： 為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求所設(shè)計(jì)的模擬低通帶限于－ π/T~π/T內(nèi)。由于實(shí)際濾波器是有限階的，因此有一定的過(guò)渡帶，頻響特性不是帶限于 π/T。 當(dāng)給定模擬濾波器 Ha(s)， ? s足夠大時(shí)： 選擇 T滿(mǎn)足 |Ωs|π/T，可使頻譜混疊足夠小，滿(mǎn)足數(shù)字濾波器指標(biāo)要求。 當(dāng)給定數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)時(shí)： 由于數(shù)字濾波器 H(ejω) 最高頻率在 ω=π處，因此， ωsπ，按照 Ωs=ωs/T，那么 Ωsπ/T，這樣 T可以任選。一般選 T=1 s。 這時(shí)，頻譜混疊程度完全取決于 ? s， ? s越大，混疊越小。 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 雙線性變換法： 不存在頻譜混疊現(xiàn)象，尤其對(duì)于設(shè)計(jì)片斷常數(shù)濾波器， T也可以任選。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，一般取 T=2 s。 例 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于 ，容許幅度誤差在 1dB以?xún)?nèi)；在頻率 π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)