【正文】 ajjjjjjkjkaa?????????????????????????????? ??有：取左半軸的三個(gè)極點(diǎn)則其極點(diǎn)為解：???????k H zfk H zc 1, s??波器，邊界頻率階巴特沃思數(shù)字低通濾一個(gè)三用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)設(shè)采樣頻率sTsTsTsajjjafTzeAzeAzeAzHssAssAssAsssssssHkeeekssskH/1111)())()((1)()()()(1)0(1312113322113210343203210321??????????????????????????????????? 2T ?設(shè)有一模擬濾波器 抽樣周期 ，試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變 為數(shù)字系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ?211aH s s s? ? ?? ?Hz1111zscz??????解： 由變換公式 及 2c T? 2T ?， ，可得 1111zsz?????? ? ? ? 1111za szH z H s ???????21111111 111zzzz?????? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?? ?21213zz????? 數(shù)字濾波器的變換 ? 實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通和帶阻等類型。設(shè)計(jì)各種類型的數(shù)字濾波器通常可以把一個(gè)歸一化的原型模擬低通濾波器經(jīng)模擬頻帶變換成所需類型的模擬濾波器，再通過 脈沖響應(yīng)不變法 或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為所需類型的數(shù)字濾波器。如圖所示： 數(shù)字 濾波器 指標(biāo) 模擬 低通 濾波器 指標(biāo) 模擬 低通 原型 模擬 頻率 變換 數(shù)字 低通 原型 模擬 /數(shù)字 變換 數(shù)字 /數(shù)字 頻率變換 所求 數(shù)字濾波器 系統(tǒng)函數(shù) 圖 設(shè)計(jì) IIR濾波器的兩種頻率變換法 對于第一種方案 ， 重點(diǎn)是模擬域頻率變換 ， 即如何由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為截止頻率不同的模擬低通 、 高通 、 帶通 、 帶阻濾波器 ， 這里我們不作詳細(xì)推導(dǎo) ， 僅在下表列出一些模擬到模擬的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系 。 一般直接用歸一化原型轉(zhuǎn)換 ， 取 Ωc=1, 可使設(shè)計(jì)過程簡化 。 截止頻率為 Ωc的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉(zhuǎn)換公式 第二種方法是先進(jìn)行模 /數(shù)轉(zhuǎn)換得到數(shù)字低通原型濾波器 ， 再在數(shù)字域進(jìn)行頻率變換來得到所要求的數(shù)字濾波器 ，對于高通 、 帶阻濾波器 ， 由于脈沖響應(yīng)不變法不能直接采用 ，或者只能在加了保護(hù)濾波器以后使用 ， 因此 ， 脈沖響應(yīng)不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮 ， 故對于脈沖響應(yīng)不變法來說 ， 采用第一種方案有時(shí)更方便一些 。 我們在下面只考慮雙線性變換 ， 實(shí)際使用中多數(shù)情況也正是這樣 。 ? ?wjeH ? ?wjeH? ?wjeHpw pw? ?wjeH1w 2w1w 2w ????o o o o 四種數(shù)字濾波器的理想幅頻特性 設(shè)數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 Hl(z)，所要求的數(shù)字 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Hd(Z)。由 z平面到 Z平面的映射為 ? ? ? ? ?? ? ZGz? ? ? ?? ? ? ? ??? ZGHZH d一個(gè)對應(yīng)于穩(wěn)定因果的低通濾波器的有理系統(tǒng)函數(shù) H1(z)變換成的有理系統(tǒng)函數(shù) Hd(Z)，要對應(yīng)于穩(wěn)定因果的數(shù)字濾波器，即： （ 1） 由于數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)都事復(fù)變量的有理函數(shù)（ G(Z1)必須是 Z1（或 Z）的有理函數(shù)，這樣有理系統(tǒng)函數(shù) Hl(z)變換得到的 Hd(Z)才會(huì)也是有理函數(shù) ； (2)低通原型數(shù)字濾波器 Hl(z) 是因果穩(wěn)定的，要求變換后 Hd(Z) 也是因果穩(wěn)定的，則要求 z平面單位圓的內(nèi)部必須映射成 Z平面單位圓的內(nèi)部 ； (3)原型低通數(shù)字濾波器的數(shù)字角頻率與變換得到的濾波器的數(shù)字角頻率要求 z平面的單位圓與 Z平面的單位圓之間相互映射。 則平面的復(fù)角，故設(shè)和分別是和設(shè) ,Z w?w? jj eZezz ??? ? ? ? ? ?? ?? jeGjjjj eeGeGe ???? ?? a r g? ? ? ?1 111 ????? ??? NkkkjZZeZG????λ為整數(shù)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)使極點(diǎn) ak滿足 |ak|1。對參數(shù) λ、 N和 ak進(jìn)行不同的選擇，可以得到不同的變換，于是就可以得到不同類型和不同特性的數(shù)字濾波器。 將低通原型濾波器變換成另一個(gè)低通濾波器就是最簡單的變換，此時(shí) N=1 ? ? 1111 1 ???? ? ??? ZZeZGz j ? ??? 其中參數(shù) λ和 a需要根據(jù)兩個(gè)平面上的兩對典型點(diǎn)之間的映射來確定，一般以濾波器通帶的邊界頻率作為典型映射點(diǎn)。 （ 1） z平面上 A（ z=1)點(diǎn)映射為 Z平面上 A`(Z=1)點(diǎn)。代人（ ）式得 0111 1 ?????? ??? ???? 故jj ee? ? 111 ??? ? ?? ZZez j ? ??則有 p?BA1ImReo pwB?A?1ImReo（ 2） z平面上的 B點(diǎn)， 對應(yīng)原型低通濾波器的通帶邊界頻率 ，映射為 Z平面上 B’點(diǎn)， ，對應(yīng)變換后的低通濾波器的邊界頻率 ，代人（ ）式得 pjez ??p?pjeZ w?pwpppjjjeeeww?????????1? ?ppppjjjeee?w?w? ???????1利用歐拉公式和三角函數(shù)關(guān)系式，將上式作如下化簡 ? ?? ? ? ?? ? ? ?2si n2si n2c o s2si n2si n22c o s22si n2si n22c o s2si n22si n22si n2c o s22si n2si n2si nc o s1si nsi nsi nc o s12ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppjjjjjjjjjeeeppppw?w?w?w?w?w??ww?w?w?w?w?w??w?ww?w?w??w??w?w????????? ?????????? ???????????????????????????????? ?2si n2si nppppw?w?????? ?zH lp?pw?2si n2si nppppw?w?????1111 ??????ZZez j???? ? ? ?1111 ???????ZZzldzHZH?? 數(shù)字濾波器變換流程圖 同理，可以推出由截止頻率為 θp的原型數(shù)字低通濾波器 到數(shù)字高通、帶通、帶阻濾波器的變換公式和設(shè)計(jì)公式。 ? 例 用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階 Butterworth數(shù)字高通濾波器 ， 抽樣頻率為 fs =6kHz， 截止頻率為 fc =。 ? 解：實(shí)際上，對于原型低通模擬濾波器和數(shù)字濾波器的截止頻率，可以任意設(shè)定它們中的一個(gè)，另一個(gè)則按照雙線性變換的頻率關(guān)系式來確定。 ? 解法 1. 設(shè)原型低通模擬濾波器的截止頻率 Ω c’ =1， 故可得到模擬低通的系統(tǒng)函數(shù)： ? 用雙線性變換式就得到原型低通數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： 122122)( 233 39。2 39。239。33 39。????????????sssssssH cccca31211121231331112112)1()1)(1(4)1()1(8)1(8)1( )()(1111?????????????????????????????zzzfzzfzfzsHzHssszzfzzTsalss? 而這個(gè)低通數(shù)字濾波器的截止頻率： 故有： 。 ? 所要求的數(shù)字高通濾波器的截止頻率： ω p =Ω cTs =2π fc /fs =2π 1500/6000=π /2。 scspftgTtg21222139。1 ?? ????spftg 212 ?? 21211212tg2c os2c os psspppppfftg????????????w?w??? 所要求的數(shù)字高通濾波器： ? 而 ， 313212111 )1()1()1()1)(11)(1(4)11)(1(2)11(2)1(283)11(3)1(383)11(3)1(1 )()( ????? ?????????????????????????? ?? ZZZsfZZsfZsfZZZzld zHZH ?????????ssssffff214212111??????? ?sssfff212212111??????? ?? 將 1α 和 1+α 代入 Hd(Z)， 最后得到： 312111213131)1()1)(1(2)1()1(2)1()1()(??????????????????ZZZZZZZZHd? 解法 2. 適當(dāng)選擇數(shù)字低通的截止頻率 θ p ， 以使得數(shù)字低通到數(shù)字高通的變換簡單 。 在解法 1中已經(jīng)求得 ， 數(shù)字高通的截止頻率 ω p =π /2， 現(xiàn)在設(shè)定數(shù)字低通的截止頻率θ p =π /2， 由相應(yīng)的設(shè)計(jì)公式 可知 ， α 為0， 于是由變換公式可知： z1 = Z1 。 ? 可求得模擬低通的截止頻率： 2c o s2c o sppppw?w??????sspsc ftgftgT 2422239。 ???? ??? 3階 B型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： ? 數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： 322333 39。2 39。239。33 39。884822)( sssscccca fsfsfsfssssH ????????????312111213131112112)1()1)(1(2)1()1(2)1()1( )()(1111?????????????????????????????zzzzzzzsHzHzzfzzTsalss? 最后得到數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： 312111213131)1()1)(1(2)1()1(2)1()Z(1 )()( 11????????????????????? ??ZZZZZZzHZH Zzl