【正文】 離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 ????????????????????2102nnz)2(xz)1(xz)0(xz)1(xz)2(xz)n(x)z(X (長除法 ) ? 如收斂域?yàn)?|z|Rx+， x(n)為因果序列，則 X(z)展成 Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。 ? 若 收斂域 |Z|Rx, x(n)必為左邊序列，主要展成 Z的正冪級(jí)數(shù)。 所以在給定的收斂域內(nèi)，把 X(z)展為冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是序列 x(n)。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 [例 ] 試用長除法求 的 z反變換。 ? 解 :收斂域?yàn)榄h(huán)狀，極點(diǎn) z=1/4對(duì)應(yīng)因果序 列，極點(diǎn) z=4對(duì)應(yīng)左邊序列 (雙邊序列 ) 441,)41)(4()(2????? zzzzzX*雙邊序列可分解為右邊序列和左邊序列。 *應(yīng)先展成部分分式再做除法。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 15164144])()4[( 41 ????? ?zzzXzA414)41)(4()( 21???????zAzAzzzzzX15141441])()41[(412??????zzzXzA第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 )41416(1514115141516)(?????????zzzzzzzzzX4115/1415/16)(????zzzzX第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 4Z) 4Z+Z + — Z + — Z + — Z + 2 4 1 3 1 16 4 5 1 64 ... 16 Z 16 Z 4 Z 2 4 Z 4 Z Z Z Z — Z — Z — Z — Z — Z 2 2 3 3 3 1 4 1 4 1 4 4 4 4 1 16 5 5 1 16 . .. z4z16?展開：第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 Z —) Z 1 4 1+ — Z + — Z + — Z 1 1 1 16 2 1 64 3 ... Z — 1 4 — 1 4 — 1 4 — Z 1 16 1 — Z 1 16 1 — Z 1 16 1 — Z 1 64 2 — Z 1 64 2 — Z 1 64 2 —— Z 1 256 3 —— Z 1 256 3 ... 41zz?展開：)641641441664(151)(3212345???????????????zzzzzzzzzX得????????????0,)41(1511,)4(151)(2nnnxnn進(jìn)而得：第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 表 常見序列 Z變換 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 如果 則有： ??????????yyxxRzR,)z(Y)]n(y[ZRzR,)z(X)]n(x[Z*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。 )R,Rm i n (z)R,Rm a x (),z(bY)z(aX)]n(by)n(ax[Zyxyx ???? ????? Z變換的性質(zhì)和定理 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 [例 ]已知 ,求其 z變換。 )n(u)nc o s ()n(x 0??az,az11)]n(ua[Z1n ??? ?解： )n(u]ee[21)n(u)nc o s ( njnj0 00 ??? ????1z],ze11ze11[21)]n(u)n[ c o s (Z1j1j0 00 ?????? ?????因此，1ez,ze11)]n(ue[Z000 j1jnj ????? ????1ez,ze11)]n(ue[Z000 j1jnj ???? ???????2. 序列的移位 ??? ???? xxm RzR。)z(Xz)]mn(x[Z如果 則有： ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z[例 ] 求序列 x(n)=u(n)u(n3)的 z變換。 1z,1zz1zzz)]3n(u[Z 23 ????????1z,1z z)]n(u[Z ????1z,z1zz1zz1zz)]n(x[Z222??????????第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 (Z域尺度變換 ) ??? ??? xx1n RazRa。)za(X)]n(xa[Z則若 ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z4. X(Z)的微分 則如果 ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z?? ???? xx RzR,)z(Xdzdz)]n(nx[Z第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 – 5. 復(fù)序列的 共軛 的共軛序列。為其中，)n(x)n(x。RzR)z(X)]n(x[Z*xx***?? ???如果 則若 ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z??????xx R1zR1。)z1(X)]n(x[Z則若 ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z6. 翻褶序列 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 8. 終值定理 處有一階極點(diǎn)，則有只允許單位圓上的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，且，且對(duì)于因果序列1z)]n(x[Z)z(X)n(x?? 1z1zn )]z(X[sRe)]z(X)1z[(lim)n(xlim ???? ???7. 初值定理 。，則對(duì)于因果序列 )z(Xlim)0(x)n(xz ???第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 ? (卷積定理 ) ，而且如果???????????????????nnxxmRzR,)]n(h[Z)z(HRzR,)]n(x[Z)z(X)mn(h)m(x)n(h)n(x)n(y ],m i n [],m a x [)()()]([)(nn ???? ????RRzRRzHzXnyZzYxx則有：第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 [例 8] .ab),n(h)n(x)n(y),1n(uab)n(ub)n(h),n(ua)n(x 1nnn??????? ?求已知。az,az z)]n(x[Z)z(X ????解： bzzazbzznhZzH?????? 1)]([)(.:)()()( bzzYzHzX ?的收斂域擴(kuò)大為的零點(diǎn)相消，的極點(diǎn)與bzzbzazazz)z(H)z(X)z(Y????????)()( nubny n??。, bzbz azbz abz z ????????第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 ? (復(fù)卷積定理 ) ????cdvvvzYvXjnwZzW1)()(21)]([)(?則有：????????????yyxxRRnyZzYRRnxZzXnynxnwz)]([)(z)]([)(),()()(如果],m i n [],m ax [????????????yxyxyxyxRzRvRzRRRzRR第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 其中 ,C是在變量 V平面上， Z(v) ,Y(z/v) 公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時(shí)針單封閉圍線 . 內(nèi)的全部極點(diǎn)。在圍線為 Cv)vz(Y)v(X}d{]d,v)vz(Y)v(X[sRedvv)vz(Y)v(Xj211kk1kc1???????第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 證明 ( ) ( ) ( ) nnW z x n y n z??? ? ?? ?? ? ?????cn dvvvznyvXj1n)()()(21＝－?? ??? c n dvvvzYvXj 1)()(2 1?第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 nnncznydvvvXj??????? ?? )(])([ 12 1?由 X(z)的收斂域和 Y(z)的收斂域得到： ||xxRR?????yyzRR?????||| | | |m a x , | | m in ,x y x yxxyyR R z R RzzRRRR?? ? ? ???????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 因此： 【 例 】 已知 x(n)=u(n)， y(n)=a|n|, 若w(n)=x(n)y(n)，求 W(z)=ZT［ w(n)］。 11() 　　　　　　 1 | |1X z zz ?? ? ? ??2111( ) | | | | | |( 1 ) ( 1 )aY z a z aa z a z???? ? ???211d( ) ( )2 π j1 1 1 d 2 π j ( 1 ) ( 1 )1???? ????????????cczW z Y Xaaaz??????? ? ??c?c 解 : 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 W(z)的收斂域?yàn)?|a||z|≤∞ ；被積函數(shù) υ 平面上的收斂域?yàn)?max(|a|, 0)|υ|min(|a － 1|, |z|)， υ平面上極點(diǎn)： a、 a－ 1和 z， c內(nèi)極點(diǎn)： z=a。 令 11( ) R e s [ ( ) , ] | |1W z F a a zaz? ?? ? ? ? ??( ) ( )nn a u n? ?1( ) ( ) zF z X v Y vv???? ????第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 (parseval)定理 ? *閉合積分圍線 C在公共收斂域內(nèi)。 ? ]1m i n []1m ax [)1()(21)()( ,1*?????????????? ??yxyxcnRRvRRdYxjnynx，則 ?????。RR1zRR。RzR,)]n(y[Z)z(Y。RzR,)]n(x[Z)z(Xyxyxyyxx?????????????????且如果 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 *幾點(diǎn)說明： 。為實(shí)序列時(shí)，則當(dāng)?????? ???????d)1(Y)(xj21)n(y)n(x)n(1cn。則時(shí)，當(dāng)圍線取單位圓?????????????????????d)e(Y)e(X21)n(y)n(x,ev/jjnj????