【正文】 (ej0)| /dB80?00? /2第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 75 窗口法設(shè)計的主要優(yōu)點是簡單 ， 使用方便 。 窗口函數(shù)大多有封閉的公式可循 ， 性能 、 參數(shù)都已有表格 、 資料可供參考 ， 計算程序簡便 ， 所以很實用 。 缺點是通帶和阻帶的截止頻率不易控制 。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 76 工程上 ， 常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo) ， 所以采用頻域設(shè)計更直接 。 基本思想 使所設(shè)計的 FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準(zhǔn)確地等于所需 （ 理想 ） 濾波器在這些頻率點處的值 ， 在其它頻率處的特性則要有較好的逼近 。 內(nèi)插公式 頻率采樣設(shè)計法 確定 ?????? ??? ???kNkHeH Nkj ??? 2)()( 102/)1()2/s i n()2/s i n()( ???? NjeNN ????內(nèi)插函數(shù) : 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 77 )(ej ?HNπ2 ?H ( k )?( a )( b )oo)(ejd?H)(ej ?H)(ej ?H圖 716 頻率采樣的響應(yīng) 在各頻率采樣點上，濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。但是在采樣點之間的頻響則是由各采樣點的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而成的 , 因而有一定的逼近誤差， 誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 78 一 、 線性相位的約束 設(shè)計線性相位的 FIR濾波器 ， 則其采樣值 H(k)的幅度和相位一定要滿足前面所討論的四類線性相位濾波器的約束條件 。 （ 1） 對于第一類線性相位濾波器 ， 即 h(n)偶對稱 ， 長度 N為奇數(shù)時 ， 12( ) ( )NjjH e H e ?? ????? ????? （ 791） 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 79 第一類線性相位濾波器幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=0, π, 2π為偶對稱，即 )2()( ??? ?? HH如果采樣值 H(k)=H(ej2πk/N)也用幅值 Hk（ 純標(biāo)量 ） 與相角 θk表示 ， 即 kjkNkj eHeHkH ?? ?? )()( /2并在 ω=0～ 2π之間等間隔采樣 N點 kNk ?? 2?k=0, 1, 2, …, N1 （ 792） 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 80 由式 （ 791）可知，必須有： 2 1 112kNkkNN??? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?由式（ 792）可知， Hk滿足偶對稱要求： k N kHH ??第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 81 （ 2） 對于第二類線性相位 FIR濾波器 ， 即 h(n)偶對稱 ， N為偶數(shù) ， 則其 H(ejω)的表達式仍為 : ?????? ????21)()()( )(NeHeH jj???? ??? 其幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=π是奇對稱的 ， 關(guān)于 ω=0, 2π 為偶對稱 ， H(ω)=H(2πω) Hk也應(yīng)滿足奇對稱要求： Hk=HNk 2 1 112k NkkNN??? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 82 （ 3） 對于第三類線性相位 FIR濾波器 ， 即 h(n)奇對稱 ， N為奇數(shù)時 ， H(ejω)=H(ω)ejθ(ω) 式中： 221)( ???? ??????? ??? N 第三類線性相位濾波器幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=0, π, 2π為奇對稱，即 )2()( ??? ??? HH2112212 ????? ??????? ?????????? ???NkNkNkkNk HH ???這樣有： 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 83 （ 4） 對于第四類線性相位 FIR濾波器 ， 即 h(n)奇對稱 ， N為偶數(shù) ， 則其 H(ejω)的表達式仍為 : 221)()()( )(????? ?????????? ????NeHeH jj 其幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=π是偶對稱的，關(guān)于 ω=0, 2π為奇對稱， 即 )2()( ??? ?? HH所以，這時的 Hk也應(yīng)滿足偶對稱要求 kNk HH ??而 θk則與前面（ 3）中的相同。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 84 例：設(shè)計一個 FIR數(shù)字 低通濾波器，其理想特性為 采樣點數(shù) N=33，要求線性相位。 解：能設(shè)計低通線性相位數(shù)字濾波器的只有 2兩種，因 N為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。 即 h(n)=h(N1n)， 幅頻特性關(guān)于 π偶對稱，也即 HK 偶對稱。 利用 HK 的對稱性 ,求 π～ 2π區(qū)間的頻響采樣值。 ? ???????????????d eH第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 85 根據(jù)指標(biāo)要求，在 0～ 2π內(nèi)有 33個取樣點，所以第 k點對 應(yīng)頻率為 而截止頻率 之間 ，所以， k=0～ 8時，取樣值為 1；根據(jù)對稱性， 故 k=25～ 32時，取樣值也為 1，因 k=33 為下一周期，所以 0～ π區(qū)間有 9個值為 1的采樣點， π～ 2π區(qū)間有 8個值為 1 的采樣點，因此： 258 HH ?330 HH ? 321 HH ?第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 86 ????????????????? ??????????32033322124~9032~25。8~012 kkNkkHkNkk??? ??將 代入內(nèi)插公式，求 H(ejω)： ? ? ? ?? ?? ?? ???????? ?????1016322//2s i n2/s i n1 NkNkjNkjkj eeNkNHNeH???????? ?? ??????163202/33/2s i n33233s i n331 jkkekkH??????????????????????????????? ?考慮到 8k25時 Hk=0，而其它 k時， Hk=1, 則 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 87 816133si n 33 si n 33si n2 33 2 331 2()33si n si n si n2 2 33 2 33jjkkkH e ekk??? ? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 88 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 89 從圖上可以看出，其過渡帶寬為一個頻率采樣間隔 2π/33，而最小阻帶衰減略小于 20dB。 對大多數(shù)應(yīng)用場合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。 增大阻帶衰減三種方法： 1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在 k=9和 k=24處各增加一個過渡帶采樣點 H9=H24=，使過渡帶寬增加到二個頻率采樣間隔 4π/33，重新計算的 H(ejω) ，其阻帶衰減增加到約 40dB。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 90 2） 過渡帶的優(yōu)化設(shè)計 根據(jù) H(ejω)的表達式， H(ejω)是 Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個過渡帶值）。 例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇 H H24,使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對誤差最小化。 要求使阻帶內(nèi)最大絕對誤差達到最?。ㄒ布醋钚∷p達到最大），可計算得 H9=。對應(yīng)的 H(ejω)的幅頻特性，比H9= 的阻帶衰減大大改善 ,衰減約 50dB。如果還要進一步改善阻帶衰減，可以進一步加寬過渡區(qū)，添上第二個甚至第三個不等于 0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 91 3） 增大 N 如果要進一步增加阻帶衰減 ， 但又不增加過渡帶寬 ， 可增加采樣點數(shù) N。 例如 ， 同樣邊界頻率 ωc= , 以 N=65采樣 ， 并在 k=17和 k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計算得到的采樣值 H17=H48=,在k=18 、 47 處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計算獲得的采樣值H17=H48= , 這時得到的 H(ejω)， 過渡帶為 6π/65， 而阻帶衰減增加了 20多分貝 ， 達 60dB以上 ， 當(dāng)然 ， 代價是濾波器階數(shù)增加 ， 運算量增加 。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 92 頻率采樣設(shè)計法 優(yōu)點 ： ① 直接從頻域進行設(shè)計，物理概念清楚，直觀方便； ② 適合于窄帶濾波器設(shè)計，這時頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個非零值。 缺點 ： 截止頻率難以控制。 因頻率取樣點都局限在 2π/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。 充分加大 N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復(fù)雜性增加。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計方法 93 FIR IIR 設(shè)計方法 一般無解析的設(shè)計公式，要借助計算機程序完成 利用 AF的成果，可簡單、有效地完成設(shè)計 設(shè)計結(jié)果 可得到幅頻特性（可以多帶）和線性相位（最大優(yōu)點） 只能得到幅頻特性，相頻特性未知（一大缺點），如需要線性相位，須用全通網(wǎng)絡(luò)校準(zhǔn)，但增加濾波器階數(shù)和復(fù)雜性 穩(wěn)定性 極點全部在原點（永遠穩(wěn)定）無穩(wěn)定性問題 有穩(wěn)定性問題 階數(shù) 結(jié)構(gòu) 非遞歸 遞歸 運算誤差 一般無反饋，運算誤差小 有反饋，由于運算中的四舍五入會產(chǎn)生寄生振蕩 快速算法 可用 FFT實現(xiàn)，減少運算量 無快速運算方法 低 IIR與 FIR數(shù)字濾器的比較 高