【正文】 1 )z z zz z z z? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 12126 0 2 4 5 9 81 4 0 1 1 5 9 8 2 0 1zzzz??????? ?? 6 設(shè) )(tha 表示一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)， ??? ??? ? 0,0 0,)( t teth ta 　　 　 用沖激響應(yīng)不變法，將此模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器（ )(nh 表示單位取樣響應(yīng)，即)()( nThnh a? ）。確定系統(tǒng)函數(shù) )(zH ，并把 T 作為參數(shù)，證明： T 為任何值時，數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的，并說明數(shù)字濾波器近似為低通濾波器還是高通濾波器。 解 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 1() 0 . 9t staH s e e d t s? ???? ?? ()aHs的極點(diǎn) 1 ?? ，根據(jù)沖激響應(yīng)不變法，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 1 1 0 . 9 111() 11s TTHz e z e z? ? ????? ()Hz的極點(diǎn)為： Tze?? ， || Tze?? 258 所以， 0T? 時， 1| | 1z? ， ()Hz滿足穩(wěn)定條件。 定性畫出數(shù)字濾波器的幅頻特性，如題 6 解圖所示： 0?2??()jHe? 題 6 解圖 易知數(shù)字濾波器近似為低通濾波器。 7 假設(shè)某模擬濾波器 )(sHa 是一個低通濾波器，又知11)()( ???? zzsa sHzH，數(shù)字濾波器)(zH 的通帶中心位于下面哪種情況？并說明原因。 （ 1） 0?? （低通） （ 2） ??? （高通） （ 3）除 0 和 ? 以外的某一頻率（帶通） 解 方法 1：按題意可寫出 11( ) ( ) |azs zH z H s ?? ?? 故 c os1 2c ta n12sin 2jjej j je???????? ? ?? 即 | | ctan 2?? ? 原模擬 低通濾波器以 0?? 為通帶中心，由上式可知， 0?? 時，對應(yīng)于 ??? ，故答案（ 2）正確。 方法 2：根據(jù)雙線性變換法的設(shè)計公式及模擬域低通到高通的頻率變換公式求解。 雙線性變換法的設(shè)計公式為： 112 1 2 111( ) ( ) |a zzs T T zzH z H s ?????? ??? 當(dāng) 2T? 時，11( ) ( ) |azs zH z H s ?? ??，這時，如 果 ()aHs為低通，則 ()Hz亦為低通。 如果將 ()aHs變換為高通濾波器： 259 1( ) ( )ah aH s H s? 則可將 ()ahHs用雙線性變換法變換成數(shù)字高通： 1 1 11 1 11( ) ( ) | ( ) ( )h a h z a z a zs s sz z zH z H s H H ss? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 這正是題目中給出的變換關(guān)系，所以數(shù)字濾波器的通帶中心位于 ??? ，故答案（ 2）正確。 8 設(shè)計數(shù)字低通濾波器，要求通帶內(nèi)頻率低于 rad? 時，容許幅度誤差在 dB1 之內(nèi)；頻率在 ? 到 ? 之間的阻帶衰減大于 dB10 。采用巴特沃斯型模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計，分別用沖激響應(yīng)不變法（ msT 1? ）和雙線性變換法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 解 （ 1）沖激響應(yīng) 不變法 本題要求用巴特沃斯型模擬濾波器設(shè)計。數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為： rad??? ， 1p dB? ? rad??? ， 10s dB? ? 采用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，相應(yīng)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為： 0 . 2 1 0 0 0 2 0 0 /pp r a d sT?? ? ?? ? ? ?， 1p dB? ? 0 .3 1 0 0 0 3 0 0 /ss ra d sT?? ? ?? ? ? ?， 10s dB? ? ① 求模擬低通濾波器的階數(shù) N 及其歸一化系統(tǒng)函數(shù) ()Gp 11 0 1 1 0 1 0 . 1 6 9 61 0 1 1 0 1psspk?? ??? ? ? 300 1 .5200sspp? ?? ??? ? ? 1 1 0 .1 6 9 6 4 .3 7 61 1 1 .5spspgk gN gg?? ? ? ? ?，取 5N? 查表得 401()()kkGppp???? 其中， 260 041320 .3 0 9 0 0 .9 5 1 10 .8 0 9 0 0 .5 8 1 81p j pp j pp??? ? ? ?? ? ? ??? 將 ()Gp展開成部分分式： 40()kk kAGp pp?? ?? 其中， 012340 .1 3 8 2 0 .4 2 5 3 0 .8 0 9 1 1 .1 1 3 51 .8 9 4 7 0 .8 0 9 1 1 .1 1 3 50 .1 3 8 2 0 .4 2 5 3A j A jA A jAj? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ② 去歸一化求得模擬低通濾波器的實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) ()aHs 若希望阻帶指標(biāo)剛好，通帶指標(biāo)有富裕量，可按下式求 3dB 截止頻率 c? ： 110 . 1 2 1 0( 1 0 1 ) 3 0 0 ( 1 0 1 ) 7 5 6 . 5 6 6 /s Ncs r a d s?? ? ???? ? ? ? ? 4400( ) ( ) | cc k kas pkkc k kABH s G p s p s s?? ?? ??? ? ????? 其中， k c kBA?? ， k c ksp?? 。 ③ 用脈沖響應(yīng)不變法將 ()aHs轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz 410() 1 kksTk BTHz ez??? ?? 其中， 31 10T ms s??? 。 （ 2）雙線性變換法 數(shù)字低 通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為： rad??? ， 1p dB? ? rad??? ， 10s dB? ? 采用雙線性變換法轉(zhuǎn)換（要進(jìn)行頻率預(yù)畸變校正），相應(yīng)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)（為方便，取 1Ts? ）： 2 ta n 2 ta n 0 .1 0 .6 4 9 8 /2 pp r a d sT ???? ? ?， 1p dB? ? 261 2 ta n 2 ta n 0 .1 5 1 .0 1 9 1 /2 ss ra d sT ???? ? ?， 10s dB? ? ① 求模擬低通濾波器的階數(shù) N 及其歸一化系統(tǒng)函數(shù) ()Gp 11 0 1 1 0 1 0 . 1 6 9 61 0 1 1 0 1psspk?? ??? ? ? 1 .0 1 9 1 1 .5 6 8 20 .6 4 9 8sspp?? ?? ? ? 1 1 0 .1 6 9 6 3 .9 4 3 51 1 1 .5 6 8 2spspgk gN gg?? ? ? ? ?，取 4N? 查表得 4 3 21() 2 . 6 1 3 1 3 . 4 1 4 2 2 . 6 1 3 1 1Gp p p p p? ? ? ? ? ② 去歸一化求得模擬低通濾波器的實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) ()aHs ( 1 0 1 ) 0 . 6 4 9 8 ( 1 0 1 ) 0 . 7 7 4 3 /p Ncp r a d s??? ??? ? ? ? ? 44 3 2 2 3 4432( ) ( ) | 31 42 31 34 70 31 95ccas pc c c cH s G p s s s ss s s s??? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ③ 用雙線性變換法將 ()aHs轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz 1122 111 1 1 14321 1 1 11 2 3 41 2 3()( ) |1 1 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 1 1 1 1 a zsT zHzHsz z z zz z z zz z z zz z z?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 4341 z ? 9 設(shè)計數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為 rad? 到 rad? ，通帶內(nèi)最大衰減為 dB3 ，rad? 以下和 rad? 以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為 dB15 。采用巴特沃斯型模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計，用雙線性變換法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 解 （ 1）確定數(shù)字帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo) rad??? ， rad??? 262 2 rad??? ， 1 rad??? 3p?? dB ， 15s?? dB （ 2）確定相應(yīng)模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。為計算方便，取 2Ts? 。 2 ta n ta n 0 . 2 2 5 0 . 8 5 4 12 uu T ???? ? ?/rads 2 ta n ta n 0 . 1 2 5 0 . 4 1 4 22 ll T ?? ? ?/rads 22 2 ta n ta n 0 . 2 7 5 1 . 1 7 0 82ss T ???? ? ?/rads 11 2 ta n ta n 0 . 0 7 5 0 . 2 4 0 12ss T ?? ? ?/rads 通帶中心頻率為： 0 94 8ul? ? ???/rads 帶寬為： ??? ? ? /rads 將以上邊界頻率對 B 歸一化，得到歸一化帶通邊界頻率： B?? ?? ， B?? ?? 22 615ss B?? ?? ， 11 458ss B?? ?? 0 52 1ul? ? ??? （ 3）由歸一化帶通指標(biāo)確定相應(yīng)的歸一化低通指標(biāo) 歸一化阻帶截止頻率為： 22202 1 .9 7 4 6sss??? ???? 歸一化通帶截止頻率為： 1p?? 且 3p?? dB ， 15s?? dB （ 4）求模擬歸一化低通系統(tǒng)函數(shù) ()Gp 0 1 1 0 1 0 . 1 2 6 61 0 1 1 0 1psspk?? ??? ? ? p?? ??? 263 1 1 0 . 1 2 6 6 3 . 0 41 1 1 . 9 7 4 6spspgk gN gg?? ? ? ? 因為 很接近 3，所以取 3N? 基本滿足要求，且系統(tǒng)簡單。查表得歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)()Gp： 321() 2 2 1Gp p p p? ? ? ? （ 5）頻率變換，將歸一化低通 ()Gp轉(zhuǎn)換成 實(shí)際帶通 ()aHs 220332 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 30 0 036 5 4 3 2( ) ( )( ) 2 ( ) 2 ( )0 .0 8 50 .8 7 9 8 1 .4 4 8 4 0 .7 0 7 6 0 .5 1 2 4 0 .1 1 0 1 0 .0 4 4 3sa psBH s G pBss s sB s s B s Bss s s s s s?? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?（ 6）用雙線性變換公式將 ()aHs轉(zhuǎn)換成 ()Hz 11211( ) ( ) |a s TH z H s ????? ??? 1 5 1 2 3 4[ 0 .0 1 8 1 1 .7 7 6 4 1 0 0 .0 5 4 3 4 .4 4 0 9 0 .0 5 4 3z z z z? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 5 5 6 1 23 4 5 6 12 . 7 7 5 6 1 0 0 . 0 1 8 1 ] [ 1 2 . 2 7 2 3 . 5 1 5 13 . 2 6 8 5 2 . 3 1 2 9 0 . 9 6 2 8 0 . 2 7 8 ]z z z zz z z z? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?