【正文】 當 =1時 ,三階巴氏低通濾波器的傳輸函數(shù)為 : H sa ( ) ?cH s s s sa ( ) ? ? ? ?12 2 13 25）求 H(z),將 代入上式得 s z zz zz? ? ?? ? ??202222 1111cos ?H z H s z z zza s zz( ) ( )? ? ? ? ??? ??? ? ??22112 4 64121 3 33fs26）求相對 =。由下式 sANcssjH22 10)/(11|)(| ???????得： ])/(1 1[l og10 210 NcssA ?????代入 和 及 N=3，求得 ?c s?dBA s ?例 653設(shè)計的帶通濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng) 6． 5． 2 數(shù)字域頻率變換法 在已知數(shù)字低通濾波器時，通過在 Z域內(nèi)的數(shù)字頻域變換得到所需類型的數(shù)字濾波器 假定變換前的平面為 z平面，變換后的為 Z平面，這種變換就是要將 z平面的系統(tǒng)函數(shù) 映射成 Z平面的系統(tǒng)函數(shù) 。假設(shè)從 z到 Z的映射關(guān)系為 )(zHL )(ZHd)( 11 ?? ? ZGz)( 11|)()( ?? ?? ZGzLd zHZH則有： 變換函數(shù) 必須滿足以下三個條件： )( 1?ZG（ 1）為滿足一定的頻率響應(yīng)要求， z域的頻率必須變換成 Z域的頻率，也就是說平面的單位圓必須映射到 Z平面的單位圓上； （ 2）為保證由因果穩(wěn)定的系統(tǒng)變換得到的系統(tǒng)也是因果穩(wěn)定的，要求平面的單位圓內(nèi)部必須映射到 Z平面的單位圓內(nèi)部； （ 3）由于 是 z1的有理函數(shù)，為了保證變換后的 也是 Z1的有理函數(shù)，要求變換函數(shù) 必須是 Z1的有理函數(shù)。 )(zHL )(ZHd)( 1?ZG設(shè) 和 分別為 z 平面和 Z 平面的數(shù)字頻率變量，即 ? ??jez ? ?jeZ ?得帶入 )( 11 ?? ? ZGz)](a r g [|)(|)( ???? jeGjjj eeGeGe ??? ??有： 1|)(| ?? ?jeG)](a r g [ ?? jeG ???表明函數(shù) 在單位圓上的幅度必須恒等于 1—— 全通函數(shù) ， 任何全通函數(shù)都可以表示為 ????????? Ni iiZZZG11*111)(??)( 1?ZG全通函數(shù)的特點 保證極點在單位圓內(nèi)，即 ，以保證變換后穩(wěn)定性不變 1|| ?i?????????? Ni iiZZZG11*111)(??)( 1?ZG 的所有零點都是其極點的共軛倒數(shù) ， )/1( *i?當 由 0變到 時，全通函數(shù)相角 的變化量 為 。選擇合適的 N和 ，則可得到各類變換 ? ? )](a r g [ ?jeG ??Nia1．數(shù)字低通 — 數(shù)字低通 )(zHL )(ZHd 和 都是低通系統(tǒng)函數(shù)，只是截止頻率不同 )(zHL )(ZHd 從 0變到 時， 也應(yīng)從 0變到 ，如圖所示。由全通函數(shù) 相角變化為 ，可確定此處階數(shù)應(yīng)為 ，故變換函數(shù) 為一階全通函數(shù) ? ?? ??N 1?N11111)( ????????ZZZGz???? jj eZez ?? ,帶入 ，注意 ?為實數(shù)。 得頻率間關(guān)系為 ： ?????jjjeee??????1 圖 1(a) LPLP變換（有對稱性） ?c??00??????????????????????????????????c o s1s i na r c t a n2c o s)1(2s i n)1(a r c t a n22由此求得 與 之間的關(guān)系： ? ?，線性＝時， ??? 0?時，頻率壓縮0??時，頻率擴張0??對于幅度響應(yīng)為分段常數(shù)的濾波器 ， 變換后仍可得類似的頻率響應(yīng) 設(shè)低通原型的截止頻率為 ， 變換后的對應(yīng)截止頻率為 c? c?帶入下式 得： ?????jjjeee??????1 ?????? ??????? ??22s incccc????? 由截頻為 的 得到截頻為 的 變換關(guān)系： c? c?)(zHL )(ZHd1111|)()(???????ZzzLd zHZH??2．數(shù)字低通 — 數(shù)字高通 低通變成高通，只需將頻率響應(yīng)旋轉(zhuǎn) 180176。 ，即將 Z變換成 Z即可 —— 旋轉(zhuǎn)變換 11111)( ????????ZZZGz??將下式中的 用 代替， 1?Z 1??Z得到低通到高通的變換 ???????????????1111 ZZz???????? ??????? ???2c os2c os cccc ?????圖 3 (a) LPBP變換 1?0?2??c?c??????003．數(shù)字低通 — 數(shù)字帶通 LPBP變換把帶通的中心頻率 故 N=2。 由以上分析得變換關(guān)系： 或 00 ?? ??c?? ??2c?? ?1)1(1)( 1122211211?????????????zrzrrzrzzgu)2(1122212????????????????jjjjjererreree??????????????????~0~0~~000,~~0 ????? ??? 時，如圖 3(a), ,1)1(,0 ????? g，時 ??? 全通函數(shù)取負號。 ????????????????????????????1122221111122212122212??????????jjjjjjjjjjererrereeererrereecc把變換關(guān)系 代入（ 2）式得 ： 消去 r1，得： 令 cc ???? ??? 21 ,)()()()(1212121222111122)()(2??????????????????????jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc????????????????????????????2)2(12 ctgtgk ??? ??確定 r1, r2 ： 可證明， 其中 r1,r2代入（ 2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖 3（ b）。 112 ???kkr121 ??? kkr ?)2c o s ()2c o s (1212????????LPBP頻率關(guān)系 圖 4 (a) LPBS變換 2? 0? 1?c?c?????)( ?jeH00??4．數(shù)字低通 — 數(shù)字帶阻 如圖 4(a), LP—— BS變換把帶阻的中心頻率 的變化范圍為 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號。 由以上分析得變換關(guān)系： （ 1） 或 （ 2） ??? ???00~0~0~~00????????????????????? ~~0 ??? ，?2?1)( 1122211211????????????zrzrrzrzzgu1122212????????????????jjjjjererreree確定 r1, r2 ： 把變換關(guān)系 代入（ 2）式得 ： 其中 ， r1, r2代入（ 2）式，得圖 4（ b） ,此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。 2212 ctgtgk ??? ?????? ??121 ???kr?kkr???112?????? ??????? ??2c o s2c o s1212?????cc ???? ??? 21 ,LPB S頻率變換關(guān)系 IIR數(shù)字濾波器的計算機輔助設(shè)計 脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法 ? 設(shè)計時先設(shè)計模擬濾波器，再經(jīng)過變換得到需要的數(shù)字濾波器 ? 只適合于設(shè)計幅度特性分段恒定的濾波器，例如低通、高通、帶通和帶阻等濾波器，不能設(shè)計任意幅度特性或多帶的濾波器 ? 設(shè)計所得的濾波器在性能上也不一定是最優(yōu)的 計算機輔助設(shè)計 ? 按照指定的濾波器特性，根據(jù)某種最優(yōu)化準則，利用計算機進行反復(fù)迭代運算，從而求出所要求的濾波器 ? 既可在時域特性進行，也可在頻域特性進行， ? 指定濾波器的單位脈沖響應(yīng)或指定濾波后的輸出波形 ? 指定濾波器的頻率特性 本節(jié)內(nèi)容 ? 介紹一種從