【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2,/102022 35 ???????? ? ????有由 ,Tcc ???解：先計(jì)算模擬截止頻率， 設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器分三步： 4,1,))((1)(8)142(22??????????kessssssHkjka?第一步 查巴特沃斯數(shù)字低通濾波器原型表 ， 求得系統(tǒng)函數(shù) 第二步 部分分式分解并求 Ak H sAs sAs skakkkkk i i k( ) ,( ), , ,?????? ?? ?14 4 11 4?第三步 將 代入下式， kck sA 及、 ?整理并化簡(jiǎn)求得 H(z)的實(shí)系數(shù)二次形式 H zAe zkNk cs k c( ) ? ????111??H zAe zkk cs k c( ) ? ????1411??? ?? ? ?? ? ? ?? ??? ??? ??101 84776 0 884821 1 31495 0 618231 84776 0 409811 1 08704 0 3131711 211 2. .. .. .. .zz zzz z小結(jié) 1)脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的， ω＝ ΩΤ， ω與 Ω 是線性關(guān)系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應(yīng)不變法 2)在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng) TjHeHaj /)()( ?? ???? 3)如果 Ha(s)是穩(wěn)定的 ， 即其極點(diǎn)在 S左半平面 ， 映射后得到的 H(Z)也是穩(wěn)定的 。 4)脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波器 ,由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中 的頻帶，再用脈 沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用 。 2s?6． 4 設(shè)計(jì) IIR濾波器的雙線性變換法 1．設(shè)計(jì)方法 )( ?jH)( ?jeH 從頻域響應(yīng)出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng) ， 逼近模擬濾波器的頻域響應(yīng) ,進(jìn)而求出 H(z)。 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn) ： ? 對(duì)時(shí)域的采樣會(huì)造成頻域的混疊效應(yīng)，因而有可能使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)與原來模擬濾波器的頻域響應(yīng)相差很大，而且不能用來設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器 – 原因： 從 S平面到 Z平面的映射是多值的映射關(guān)系 雙線性變換的映射過程 脈沖響應(yīng)不變法的映射過程 雙線性變換法的改進(jìn) 為避免 頻域的混疊 ，分兩步完成 S平面到 Z平面的映射 ?????? ? TT ?? ，?將 S平面壓縮到某一中介的 S1平面的一條橫帶域 ?通過標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個(gè) Z平面上去， 為了將 S平面的 jΩ軸壓縮到 S1平面 jΩ1軸上的－ π/T到 π/T 一段上 ， 可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)： ????? 0)2(tg 1 TΩcΩ ??這里 C是待定常數(shù)， 經(jīng)過這樣的頻率變換， 當(dāng) Ω由 時(shí) , Ω1由 π/T經(jīng)過０變化到 π/T ，即 S平面的整個(gè) jΩ軸被壓縮到 S1平面的 2π/T 一段。 實(shí)現(xiàn)方法： 通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 ， 將 Ω 1映射到 Z平面的單位圓上 Tsez 1?通常取 C=2/T, TsTseecTscs1111)2(th 1 ??????????????????zzTsTsez 1?再將 S1 平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面，即令 將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè) S平面，則得到 S平面到 S1 最后得 S平面與 Z 雙線性換法的主要優(yōu)點(diǎn)是 S平面與 Z平面一一單值對(duì)應(yīng) ，S平面的虛軸 (整個(gè) jΩ)對(duì)應(yīng)于 Z平面 單位圓的一周 ， S平面的Ω=0處對(duì)應(yīng)于 Z平面的 ω=0處 ， 對(duì)應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折疊頻率處 ， 所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng) 。 ??????????zzTssTsTz)/()/(???????雙線性變換的映射關(guān)系滿足 關(guān)于映射關(guān)系可行性的兩個(gè)條件 （ 1） S平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓上； （ 2）位于 S左半平面的極點(diǎn)應(yīng)映射到 Z平面的單位圓內(nèi)。 2 1 2 ()21jjes j tg jTT e??????? ? ? ??,?jez ?令 11211zsT z?????帶入表達(dá)式 得： 說明 S平面的虛軸 映射成了 Z平面的單位圓 s j? ?? ?令 , 帶入表達(dá)式 1 / 21 / 2TszTs???得： 即 s左半平面映射在單位圓內(nèi)， s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。 2222221221||,221221?????? ??????????????? ?????????????????????????????TTTTzTjTTjTz????0?? 1||,0。1|| ??? zz 時(shí)?時(shí) 小結(jié) 1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)： S平 面與 Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴(yán)重 非線性關(guān)系得到的），即整個(gè) jΩ軸單值的對(duì)應(yīng)于單位 圓一周，關(guān)系式為： ????????22 ?tgT可見， ω和 Ω為非線性關(guān)系，如圖所示。 圖 2 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系 由圖中看到，在零頻率附近， Ω～ ω接近于線性關(guān)系， Ω進(jìn)一步增加時(shí)， ω增長(zhǎng)變得緩慢， (ω終止于折疊頻率處 )，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部 分超過折疊頻率 ?? ???? ,時(shí) 2)雙線性變換缺點(diǎn)： Ω與 ω成非線性關(guān)系 ， 導(dǎo)致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變 ， (使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變 )。 例如 ， 一個(gè)模擬微分器 ， 它的幅 度與頻率是直線關(guān)系 ，但通過雙線性變換后 ， 就不可能得到數(shù)字微分器 bk t gjHeHbkjHtgj ?????????? 2)()()(2???b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。 ，故雙線性變換只能用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。 ３ )計(jì)算 H(Z) 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單 。 由于 s與 z之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系 ， 所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) 。 置換過程 : ??????????????????? 11112 112)()(11zzTHsHzH azzTsa??????????? 22)()(22??? tgTjHjHeH atgTaj這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便 捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài) 響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他 情況下，對(duì)于 IIR的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變 換。 通過模擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟： 1） 確定數(shù)字濾波器的性能要求 ， 確定各臨界頻率 {ωk}。 2） 由變換關(guān)系將 {ωk}映射到模擬域 ， 得出模擬濾波器的臨界頻率值 {Ωk}。 3） 根據(jù) {Ωk}設(shè)計(jì)模擬濾波器的 Ha(s) 4） 把 Ha(s) 變換成 H(z)（ 數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) ） 下面舉例討論兩種變換法在 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 。 例 1 設(shè)采樣周期 ,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲 LP濾波器 ,其 3dB截止頻率 fc=1khz。 分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解 。 解： a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的 ， 所以可直接按 Ωc =2πfc設(shè)計(jì) Ha(s)。 根據(jù)上節(jié)的討論 ， 以截止頻率 Ωc 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為： 322211)(ssssHa ????32 )/()/(2)/(211)(ccca ssssH ???????cs ?/)4(2 5 0 k h zfsT s ?? ?以 代替其歸一化頻率 ， 得： 為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，計(jì)算 Ha(S)分母多項(xiàng)式的根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)： 2/)31(3/2/)31(3/)( 6/6/jcsecjcseccscsHa jj???????????????? ? ??6/211 3/。, ?jcc ecAsA ????????2/)31(,3/。2/)31( 36/32 jsecAjs cjc ??????????? ? ??????NiTSiZeAZHi111)( iS對(duì)照前面學(xué)過的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式 ,有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 極點(diǎn) 并將 代入 ， 得： 合并上式后兩項(xiàng) ， 并將 代入 ， 計(jì)算得： 12/)31(6/12/)31(6/1 1)3/(1)3/(1/)(????????? ???????? ZeeTZeeTZeTZHjjcjjcCccc ??????????? ?? Tf cc??????????????? ???? 2111 )(ZZZZTZHTcc /??? 可見， H（ Z）與采樣周期 T有關(guān)， T越小， H（ Z）的相對(duì)增益越大，這是不希望的。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即求出 H（ Z）后，再乘以因子 T,使 H（ Z）只與 有關(guān)，即只與 fc和 fs的相對(duì)值 有關(guān)，而與采樣頻率 fs無直接關(guān)系。 例如， 與 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。 最后得： sc ff /2111 20 55 20 )(???? ??????? zzzzZHC?K HzfK Hzf cs 10,40 ??K HzfK Hzf cs 1,4 ?? b. 雙線性變換法 （ 一 ） 首先確定數(shù)字域臨界頻率 ??? ?? Tf ccTtgTcc222 ?????