【文章內容簡介】 線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原 模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖 25 所示。 ?－ ? ?o? ?2ta n2 ?T? ＝重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） １２ 圖 26雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸 變 來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上。?o ?oo??)j(a ΩH)(e j ?H? ???ooo)](ea r g [ j ?H)]j(a r g [ a ΩH重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） １３ 第 三 章 IIR 濾波器的 MATLAB 設計 MATLAB是矩陣實驗室（ Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號 計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。 MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學 ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB來解算問題要比用 C,FORTRAN等語言完相同的事情簡捷得多 .在新的版本中也加入了對 C,FORTRAN,c++ ,JAVA的支持 .可以直接調用 ,用戶也可以將自己編寫的實用程序導入到 MATLAB 函數庫中方便自己以后調用，此外許多的 MATLAB 愛好者都編寫了一些經典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用，非常的方便。 模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有一些 典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯 (Butterworth )濾波器、切比雪夫 (Chebyshev)濾波器、橢圓 (Cauer )濾波器、貝塞爾 (Bessel )濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。 用 MATLAB進行數字濾波器的設計 的 步驟如下 : （ 1） 將設計指標歸一化處理。如果采用雙線性變換法，還需進行預畸變。 （ 2） 根據歸一化頻率，確定最小階數 N 和頻率參數 Wn?？晒┻x用的階數擇函數有 :buttord， cheblord， cheb2ord， ellipord等。 （ 3） 運用最小階數 N 設計模擬低通濾波器原型。模擬低通濾波器的創(chuàng) 建函數有 :buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap 和 besselap，這些函數輸出的是零極點式形式，還要用 zp2tf函數轉換成分子分母多項式形式。如果想根據 最 小 階 數 直 接 設 計 模 擬 低 通 濾 波 器 原 型 ， 可 用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel 等函數，只是注意要將函數中的 Wn設為 1。 （ 4） 根據第 2 步的頻率參數 Wn，模擬低通濾波原型轉換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數分別是： lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。 （ 5） 運用脈沖響應不變法或雙線性變法把模濾波器 轉數字濾波器，調用的函數是 impinvar 和 bilinear。脈沖響應不變法適用于采樣頻率大于 4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） １４ 的各型濾波器。 （ 6） 根據輸出的分子分母系數， 調 用 函數 buttord 計算 N 和 wc， 有系數向量可以寫出數字濾波器系統(tǒng)函數 Z,再用 freqz函數驗證設計結果。 第一節(jié) IIR 數字濾波器 的 典型設計 法 設計巴特沃 斯 數字低通濾波器和橢圓數字低通濾波器，要求通帶邊界頻fp=，通帶最大衰減 Rp=；阻帶邊界頻率 fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為 Fs=20kHZ。 低通巴特沃斯濾波器設計步驟 如下： （ 1） 確定階數 N。 110 ???? psRRspk ?? pssp ff??? , ??N 取 N=4 （ 2） 求極點 ?530 jep ? ， ?541 jep ? ， ?jep ?2 ， ?563 jep ? ， ?574 jep ? 歸一化低通原型系統(tǒng)函數為 ?? ?? 4 0 )(1)(k ka pppG 由 N=4直接查表得到： 極點： j?? j?? 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數為 011223341)( bpbpbpbppG a ????? 式中， ?0b , ?1b , ?2b , ?3b （ 3） 將 )(pGa 去歸一化最終得到 重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） １５ 401312223345)(ccca bsbsbsbssH ???????? ?? 通過計算可以總結出過程太麻煩，而且容易出錯 ，結果不直觀 。 下面用 M程序設計來實現 用脈沖響應不變法設計的巴特沃 斯 數字低通濾波器的 M程序如下： fp=2100。 fs=8000。 Fs=20220。 Rp=。 Rs=30。 T=1/Fs。 %設計指標 W1p=fp/Fs*2。W1s=fs/Fs*2。%求歸一化頻率 [N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。s39。)。 %確定 butterworth 的最小介數 N和頻率參數 Wn [z,p,k]=buttap(N)。 %設計模擬低通原型的零極點增益參數 [bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。 %將零極點增益轉換成分子分母參數 [bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs)。%將低通原型轉換為模擬低通 [bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 %用脈沖響應不變法進行模數變換 sys=tf(bz,az,T)。 %給出傳輸函數 H(Z) [H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。 %生成頻率響應參數 subplot(2,1,1)。 plot(W,20*log10(abs(H)))。 %繪制幅頻響應 grid on。 %加坐標網格 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /dB39。)。 subplot(2,1,2)。 plot(W,abs(H))。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /H39。)。 重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） １６ 運行后的波形如下： 圖 31 典型濾波器在 Matlab 上 運行波形 運行結果： N =4 bz = az= 可以得出：只需編程，結果非常直觀。 雙線性變換法 設計步驟如下： （ 1）首先寫出該濾波器的系統(tǒng)函數 RCaas asH 1,)( ??? （ 2）利用雙線性變換法轉換，數字濾波器的系統(tǒng)函數 )(1 zH 為 12111121 1 )1(|)()(11 ????? ?????? zazasHzHzzTsa 22,2 21 ????? aTaTaaTaTa 重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） １７ 用雙線性變換法 設計 橢圓數字低通濾波器的 M程序如下： fs=20220。 wp=2*pi*2100/fs。 ws=2*pi*8000/fs。 Rp=。 Rs=30。 Ts=1/fs。 Wp=2/Ts*tan(wp/2)。Ws=2/Ts*tan(ws/2)。 %按頻率轉換公式進行轉換 [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。s39。)。 %計算模擬濾波器的最小階數 [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。%設計模擬原型濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 %零點極點增益形式轉換為傳遞函數形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。 %低通轉換為低通濾波器的頻率轉化 [bz,az]=bilinear(b,a,fs)。 %運用雙線性變換法得到數字濾波器傳遞函數 [H,f]=freqz(bz,az,512,fs)。 subplot(2,1,1)。 plot(f,20*log10(abs(H)))。 title(39。N=2 頻率響應 39。)。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /dB39。)。 subplot(2,1,2)。 plot(f,abs(H))。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /H39。)。 重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） １８ 圖 32 雙線性變換法設計的橢圓數字低通濾波器 運行波形 運行結果： N=2 bz= az= 第二節(jié) IIR 數字濾波器的直接設計法 除了典型設計以外， MATLAB 信號處理工具箱提供了幾個直接設計 IIR 數字濾波器的函數，直接調用就可以設計濾波器，這為設計通用濾波器提供了方便。主要 有以下幾種方法 ： 這種方法也 稱為零極點累試法。在確定零極點位置時要注意： (1)極點必須位于 z平面單位圓內，保證數字濾波器因果穩(wěn)定； (2)復數零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數有理式的系數是實的。 IIR數字濾波器 設 計 IIR 數字濾波器 重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） １９ 設計 Butterworth 濾波器用函數 butter()，可以設計低通、高通、帶通和帶阻的數字和模擬濾波器，其特性是通帶內的幅度響應最大限度的平滑，但損失了截止頻率處的下降斜度。 設計 Chebyshev I 型濾波器用函數 chebyl()?？梢栽O計低通、高通、帶通和帶阻的數字和模擬 Chebyshev I型濾波器，其通帶內為等波紋，阻帶內為單調。Chebyshev I型濾波器的下降斜度比 II型大，但其代價目是通帶內波紋較大。 設計 Chebyshev II 型濾波器用函數 cheby2()?？梢栽O 計低通、高通、帶通和帶阻的數字和模擬 Chebyshev II型濾波器，其通帶內為單調，阻帶內等波紋。Chebyshev II型濾波器的下降斜度比 I型小，但其阻帶內波紋較大。 設計橢圓濾波器用函數 ellip()，與 chebyl, cheby2 類似，可以設計低通、高通、帶通和帶阻的數字和模擬濾波器。與 Butterworth和 chebyshev 濾波器相比， ellip函數可以得到下降斜度更大的濾波器，得通帶和阻帶均為等波紋。一般情況下，橢圓濾波器能以最低的階實現指定的性能指標。 在使用各類濾波器函數時應當注意以下重 點 : (1)、階數和固有頻率的選擇 :[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)可得到符合要求性質的濾波器的最小階數 N 以及數字 Butterworth 濾波器的固有頻率 Wn(即3dB )。設計的要求是在通帶內的衰減不超過 Rp,在阻帶內的衰減不小于 Rs，通帶和阻帶有截止頻率分別是 Wp, Ws,它們是歸一化的頻率，范圍是 [0, 1]，對應π弧度。 (2)、有關濾波器設計當中的頻率歸一化問題 :信號處理工具箱中經常使用的頻率是 Nyquist頻率，它被定義為采樣頻率的一半，在濾波器的階數選擇和設計中的截止頻率均 使用 Nyquist 頻率進行歸一化處理。例如對于一個采樣頻率為1000 Hz的系統(tǒng)， 400Hz 的歸一化即為 400/500=。歸一化頻率的范圍在 [0, 1]之間。如果要將歸一化頻率轉換為角頻率，則將歸一化頻率乘以π 。如果要將歸一化頻率轉換為 Hz,則將歸一化頻率乘以采樣頻率的一半。 (3)、設計一個 N 階的低通 Butterworth 濾波器使用函數 [B,A]=butter(N, Wn)，返回濾波器系數矩陣 [B,A]。其中固有頻率 Wn 必須是歸一化頻率。它的最大值是采樣頻率的一半。 Fs 缺省時默認為 2Hz。如果 Wn=[Wl,W2]是一個兩元素的向量，則函數將設計出一個 2N階的帶通濾波器，通帶為 [W1,W2]。 設計 Chebyshev I 型和 Chebyshev II 型數字低通濾波器，要求通帶邊界頻重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文） ２０ 率 fp=，通帶最大