【文章內(nèi)容簡介】 線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原 模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖 25 所示。 ?－ ? ?o? ?2ta n2 ?T? ＝重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １２ 圖 26雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸 變 來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。?o ?oo??)j(a ΩH)(e j ?H? ???ooo)](ea r g [ j ?H)]j(a r g [ a ΩH重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １３ 第 三 章 IIR 濾波器的 MATLAB 設(shè)計 MATLAB是矩陣實驗室（ Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號 計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。 MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué) ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB來解算問題要比用 C,FORTRAN等語言完相同的事情簡捷得多 .在新的版本中也加入了對 C,FORTRAN,c++ ,JAVA的支持 .可以直接調(diào)用 ,用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲?MATLAB 函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的 MATLAB 愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用，非常的方便。 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有一些 典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯 (Butterworth )濾波器、切比雪夫 (Chebyshev)濾波器、橢圓 (Cauer )濾波器、貝塞爾 (Bessel )濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。 用 MATLAB進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計 的 步驟如下 : （ 1） 將設(shè)計指標(biāo)歸一化處理。如果采用雙線性變換法，還需進(jìn)行預(yù)畸變。 （ 2） 根據(jù)歸一化頻率，確定最小階數(shù) N 和頻率參數(shù) Wn?？晒┻x用的階數(shù)擇函數(shù)有 :buttord， cheblord， cheb2ord， ellipord等。 （ 3） 運用最小階數(shù) N 設(shè)計模擬低通濾波器原型。模擬低通濾波器的創(chuàng) 建函數(shù)有 :buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap 和 besselap，這些函數(shù)輸出的是零極點式形式，還要用 zp2tf函數(shù)轉(zhuǎn)換成分子分母多項式形式。如果想根據(jù) 最 小 階 數(shù) 直 接 設(shè) 計 模 擬 低 通 濾 波 器 原 型 ， 可 用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel 等函數(shù)，只是注意要將函數(shù)中的 Wn設(shè)為 1。 （ 4） 根據(jù)第 2 步的頻率參數(shù) Wn，模擬低通濾波原型轉(zhuǎn)換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數(shù)分別是： lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。 （ 5） 運用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變法把模濾波器 轉(zhuǎn)數(shù)字濾波器，調(diào)用的函數(shù)是 impinvar 和 bilinear。脈沖響應(yīng)不變法適用于采樣頻率大于 4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １４ 的各型濾波器。 （ 6） 根據(jù)輸出的分子分母系數(shù)， 調(diào) 用 函數(shù) buttord 計算 N 和 wc， 有系數(shù)向量可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) Z,再用 freqz函數(shù)驗證設(shè)計結(jié)果。 第一節(jié) IIR 數(shù)字濾波器 的 典型設(shè)計 法 設(shè)計巴特沃 斯 數(shù)字低通濾波器和橢圓數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻fp=，通帶最大衰減 Rp=；阻帶邊界頻率 fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為 Fs=20kHZ。 低通巴特沃斯濾波器設(shè)計步驟 如下： （ 1） 確定階數(shù) N。 110 ???? psRRspk ?? pssp ff??? , ??N 取 N=4 （ 2） 求極點 ?530 jep ? ， ?541 jep ? ， ?jep ?2 ， ?563 jep ? ， ?574 jep ? 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 ?? ?? 4 0 )(1)(k ka pppG 由 N=4直接查表得到： 極點： j?? j?? 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 011223341)( bpbpbpbppG a ????? 式中， ?0b , ?1b , ?2b , ?3b （ 3） 將 )(pGa 去歸一化最終得到 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １５ 401312223345)(ccca bsbsbsbssH ???????? ?? 通過計算可以總結(jié)出過程太麻煩，而且容易出錯 ，結(jié)果不直觀 。 下面用 M程序設(shè)計來實現(xiàn) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的巴特沃 斯 數(shù)字低通濾波器的 M程序如下： fp=2100。 fs=8000。 Fs=20220。 Rp=。 Rs=30。 T=1/Fs。 %設(shè)計指標(biāo) W1p=fp/Fs*2。W1s=fs/Fs*2。%求歸一化頻率 [N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。s39。)。 %確定 butterworth 的最小介數(shù) N和頻率參數(shù) Wn [z,p,k]=buttap(N)。 %設(shè)計模擬低通原型的零極點增益參數(shù) [bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。 %將零極點增益轉(zhuǎn)換成分子分母參數(shù) [bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs)。%將低通原型轉(zhuǎn)換為模擬低通 [bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 %用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行模數(shù)變換 sys=tf(bz,az,T)。 %給出傳輸函數(shù) H(Z) [H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。 %生成頻率響應(yīng)參數(shù) subplot(2,1,1)。 plot(W,20*log10(abs(H)))。 %繪制幅頻響應(yīng) grid on。 %加坐標(biāo)網(wǎng)格 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /dB39。)。 subplot(2,1,2)。 plot(W,abs(H))。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /H39。)。 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １６ 運行后的波形如下： 圖 31 典型濾波器在 Matlab 上 運行波形 運行結(jié)果： N =4 bz = az= 可以得出：只需編程，結(jié)果非常直觀。 雙線性變換法 設(shè)計步驟如下： （ 1）首先寫出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù) RCaas asH 1,)( ??? （ 2）利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(1 zH 為 12111121 1 )1(|)()(11 ????? ?????? zazasHzHzzTsa 22,2 21 ????? aTaTaaTaTa 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １７ 用雙線性變換法 設(shè)計 橢圓數(shù)字低通濾波器的 M程序如下： fs=20220。 wp=2*pi*2100/fs。 ws=2*pi*8000/fs。 Rp=。 Rs=30。 Ts=1/fs。 Wp=2/Ts*tan(wp/2)。Ws=2/Ts*tan(ws/2)。 %按頻率轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換 [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。s39。)。 %計算模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。%設(shè)計模擬原型濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 %零點極點增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。 %低通轉(zhuǎn)換為低通濾波器的頻率轉(zhuǎn)化 [bz,az]=bilinear(b,a,fs)。 %運用雙線性變換法得到數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) [H,f]=freqz(bz,az,512,fs)。 subplot(2,1,1)。 plot(f,20*log10(abs(H)))。 title(39。N=2 頻率響應(yīng) 39。)。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /dB39。)。 subplot(2,1,2)。 plot(f,abs(H))。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /H39。)。 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １８ 圖 32 雙線性變換法設(shè)計的橢圓數(shù)字低通濾波器 運行波形 運行結(jié)果： N=2 bz= az= 第二節(jié) IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法 除了典型設(shè)計以外， MATLAB 信號處理工具箱提供了幾個直接設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用就可以設(shè)計濾波器，這為設(shè)計通用濾波器提供了方便。主要 有以下幾種方法 ： 這種方法也 稱為零極點累試法。在確定零極點位置時要注意： (1)極點必須位于 z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定； (2)復(fù)數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的。 IIR數(shù)字濾波器 設(shè) 計 IIR 數(shù)字濾波器 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １９ 設(shè)計 Butterworth 濾波器用函數(shù) butter()，可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器，其特性是通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)最大限度的平滑，但損失了截止頻率處的下降斜度。 設(shè)計 Chebyshev I 型濾波器用函數(shù) chebyl()。可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 Chebyshev I型濾波器，其通帶內(nèi)為等波紋，阻帶內(nèi)為單調(diào)。Chebyshev I型濾波器的下降斜度比 II型大，但其代價目是通帶內(nèi)波紋較大。 設(shè)計 Chebyshev II 型濾波器用函數(shù) cheby2()?？梢栽O(shè) 計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 Chebyshev II型濾波器，其通帶內(nèi)為單調(diào)，阻帶內(nèi)等波紋。Chebyshev II型濾波器的下降斜度比 I型小，但其阻帶內(nèi)波紋較大。 設(shè)計橢圓濾波器用函數(shù) ellip()，與 chebyl, cheby2 類似，可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器。與 Butterworth和 chebyshev 濾波器相比， ellip函數(shù)可以得到下降斜度更大的濾波器，得通帶和阻帶均為等波紋。一般情況下，橢圓濾波器能以最低的階實現(xiàn)指定的性能指標(biāo)。 在使用各類濾波器函數(shù)時應(yīng)當(dāng)注意以下重 點 : (1)、階數(shù)和固有頻率的選擇 :[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)可得到符合要求性質(zhì)的濾波器的最小階數(shù) N 以及數(shù)字 Butterworth 濾波器的固有頻率 Wn(即3dB )。設(shè)計的要求是在通帶內(nèi)的衰減不超過 Rp,在阻帶內(nèi)的衰減不小于 Rs，通帶和阻帶有截止頻率分別是 Wp, Ws,它們是歸一化的頻率，范圍是 [0, 1]，對應(yīng)π弧度。 (2)、有關(guān)濾波器設(shè)計當(dāng)中的頻率歸一化問題 :信號處理工具箱中經(jīng)常使用的頻率是 Nyquist頻率，它被定義為采樣頻率的一半，在濾波器的階數(shù)選擇和設(shè)計中的截止頻率均 使用 Nyquist 頻率進(jìn)行歸一化處理。例如對于一個采樣頻率為1000 Hz的系統(tǒng)， 400Hz 的歸一化即為 400/500=。歸一化頻率的范圍在 [0, 1]之間。如果要將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為角頻率，則將歸一化頻率乘以π 。如果要將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為 Hz,則將歸一化頻率乘以采樣頻率的一半。 (3)、設(shè)計一個 N 階的低通 Butterworth 濾波器使用函數(shù) [B,A]=butter(N, Wn)，返回濾波器系數(shù)矩陣 [B,A]。其中固有頻率 Wn 必須是歸一化頻率。它的最大值是采樣頻率的一半。 Fs 缺省時默認(rèn)為 2Hz。如果 Wn=[Wl,W2]是一個兩元素的向量，則函數(shù)將設(shè)計出一個 2N階的帶通濾波器，通帶為 [W1,W2]。 設(shè)計 Chebyshev I 型和 Chebyshev II 型數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ２０ 率 fp=，通帶最大