【正文】 heby2(N,Rs,Wn)。 %通帶最大衰減（單位： dB） Rs=30。 %歸一化的通帶截止頻率 Ws=2*Fls/Fs。 Fls=8000。 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ２１ 運行后的波形如下： 圖 33 Chebyshev I 型 運行波形 運行結(jié)果： N=2 b= a= Chebyshev II型 M程序如下： Fs=20220。幅度（ H） 39。)。 xlabel(39。plot(w/pi,abs(hw))。)。) title(39。ylabel(39。ω /π 39。grid on。 subplot(2,1,1)。 %返回最小階數(shù)和截止頻率 [b,a]=cheby1(N,Rp,Wn)。 %通帶最大衰減（單位： dB） Rs=30。 %歸一化的通帶截止頻率 Ws=2*Fls/Fs。 Fls=8000。 Chebyshev I型的 M 程序如下： Fs=20220。如果 Wn=[Wl,W2]是一個兩元素的向量，則函數(shù)將設(shè)計出一個 2N階的帶通濾波器，通帶為 [W1,W2]。它的最大值是采樣頻率的一半。 (3)、設(shè)計一個 N 階的低通 Butterworth 濾波器使用函數(shù) [B,A]=butter(N, Wn)，返回濾波器系數(shù)矩陣 [B,A]。如果要將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為角頻率，則將歸一化頻率乘以π 。例如對于一個采樣頻率為1000 Hz的系統(tǒng)， 400Hz 的歸一化即為 400/500=。設(shè)計的要求是在通帶內(nèi)的衰減不超過 Rp,在阻帶內(nèi)的衰減不小于 Rs，通帶和阻帶有截止頻率分別是 Wp, Ws,它們是歸一化的頻率，范圍是 [0, 1]，對應(yīng)π弧度。一般情況下，橢圓濾波器能以最低的階實現(xiàn)指定的性能指標(biāo)。 設(shè)計橢圓濾波器用函數(shù) ellip()，與 chebyl, cheby2 類似，可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器?？梢栽O(shè) 計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 Chebyshev II型濾波器，其通帶內(nèi)為單調(diào)，阻帶內(nèi)等波紋。Chebyshev I型濾波器的下降斜度比 II型大，但其代價目是通帶內(nèi)波紋較大。 設(shè)計 Chebyshev I 型濾波器用函數(shù) chebyl()。在確定零極點位置時要注意： (1)極點必須位于 z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定； (2)復(fù)數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的。 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １８ 圖 32 雙線性變換法設(shè)計的橢圓數(shù)字低通濾波器 運行波形 運行結(jié)果： N=2 bz= az= 第二節(jié) IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法 除了典型設(shè)計以外， MATLAB 信號處理工具箱提供了幾個直接設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用就可以設(shè)計濾波器，這為設(shè)計通用濾波器提供了方便。振幅 /H39。)。 xlabel(39。 plot(f,abs(H))。)。 ylabel(39。頻率 /Hz39。 grid on。N=2 頻率響應(yīng) 39。 plot(f,20*log10(abs(H)))。 %運用雙線性變換法得到數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) [H,f]=freqz(bz,az,512,fs)。 %零點極點增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。 %計算模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。s39。Ws=2/Ts*tan(ws/2)。 Ts=1/fs。 Rp=。 wp=2*pi*2100/fs。 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １６ 運行后的波形如下： 圖 31 典型濾波器在 Matlab 上 運行波形 運行結(jié)果： N =4 bz = az= 可以得出：只需編程，結(jié)果非常直觀。振幅 /H39。)。 xlabel(39。 plot(W,abs(H))。)。 ylabel(39。頻率 /Hz39。 %繪制幅頻響應(yīng) grid on。 %生成頻率響應(yīng)參數(shù) subplot(2,1,1)。 %用脈沖響應(yīng)不變法進行模數(shù)變換 sys=tf(bz,az,T)。 %將零極點增益轉(zhuǎn)換成分子分母參數(shù) [bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs)。 %確定 butterworth 的最小介數(shù) N和頻率參數(shù) Wn [z,p,k]=buttap(N)。s39。W1s=fs/Fs*2。 T=1/Fs。 Rp=。 fs=8000。 110 ???? psRRspk ?? pssp ff??? , ??N 取 N=4 （ 2） 求極點 ?530 jep ? ， ?541 jep ? ， ?jep ?2 ， ?563 jep ? ， ?574 jep ? 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 ?? ?? 4 0 )(1)(k ka pppG 由 N=4直接查表得到： 極點： j?? j?? 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 011223341)( bpbpbpbppG a ????? 式中， ?0b , ?1b , ?2b , ?3b （ 3） 將 )(pGa 去歸一化最終得到 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １５ 401312223345)(ccca bsbsbsbssH ???????? ?? 通過計算可以總結(jié)出過程太麻煩，而且容易出錯 ，結(jié)果不直觀 。 第一節(jié) IIR 數(shù)字濾波器 的 典型設(shè)計 法 設(shè)計巴特沃 斯 數(shù)字低通濾波器和橢圓數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻fp=，通帶最大衰減 Rp=；阻帶邊界頻率 fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為 Fs=20kHZ。脈沖響應(yīng)不變法適用于采樣頻率大于 4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １４ 的各型濾波器。 （ 4） 根據(jù)第 2 步的頻率參數(shù) Wn，模擬低通濾波原型轉(zhuǎn)換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數(shù)分別是： lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。模擬低通濾波器的創(chuàng) 建函數(shù)有 :buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap 和 besselap，這些函數(shù)輸出的是零極點式形式，還要用 zp2tf函數(shù)轉(zhuǎn)換成分子分母多項式形式?？晒┻x用的階數(shù)擇函數(shù)有 :buttord， cheblord， cheb2ord， ellipord等。如果采用雙線性變換法，還需進行預(yù)畸變。 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有一些 典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯 (Butterworth )濾波器、切比雪夫 (Chebyshev)濾波器、橢圓 (Cauer )濾波器、貝塞爾 (Bessel )濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。除具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號 計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原 模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖 25 所示。 圖 25雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的，如式（ 212）及圖 24所示。這個關(guān)系如式（ 210）所示，重寫如下： ???????? 2tan2 ?T （ 式 215） 上式表明， S平面上 Ω 與 Z平面的 ω 成非線性的正切關(guān)系，如圖 24 所示。這是因為 S 平面與 Z 平面是單值的 一一對應(yīng)關(guān)系。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 其次，將 s=σ +jΩ 代入式（ 212），得 ???????jTjTz??22 （ 式 213） 因此 222222???????? ????????? ????TTz （ 式 214） 由此看出，當(dāng) σ 0 時， |z|1；當(dāng) σ 0 時， |z|1。將式（ 26）寫成 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj ????????? （ 式 27） 將此關(guān)系解析延拓到整個 S平面和 S1平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，則得 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １０ TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs ????????????????? a 112/2/2/2/ （ 式 28） 再將 S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? （ 式 29） 從而得到 S平 面和 Z 平面的單值映射關(guān)系為： 11112????? zzTs （ 式 210） sTsTsTsTz?????? 222121 （ 式 211） 式（ 210）與式（ 211）是 S平面與 Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換 式（ 26）與式（ 210）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求。 圖 24雙線性變換的映射關(guān)系 為了將 S平面的整個虛軸 jΩ 壓縮到 S1平面 jΩ 1軸上的 π /T到π /T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) ????????? 2tan2 1TT （ 式 26） 式中 ,T仍是采樣間隔。也就是說，第一步先將整個 S 平面壓縮映射到 S1平面的 π /T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 z=es1T將此橫帶變換到整個 Z平面上去。這是因為從 S平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。當(dāng)然這樣會進一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 二、 脈沖響應(yīng)不變 法優(yōu)缺點 從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系 ω =Ω T。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。 圖 22 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 由（ 22）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 ????? ?????? ?? k aj T kjHTeH ??? 21)( (式 23) 這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響 應(yīng)序列 h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng) ha(t)，即將 ha(t)進行等間隔采樣，使 h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT) 式中 ,T是采樣周期。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計 流程圖如下： 圖 21 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟流程圖 成熟的模擬濾波器設(shè)計方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計過渡模擬低通濾波器。 利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器的過程是： 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ６ (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率 p? 、通帶最大衰 減 p? 、阻帶截止頻率 s? 、阻帶最小衰減 s? 。 為了保證轉(zhuǎn)換后的 )(zH 穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求 : (1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 其設(shè)計步驟是：先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù) )(sHa ，然后將 )(sHa 按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。其設(shè)計步驟