【正文】 ,ap]=zp2tf(z,p,k)[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap)[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2)[H,w]=freqz(bz,az,256,Fs*1000)。s39。was=tan(ws/2)。ws=2*pi*fs/Fs。rs=20。Fs=1000。%使用雙線性Z變換設(shè)計一低通數(shù)字濾波器，fp=100HZ,fs=300HZ，αp=3dB,αs=20dB,抽樣頻率為Fs=1000HZfp=100。雙線性Z變換法的基本思路是：首先將整個s平面壓縮到s1平面的一條帶寬為2π/T（叢π/T到π/T）的橫帶里，然后通過標準的變化關(guān)系將橫帶變換成整個Z平面上去，這樣就得到s平面與Z平面間的一一對應的單值關(guān)系，整個過程如圖28所示： jΩ jΩ1 jIm(Z) π/T 0 б 0 б 0 1 бπ/T s平面 s1平面 Z平面圖28 雙線性Z變換法的映射關(guān)系由式(211)得 (212)及 (213) (214)式(211)及式(212)給出了s和z之間的映射關(guān)系，而式(213) 和式(214)給出了Ω和ω之間的映射關(guān)系，但這是一種非映射關(guān)系，雙線性Z變換法正是利用了正切函數(shù)的非線性特點，把整個jΩ軸壓縮到了單位圓的一周上。 雙線性Z變換法利用脈沖響應不變法設(shè)計數(shù)字濾波器時，由于ω=ΩT的頻率關(guān)系是根據(jù)推導的，所以是軸每隔2π/T便映射到單位圓上一周，引起了頻域混疊。但其也具有很大的缺點，若抽樣頻率不高或其它原因?qū)a(chǎn)生混疊失真，不能重現(xiàn)原模擬濾波器頻率響應。圖27 脈沖響應不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器的特性(基于MATLAB實現(xiàn))總結(jié)以上，脈沖響應不變法的優(yōu)點是頻率坐標變換是線性的，即ω=ΩT，如不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計數(shù)字濾波器會很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率響應。pha=angle(H)。 %500點的幅頻響應mag=abs(H)。,[0 1])。,39。,39。set(gca,39。)。ylabel(39。w(/pi)39。)。title(39。gridsubplot(2,2,4)。XTick39。manual39。XTickMode39。axis([0,1,1,1])。pha(/pi)39。)。xlabel(39。相頻特性39。plot(w/pi,pha/pi)。,[40 As Rp 0])。,39。,39。set(gca,39。XTick39。manual39。XTickMode39。axis([0,1,40,5])。dB39。)。xlabel(39。幅頻特性(dB)39。plot(w/pi,db)。,[0 Atn Rip 1])。,39。,39。set(gca,39。XTick39。manual39。XTickMode39。axis([0,1,0,])。|H(jw)|39。)。xlabel(39。幅頻特性39。plot(w/pi,mag)。 %應用脈沖響應不變法進行轉(zhuǎn)換 [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a)。)。 %選取模擬濾波器的階數(shù)[cs,ds]=butter(N,OmgC,39。s39。OmgS=ws*T。Atn=10^(As/20)。T=1。Rp=1。%設(shè)模擬低通巴特沃斯濾波器，通帶紋波為Rp=1dB,通帶上限角頻率ωp=,阻帶下限角頻率ωs=，帶阻最小衰減αs=15dB，根據(jù)該低通模擬濾波器，利用沖激響應不變法設(shè)計相應的數(shù)字低通濾波器wp=*pi。經(jīng)過以上分析，按照脈沖響應不變法，通過模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)，可直接求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z),其設(shè)計具體步驟歸納如下：(1)利用ω=ΩT（可由關(guān)系式推出），將數(shù)字濾波器指標，轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標，(2)根據(jù)指標，來設(shè)計模擬濾波器G(s)(3)利用部分分式展開法，把G(s)展成 (29)(4)最后把模擬極點轉(zhuǎn)換為數(shù)字極點，得到數(shù)字濾波器： (210)根據(jù)上述理論，將舉例在MATLAB環(huán)境下用函數(shù)實現(xiàn)脈沖響應不變法設(shè)計一數(shù)字低通濾波器。且模擬和數(shù)字頻率滿足下列關(guān)系：ω=ΩT。G(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，又令H(z)是數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 脈沖響應不變法脈沖響應不變法的設(shè)計原理是使數(shù)字濾波器的單位抽樣響應序列h(n)，模仿模擬濾波器的脈沖響應g(t)。這些變換均是復值映射，許多文獻對此都有研究，根據(jù)數(shù)字濾波器所保持的模擬濾波器的不同特性，研究出不同的變換技術(shù)。grid onend圖26 橢圓濾波器的幅頻特性(基于MATLAB實現(xiàn))由圖26可得出，橢圓濾波器在通帶及阻帶內(nèi)均成等波紋振蕩，并具有最窄的過渡帶，其性質(zhì)比較優(yōu)越，但橢圓濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)不但有極點，而且在軸上還有零點，所以橢圓濾波器的設(shè)計比較復雜。N=39。)。ylabel(39。w/wc39。subplot(posplot)plot(w,magH2)axis([0 2 0 ])。2239。magH2=(abs(H)).^2。 %函數(shù)ellipap設(shè)計橢圓低通濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %Rp通帶紋波系數(shù)為1 dBRs=10。 case 4 N=5。 case 2 N=3。 n=0::2。MATLAB信號處理工具箱為低通模擬橢圓濾波器的產(chǎn)生提供了函數(shù)ellipap,其調(diào)用的格式為：[z,p,k]= ellipap (N,Rp,Rs)，其中，z表示零點,p表示極點,k表示增益，N表示階次,Rp為通帶波紋(dB), Rs為阻帶波紋(dB)。它的平方幅度響應函數(shù)為： (25)式中是雅可比橢圓函數(shù)，是與通帶衰減有關(guān)的函數(shù)。它的主要原因在于兩者的系統(tǒng)函數(shù)在截止頻率附近沒有有限個零點，其零點在無限遠處。 橢圓低通濾波器設(shè)計切比雪夫I型濾波器在通帶內(nèi)成等波紋振蕩，在阻帶內(nèi)卻仍是單調(diào)下降的，切比雪夫II型在阻帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)卻是單調(diào)下降的。subplot(posplot)plot(w,magH2)axis([0 2 0 ])。1239。magH2=(abs(H)).^2。 %函數(shù)cheb2設(shè)計切比雪夫II型低通濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k)。 endRs=10。for i=1:2 switch i case 1 N=7。end圖24 切比雪夫I型濾波器的幅頻特性(基于MATLAB實現(xiàn))%切比雪夫II型低通模擬濾波器clear all。N=39。)。ylabel(39。w/wc39。 %輸出圖形subplot(posplot) %函數(shù)subplot創(chuàng)建子圖圖區(qū)plot(w,magH2)axis([0 2 0 1])。1239。 %函數(shù)freqs求解模擬濾波器頻率響應magH2=(abs(H)).^2。 %函數(shù)cheb1設(shè)計切比雪夫I型低通濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k)。 endRp=1。for i=1:2 switch i case 1 N=7。%切比雪夫I型低通模擬濾波器clear all。 N為奇數(shù) N為偶數(shù) 圖22 理想切比雪夫I型濾波器的幅頻特性 N為奇數(shù) N為偶數(shù) 圖23 理想切比雪夫II型濾波器的幅頻特性圖22和圖23分別畫出了理想時的切比雪夫I型與切比雪夫II型濾波器階次N為奇數(shù)與偶數(shù)時的幅頻特性。采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途。切比雪夫濾波器的振幅特性就具有這種等波紋特性。因此，有效地設(shè)計方法是將指標的精確度均勻的分布在整個通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個阻帶內(nèi)，或者同時分布在兩者之內(nèi)，這樣就可用階數(shù)較低的系統(tǒng)來滿足要求。由圖21所示，對N=2階濾波器和N=20階濾波器的平方幅度響應進行比較后，證明了高階巴特沃斯濾波器有著更好的幅度特性，更接近理想低通濾波器。grid on由此得出的巴特沃斯低通模擬濾波器的平方幅度響應曲線如圖所示： 圖21 巴特沃斯濾波器的幅頻特性(基于MATLAB實現(xiàn))由圖21可清楚地分析出，巴特沃斯濾波器擁有平滑的頻率響應，在截止頻率以外，頻率響應單調(diào)下降。巴特沃斯低通模擬濾波器39。)。ylabel(39。w/wc39。 %函數(shù)abs取模值函數(shù) hold on %函數(shù)hold控制是否保持當前圖形plot(w,magH2) %函數(shù)plot畫二維線性圖axis([0 2 0 1])。 %函數(shù)zp2tf零極點增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型[H,w]=freqs(b,a,n)。 end[z,p,k]=buttap(N)。 case 3 N=10。for i=1:4switch i case 1 N=2。下面舉例設(shè)計巴特沃斯低通模擬濾波器：%巴特沃斯低通模擬濾波器clear all。巴特沃斯(Butterworth)低通濾波器是將巴特沃斯函數(shù)作為濾波器的傳遞函數(shù)，它的平方幅度函數(shù)為： (21)式中,為濾波器頻率，為3dB截止頻率，N表示濾波器的階次。巴特沃斯濾波器除了具有平滑單調(diào)遞減的頻率響應的優(yōu)點之外，其過渡帶的陡峭程度正比于濾波器的階數(shù)。在通帶中是理想的單位響應，在阻帶中響應為0。實際中，有三種廣泛應用的濾波器，即巴特沃斯低通濾波器、切比雪夫低通濾波器，橢圓低通濾波器，下面，將分別予以介紹。模擬濾波器設(shè)計已經(jīng)有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計公式，而且還有較為完整的圖表可供查詢，因此充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設(shè)計帶來很大方便。下面，將以此進行分別討論。于是，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器可以先設(shè)計模擬低通濾波器G(s)，然后按一定規(guī)則將G(s)進行濾波器變換而得到數(shù)字域的IIR低通濾波器H(z)，最后通過頻帶變換轉(zhuǎn)換成其它頻帶濾波器。在具體的設(shè)計過程中，將充分發(fā)揮MATLAB軟件在數(shù)值計算、圖像處理中的優(yōu)勢，并充分利用其強大的濾波器設(shè)計工具箱(Filter Design Toolbox)及圖像用戶界面工具輔助設(shè)計分析。只要以正確的指標參數(shù)調(diào)用相應的濾波器設(shè)計程序或工具箱函數(shù)，便可以得到正確的設(shè)計結(jié)果，使用非常方便。MATLAB數(shù)字信號處理工具箱和濾波器設(shè)計工具箱專門應用于信號處理領(lǐng)域。工具箱也和MATLAB一樣是完全用戶化的，可擴展性強。開放的系統(tǒng)設(shè)計使用戶能夠檢查算法的正確性，修改已存在的函數(shù)，或者加入自己的新部件?？梢暬ぞ甙ㄇ驿秩?、線框圖、偽彩圖、光源、圖像顯示、動畫等。此外，MATLAB還有數(shù)十個工具箱，可解決應用中的大多數(shù)數(shù)學、工程問題。計算功能強大：MATLAB擁有龐大的數(shù)學、統(tǒng)計及工程函數(shù)，可使用戶立刻實現(xiàn)所需的強大數(shù)學計算功能。其語法規(guī)則與結(jié)構(gòu)化高級編程語言(如C語言等)大同小異，而且使用更為簡便。它的第一版（）發(fā)行于1984年，經(jīng)過多年的改進，版本不斷升級，其所包含的工具箱功能也越來越豐富，應用越廣泛。它優(yōu)秀的數(shù)值計算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其在同類軟件中脫穎而出。 MATLAB軟件簡介MATLAB是英文Matrix Laboratory（矩陣實驗室）的縮寫，它是由美國MathWorks公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的數(shù)學計算環(huán)境。FIR濾波器不能采用由模擬濾波器設(shè)計進行轉(zhuǎn)換的方法，而經(jīng)常使用的是窗函數(shù)法和頻率采樣法。這一類方法是基于模擬濾波器的設(shè)計方法相對比較成熟，它不僅有完整的設(shè)計公式，也有完整的圖標供查閱，更可以直接調(diào)用MATLAB中的對應的函數(shù)進行設(shè)計。IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計方法很不相同：IIR濾波器設(shè)計方法有兩類，經(jīng)常用到的一類設(shè)計方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進行的。設(shè)計專用的數(shù)字硬件來實現(xiàn)這個數(shù)字模型，或者通過電子計算機運行程序軟件予以實現(xiàn)。設(shè)計一個穩(wěn)定的、因果的數(shù)學模型H(z)來逼近所要求的技術(shù)指標，并用有限精度的運算實現(xiàn)所設(shè)計的系統(tǒng)。因此