【正文】 用 函數(shù)設(shè)計切比雪夫Ⅰ濾波器 W=linspace(0,pi,400*pi)。s39。high39。)。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減 [N,Wc]= cheb1ord(Wp,Ws,Ap, As,39。 %采樣頻率為周期倒數(shù) Ap=1。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率 T=1。 用 脈沖響應不變法設(shè)計切比雪夫 1 型 高通濾波器， 程序 如下： Wp=*pi/T。從式中可知切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)也只有極點沒有零點，且只需求出左半平面的極點，所以一旦求出 ? ， c? ， N，就能確定 ()aHs。當 N 大于或等于 1 時，切比雪夫多項式遞推公式為： )()()( 11 xCxNCxC NNN ?? ?? 切比雪夫濾波器的階數(shù) N 等于通帶內(nèi)等幅波動的次數(shù)，即最大值和最小值的總數(shù)，可由下式確定 (10 1)pA? ??， (10 1)sA? ?? () 其中 ,??均為與衰減有關(guān)的參數(shù)， Ap 為通帶內(nèi)的最大衰減， As 為阻帶內(nèi)的容許衰減，它們的單位為 dB。切比雪夫Ⅱ濾波器在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的。)。 ylabel(39。Frequency39。 %繪出巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器的幅頻特性曲線 grid on。 %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W)。 %指定一段頻率值 基于 MATLAB 的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 19 hf=freqs(B,A,W)。)。,39。 %調(diào)用 butter 函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù) [B,A]=butter(N,Wn,39。s39。 Ws=[Ws1,Ws2]。 As=100。 %設(shè)置采樣周期為 1 fs=1/T。 Ws2=*pi/T。 Wp2=*pi/T。)。 ylabel(39。Frequency39。 %繪出巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器的幅頻特性曲線 grid on。 %調(diào)用脈沖響應不變法 Hz=freqz(D,C,W)。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。)。,39。 %調(diào)用 butter 函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù) [B,A]=butter(N,Wn,39。s39。 Ws=[Ws1,Ws2]。 As=100。 %設(shè)置采樣周期為 1 fs=1/T。 Ws2=*pi/T。 Wp2=*pi/T。 圖 35雙線性變換法設(shè)計的巴特沃斯帶通濾波器運行波形 數(shù)字 帶阻濾波器的設(shè)計 1 ??? ， 1 ??? ， 2 ??? ， 2 ??? ，通帶最大衰減為 1dB，阻帶最小衰減為 100dB。Magnitude39。)。 xlabel(39。 %返回頻率響應 plot(W/pi,abs(Hz))。 %計算模擬濾波器的幅頻響應 [D,C]=bilinear(B,A,fs)。 %調(diào)用 butter 函數(shù)設(shè)計巴特沃斯濾 波器 W=linspace(0,pi,1000*pi)。s39。bandpass39。)。 [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減 Wp=[Wp1,Wp2]。 %采樣頻率為周期倒數(shù) Ap=1。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止 頻率 T=1。 Ws1=*pi/T。 基于 MATLAB 的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 16 圖 34脈沖響應不變法設(shè)計的巴特沃斯帶通濾波器運行波形 用 雙線性變換法設(shè)計巴特沃斯帶通濾波器， 程序 如下： Wp1=*pi/T。Magnitude39。)。 xlabel(39。 %返回頻率響應 plot(W/pi,abs(Hz))。 %計算模擬濾波器的幅頻響應 [D,C]=impinvar(B,A,fs)。 %調(diào)用 butter 函數(shù)設(shè)計巴特沃斯濾波器 W=linspace(0,pi,1000*pi)。s39。bandpass39。)。 [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減 Wp=[Wp1,Wp2]。 %采樣頻率為周期倒數(shù) Ap=1。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率 T=1。 Ws1=*pi/T。 基于 MATLAB 的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 15 用 脈沖 響應 不變法設(shè)計巴特沃斯帶通濾波器， 程序 如下： Wp1=*pi/T。)。 ylabel(39。Frequency39。 %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線 grid on。 %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W)。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。)。,39。 %調(diào)用 butter 函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù) [B,A]=butter(N,Wn,39。s39。 As=100。 %設(shè)置采樣周期為 1 fs=1/T。 Ws=*pi/T。)。 ylabel(39。Frequency/Hz39。 %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線 grid on。 %調(diào)用脈沖響應不變法 Hz=freqz(D,C,W)。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。)。,39。 %調(diào)用 butter 函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù) [B,A]=butter(N,Wn,39。s39。 As=100。 %設(shè)置采樣周期為 1 fs=1/T。 Ws=*pi/T。 數(shù)字高通濾波器 的設(shè)計 ??? ， ??? ，通帶最大衰減為 1dB，阻帶最小衰減為 100dB。 數(shù)字濾波器的參數(shù) 指標參數(shù)變化 模擬 濾波器的參數(shù) 數(shù)字濾波器 模擬濾波器離散化標 模擬濾波器的設(shè)計 基于 MATLAB 的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 12 低通巴特沃斯濾波器設(shè)計步驟如下： （ 1） 確定階數(shù) N。在截止頻率 c? 處，幅度平方響應為 ? =0 處的 1/2，相當于幅度響應的 3dB 衰減點 。 圖 31 數(shù)字濾波器設(shè)計步驟 巴特沃斯 數(shù)字濾波器的設(shè)計 ? ? ? ? ? ?? ?2 211/a a a s j NcH j H s H s jj??? ? ? ? ? ? ? （ ） 式中， N 為正整數(shù)，稱為濾波器的階數(shù)。低通 Chebyshevl 型數(shù)字濾波器的設(shè)計 :設(shè)計中需要限定其通帶上限臨界頻率 Wp,阻帶臨界濾波頻率 Ws，在通帶內(nèi)的最大衰減 Rp，阻帶內(nèi)的最小衰減 Rs。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖 25 所示。 圖 25 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的，如式（ 212）?－ ? ?o? ?2t a n2 ?T? ＝基于 MATLAB 的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 10 及圖 24 所示。這個關(guān)系如式（ 29）所示，重寫如下： ???????? 2tan2 ?T （ 式 214） 上式表明， S平面上 Ω 與 Z平面的 ω 成非線性的正切關(guān)系，如圖 24 所示。這是因為 S 平面與 Z 平面是單值的一一對應關(guān)系。也就是說， S 平面的左半平面映射到 Z 平面的單位圓內(nèi)， S平面的右半平面映射到 Z平面的單位圓外， S平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓上。 首先 ,把 z=ejω ，可得 ???????????? ?? jTjeeTs jj 2t a n2112 ??? （ 式 211） 即 S 平面的虛軸映射到 Z 平面的單位圓。 當 Ω 1 由 π /T 經(jīng)過 0 變化到 π /T 時， Ω 由 ∞經(jīng)過 0 變化到 +∞，也即映射了整個 jΩ 軸。這樣就使 S平面與Z 平面建立了一一對應的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 24所示。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π /T～π /T 之間，再用 z=esT轉(zhuǎn)換到 Z 平面上。 雙線性 變換法設(shè)計 IIR 數(shù)字 濾波器 脈沖響應不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真 。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。所以，脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。 圖 23 脈沖響應不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 對某一 模擬濾波器的單位沖激響應 ha(t)進行采樣，采樣頻率為 fs，若使 fs 增加，即令采樣時間間隔（ T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即 0)( ??jHa 2sT ???? ? (式 23) 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而不產(chǎn)生混疊失真，即 ??????? TjHTeH ae j ?? 1)( ??? (式 24) 但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換， H(z)為 h(n)的 Z變換，利用采樣序列的Z 變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系得 ?? ????????? ?????? ????? k ak sagz kTjsXTjksXTzX xT ?21)(1|)( (式 21) 則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的 S平面變換成數(shù)字濾波器的 Z 平面， 圖 22 脈沖響應不變法的映射關(guān)系 這個從 s 到 z 的變換 z=esT是從 S 平面變換到 Z 平面的標準變換關(guān)系式。 用 脈沖響應不變法設(shè)計 IIR 數(shù)字 濾波器 一、設(shè)計原理 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。 (4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器 )(sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù))(zH 。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成相應的模擬低通濾波器的技術(shù)指標。 數(shù)字濾波器的頻率相應模仿模擬濾波器的頻響特性， s 平面的虛軸映射為 z 平面的單位圓，相應的頻率之間呈線性關(guān)系。這是因為模擬濾 波器的設(shè)計方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。這種方法比較容易一些，因為模擬濾波器的設(shè)計方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時域內(nèi)進行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計時需要計算機做輔助設(shè)計。 圖 12 低通濾波器的技術(shù)要求 基于 MATLAB 的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 4 2 IIR 數(shù)字 濾波器的 設(shè)計 IIR 數(shù)字 濾波器 的 設(shè)計步驟 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計一般有兩種方法：一個是借助模擬濾波 器的設(shè)計方法進行。 IIR 濾波器指標參數(shù)如下圖所示。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分 的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時間上的延時情況。 )(jaΩHΩΩΩΩ低通帶通 帶阻高通)(jaΩH)(jaΩH)(jaΩH0 00c基于 MATLAB 的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 3 數(shù)字濾波器 的設(shè)計要求