【文章內(nèi)容簡介】 變換式（26）與式（210）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求。首先,把z=ejω，可得（式212）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=σ+jΩ代入式（212），得 （式213）因此 （式214）由此看出，當(dāng)σ0時，|z|1；當(dāng)σ0時，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。二、雙線性變換法優(yōu)缺點雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個jΩ軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（210）所示，重寫如下： （式215）上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系，如圖24所示。由圖24看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當(dāng)Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖25雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（212）及圖24所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖25所示。圖26雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。第三章 IIR濾波器的MATLAB設(shè)計MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué),工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN,c++ ,用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用，非常的方便。模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth )濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer )濾波器、貝塞爾(Bessel )濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。用MATLAB進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計的步驟如下:（1） 將設(shè)計指標(biāo)歸一化處理。如果采用雙線性變換法，還需進(jìn)行預(yù)畸變。（2） 根據(jù)歸一化頻率，確定最小階數(shù)N和頻率參數(shù)Wn?？晒┻x用的階數(shù)擇函數(shù)有:buttord，cheblord，cheb2ord，ellipord等。（3） 運用最小階數(shù)N設(shè)計模擬低通濾波器原型。模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有:buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap和besselap，這些函數(shù)輸出的是零極點式形式，還要用zp2tf函數(shù)轉(zhuǎn)換成分子分母多項式形式。如果想根據(jù)最小階數(shù)直接設(shè)計模擬低通濾波器原型，可用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel等函數(shù)，只是注意要將函數(shù)中的Wn設(shè)為1。（4） 根據(jù)第2步的頻率參數(shù)Wn，模擬低通濾波原型轉(zhuǎn)換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數(shù)分別是：lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。（5） 運用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變法把模濾波器轉(zhuǎn)數(shù)字濾波器，調(diào)用的函數(shù)是impinvar和bilinear。脈沖響應(yīng)不變法適用于采樣頻率大于4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高的各型濾波器。（6） 根據(jù)輸出的分子分母系數(shù)，調(diào)用函數(shù)buttord計算N和wc，有系數(shù)向量可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)Z,再用freqz函數(shù)驗證設(shè)計結(jié)果。第一節(jié) IIR數(shù)字濾波器的典型設(shè)計法設(shè)計巴特沃斯數(shù)字低通濾波器和橢圓數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻fp=，通帶最大衰減Rp=；阻帶邊界頻率fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為Fs=20kHZ。低通巴特沃斯濾波器設(shè)計步驟如下：（1） 確定階數(shù)N。 取N=4（2） 求極點，， 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為由N=4直接查表得到：極點： 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為式中，,（3） 將去歸一化最終得到通過計算可以總結(jié)出過程太麻煩，而且容易出錯，結(jié)果不直觀。下面用M程序設(shè)計來實現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的M程序如下：fp=2100。fs=8000。 Fs=20000。Rp=。Rs=30。T=1/Fs。 %設(shè)計指標(biāo)W1p=fp/Fs*2。W1s=fs/Fs*2。%求歸一化頻率[N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。s39。)。%確定butterworth的最小介數(shù)N和頻率參數(shù)Wn[z,p,k]=buttap(N)。 %設(shè)計模擬低通原型的零極點增益參數(shù)[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。 %將零極點增益轉(zhuǎn)換成分子分母參數(shù)[bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs)。%將低通原型轉(zhuǎn)換為模擬低通[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 %用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行模數(shù)變換 sys=tf(bz,az,T)。 %給出傳輸函數(shù)H(Z)[H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。 %生成頻率響應(yīng)參數(shù)subplot(2,1,1)。plot(W,20*log10(abs(H)))。 %繪制幅頻響應(yīng)grid on。 %加坐標(biāo)網(wǎng)格xlabel(39。頻率/Hz39。)。 ylabel(39。振幅/dB39。)。subplot(2,1,2)。 plot(W,abs(H))。 grid on。 xlabel(39。頻率/Hz39。)。 ylabel(39。振幅/H39。)。運行后的波形如下：圖31 典型濾波器在Matlab上運行波形運行結(jié)果：N =4bz = az= 可以得出：只需編程，結(jié)果非常直觀。雙線性變換法設(shè)計步驟如下：（1）首先寫出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（2）利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 用雙線性變換法設(shè)計橢圓數(shù)字低通濾波器的M程序如下： fs=20000。 wp=2*pi*2100/fs。 ws=2*pi*8000/fs。 Rp=。 Rs=30。 Ts=1/fs。 Wp=2/Ts*tan(wp/2)。Ws=2/Ts*tan(ws/2)。 %按頻率轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換 [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。s39。)。 %計算模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。%設(shè)計模擬原型濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 %零點極點增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。 %低通轉(zhuǎn)換為低通濾波器的頻率轉(zhuǎn)化 [bz,az]=bilinear(b,a,fs)。 %運用雙線性變換法得到數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) [H,f]=freqz(bz,az,512,fs)。 subplot(2,1,1)。 plot(f,20*log10(abs(H)))。 title(39。N=2 頻率響應(yīng)39。)。 grid on。 xlabel(39。頻率/Hz39。)。 ylabel(39。振幅/dB39。)。 subplot(2,1,2)。