【文章內(nèi)容簡介】 示采樣變換參數(shù)?？偨Y(jié)以上，脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點是頻率坐標(biāo)變換是線性的，即ω=ΩT，如不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計數(shù)字濾波器會很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)。另外一個優(yōu)點是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時域逼近好。但其也具有很大的缺點，若抽樣頻率不高或其它原因?qū)a(chǎn)生混疊失真，不能重現(xiàn)原模擬濾波器頻率響應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法適合低通、帶通濾波器設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。 雙線性Z變換法利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器時，由于ω=ΩT的頻率關(guān)系是根據(jù)推導(dǎo)的，所以是軸每隔2π/T便映射到單位圓上一周，引起了頻域混疊。為克服這一現(xiàn)象，人們找到了另一種映射關(guān)系： (211)此關(guān)系稱為雙線性Z變換法。雙線性Z變換法的基本思路是：首先將整個s平面壓縮到s1平面的一條帶寬為2π/T（叢π/T到π/T）的橫帶里，然后通過標(biāo)準(zhǔn)的變化關(guān)系將橫帶變換成整個Z平面上去，這樣就得到s平面與Z平面間的一一對應(yīng)的單值關(guān)系，整個過程如圖23所示： jΩ jΩ1 jIm(Z) π/T 0 б 0 б 0 1 бπ/T s平面 s1平面 Z平面圖23 雙線性Z變換法的映射關(guān)系由式(211)得 (212)及 (213) (214)式(211)及式(212)給出了s和z之間的映射關(guān)系，而式(213) 和式(214)給出了Ω和ω之間的映射關(guān)系，但這是一種非映射關(guān)系，雙線性Z變換法正是利用了正切函數(shù)的非線性特點，把整個jΩ軸壓縮到了單位圓的一周上。在MATLAB中，雙線性Z變換可通過bilinear函數(shù)實現(xiàn),其調(diào)用格式為：[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)，其中B,A為模擬濾波器的傳遞函數(shù)G(s)的分子分母多項式系數(shù)分量，而Bz,Az為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)的分子分母多項式的系數(shù)分量。 小結(jié)這一章主要是用MATLAB語言進(jìn)行IIR濾波器的設(shè)計和實現(xiàn)。IIR濾波器的設(shè)計步驟分為三步，即模擬低通濾波器設(shè)計，模擬數(shù)字濾波器變換，濾波器的頻帶變換。在模擬低通濾波器的設(shè)計中，主要討論了三種設(shè)計方法；在模擬數(shù)字濾波器變換中，討論了兩種變換方法，即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性Z變換法。整個設(shè)計過程都是在理論分析的基礎(chǔ)上，用MATLAB語言來進(jìn)行編程設(shè)計，并最終通過具體濾波器指標(biāo)來加以實現(xiàn)的。第3章 FIR濾波器設(shè)計及其MATLAB實現(xiàn) IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設(shè)計圖表進(jìn)行的，因而保留了一些典型模擬濾波器優(yōu)良的幅度特性，但設(shè)計中只考慮到了幅度特性，沒考慮到相位特性，所設(shè)計的濾波器相位特性一般是非線性的。為得到線性相位特性，必須增加相位校正網(wǎng)絡(luò)，使濾波器設(shè)計變得復(fù)雜。而FIR濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時，很容易做到有嚴(yán)格的線性相位特性。設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為H(z)是的(N1)次多項式，它在z平面上有(N1)個零點，原點z=0是(N1)階重極點。因此，H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器突出的特點。FIR濾波器的設(shè)計方法與IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有很大的不同。FIR濾波器的設(shè)計任務(wù)是選擇有限長度的h(n)，使傳遞函數(shù)滿足技術(shù)要求。 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點 線性相位條件對于長度為N的h(n),傳輸函數(shù)為 (31) (32)式中，稱為幅度特性，稱為相位特性。的線性相位是指是的線性函數(shù)，即，為常數(shù) (33)如果滿足下式：，是起始相位 (34)以上兩種情況都滿足群延遲是一個常數(shù)，即一般稱滿足(33)為第一類線性相位；滿足(34)為第二類線性相位。第一類線性相位特性是h(n)是實序列且對(N1)/2偶對稱，即h(n)=h(Nn1)。第二類線性相位特性是h(n)是實序列且對(N1)/2奇對稱，即h(n)=h(Nn1)。 線性相位FIR濾波器幅度特性的特點由于h(n)的長度N取奇數(shù)還是偶數(shù)，對的特性有影響。因此，對于兩類線性相位，下面將分四種情況討論其幅度特性特點。(1) h(n)=h(Nn1)，N=奇數(shù)，其幅度特性的特點是對ω=0，π，2π是偶對稱的。(2) h(n)=h(Nn1)，N=偶數(shù)，其幅度特性的特點是對ω=π奇對稱的，且在ω=π處有一零點，使，這樣，對于高通和帶阻不適合采用這種情況。(3) h(n)=h(Nn1)，N=奇數(shù)，其幅度特性的特點在ω=0，π，2π處為零，即在z=1處是零點，且對ω=0，π，2π呈奇對稱形式。(4) h(n)=h(Nn1)，N=偶數(shù)，其幅度特性在ω=0，2π處為零，即在z=1處有一個零點，且對ω=0，2π奇對稱，對ω=π呈偶對稱。 線性相位FIR濾波器零點分布特點第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)綜合起來表示為： (35)上式表明，如是H(z)的零點，其倒數(shù)也必然是其零點；又因為h(n)是實序列，H(z)的零點必定共軛成對，因此和也是其零點。這樣，線性相位FIR濾波器零點分布特點是零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了。 常用窗函數(shù)及MATLAB實現(xiàn)窗函數(shù)在設(shè)計FIR數(shù)字濾波器中有很重要的作用，正確的選擇窗函數(shù)可以提高所設(shè)計的數(shù)字濾波器的性能，或者在滿足設(shè)計要求的情況下，減小FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)。因此必須對各種窗函數(shù)有相應(yīng)的了解。 常用窗函數(shù)介紹矩形窗(Rectangular window)這是一種最簡單的窗函數(shù)，但從阻帶衰減的角度來看，其性能最差。它的定義為: (36)其頻率響應(yīng)為： (37)主瓣寬度為4π/N，第一副瓣比主瓣低13dB。在MATLAB中，實現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為rectwin，其調(diào)用格式為w=rectwin (N)，其中N是窗函數(shù)的長度，返回值w是一個N階的向量，它由窗函數(shù)的值組成。三角形窗(Triangular window) (38)其頻率響應(yīng)為： (39)其主瓣寬度為8π/N，第一副瓣比主瓣低26dB。在MATLAB中，實現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為triang，其調(diào)用格式為w=triang(N)。漢寧窗(Hanning window)漢寧窗函數(shù)又稱升余弦函數(shù)，其時域表達(dá)式為： (310)其頻率響應(yīng)為： (311)其主瓣寬度為8π/N，能量更集中在主瓣之中。在MATLAB中，實現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為hann，其調(diào)用格式為w=hann(N)。海明窗(Hamming window)海明窗函數(shù)是一種改進(jìn)的升余弦函數(shù)，其時域表達(dá)式為： (312)其幅度頻率特性為： (313)其主瓣寬度為8π/N，能量更集中在主瓣之中，%，第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB。在MATLAB中，實現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為hamming，其調(diào)用格式為w=hamming(N)。布拉克曼(Blackman window) (314)布拉克曼的主瓣寬度是矩形窗主瓣寬度的三倍，為12π/N。它的最大旁瓣比主瓣值低57dB。在MATLAB中，實現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為blackman，其調(diào)用格式為w=blackman(N)。 各種窗函數(shù)的實現(xiàn)與比較在FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，要尋找適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)來進(jìn)行處理，調(diào)整窗口長度N可以有效地控制過渡帶寬度；調(diào)整窗函數(shù)形狀可使帶內(nèi)波動減少以及加大阻帶衰減。如果找到的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，則相應(yīng)的旁瓣幅度就能減小，而旁瓣的減小可使通帶阻帶波動減小，加大阻帶衰減，但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。所以要根據(jù)實際需要和技術(shù)要求來選取窗函數(shù)進(jìn)行設(shè)計。在MATLAB中，各個窗函數(shù)的調(diào)用函數(shù)均已給出()且用法比較簡單，所以為了更好的比較、區(qū)別、分析及選擇各個窗函數(shù)，特對各函數(shù)的幅度特性進(jìn)行比較。圖31給出了以上五種窗函數(shù)的時域幅度波形，圖32給出了當(dāng)N=64時五種窗函數(shù)的頻域幅度譜?？梢钥闯觯S著旁瓣的減小，主瓣寬度相應(yīng)增加了。圖31 常用窗函數(shù)時域幅度曲線比較 (a)矩形窗 (b)三角窗 (c)漢寧窗(d)海明窗 (e)布拉克曼窗圖32 常用窗函數(shù)頻域幅度曲線比較表31各種窗函數(shù)的性能比較窗函數(shù)第一旁瓣相對于主瓣衰減/dB主瓣寬阻帶最小衰減/dB 矩形窗134π/N21三角窗258π/N25漢寧窗318π/N44海明窗418π/N53布拉克曼窗5712π/N74 基于窗函數(shù)的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計及其MATLAB實現(xiàn)設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的基本方法有窗函數(shù)法，頻率抽樣法，等波紋切比雪夫逼近法等，在此主要討論基于窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器及其MATLAB實現(xiàn)的問題。窗函數(shù)法又稱為傅立葉級數(shù)法，它是在時域進(jìn)行的，因而必須由理想濾波器的頻率響應(yīng)推導(dǎo)出其單位脈沖響應(yīng)，再設(shè)計一個FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)去逼近。假設(shè)理想濾波器的頻率響應(yīng)的表示為： (315)由于理想濾波器的頻率響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)序列是傅立葉變換對，所以根據(jù)傅立葉反變換得到。求得理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)后，可得到該離散濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)： (316)但該為無限長序列，因此是物理不可實現(xiàn)的。求了使系統(tǒng)變?yōu)槲锢砜蓪崿F(xiàn)的，且使實際的FIR濾波器頻率響應(yīng)盡可能逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)，采用窗函數(shù)將無限脈沖響應(yīng)截取一段h(n)來近似表示，可得： (317)式中ω(n)表示窗函數(shù)。從而有： (318)式中N表示窗口長度，這樣H(z)就是物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)了。由于這種方法是用一定寬度窗函數(shù)截取無限脈沖響應(yīng)序列，獲得有限長的脈沖響應(yīng)序列，從而得到FIR濾波器，故稱為FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法。 海明窗設(shè)計數(shù)字低通濾波器設(shè)計一個FIR低通濾波器，要求Wp=,Ws=,Ap=,As=50dBclear all。Wp=*pi。Ws=*pi。tr_width=WsWp。 %過渡帶寬度N=ceil(*pi/tr_width)+1 %濾波器長度n=0:1:N1。Wc=(Ws+Wp)/2。 %理想低通濾波器的截至頻率 hd=ideal_lp(Wc,N)。 %理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)w_ham=(hamming(N))。 %海明窗h=hd.*w_ham。 %截取得到實際的單位脈沖響應(yīng)[db,mag,pha,w]=freqz_m4(h,[1])。 %計算實際濾波器的幅度響應(yīng)delta_w=2*pi/1000。Ap=(min(db(1:1:Wp/delta_w+1))) %實際通帶紋波As=round(max(db(Ws/delta_w+1:1:501))) %實際阻帶紋波subplot(221)stem(n,hd) %火柴棍圖title(39。理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)39。)subplot(222)stem(n,w_ham)title(39。海明窗w(n)39。)subplot(223)stem(n,h)title(39。實際單位脈沖響應(yīng)h(n)39。)subplot(224)plot(w/pi,db)title(39。幅度響應(yīng)(dB)39。)axis([0,1,100,10])%本程序用到的自定義函數(shù)function hd=ideal_lp(Wc,N)alpha= (N1)/2。n=0:1:N1。m=nalpha+eps。hd=sin (Wc*m)./(pi*m)。function[db,mag,pha,w]=freqz_m4(b,a) [H,w]=freqz(b,a,1000,39。whole39。)。H=(H(1:1:501))。w=(w(1:1:501))。mag=abs(H)。d