【文章內(nèi)容簡介】 21M m M? ? ? 的值可由[]dHm在 12mM?? 的值確定。在 []dHm的值確定后，對 []dHm做 M+1點的 IDFT即可得到 I型線性相位濾波器的 h[k]。 II 型（ M 為奇數(shù)， h[k]偶對稱）線性相位 FIR 濾波器在 M+1 個取樣點值為 1*[ ] ( 0 ( 1 ) 2 )[ ] 0 ( ( 1 ) 2 )[ 1 ] ( ( 3 ) 2 1 )MjmMdddA m e m MH m m MH M m M m M????? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? ??? (315) 上式表明 II 型線性相位 FIR 濾波器 []dHm在 ( 3) 2 1M m M? ? ? ?的值可由 []dHm在 1 ( 1) 2mM? ? ? 的值確定。 III 型（ M為偶數(shù)， h[k]奇對稱）線性相位 FIR 濾波器在 M+1 個取樣點值為 1*0 ( 0 )[ ] [ ] ( 1 2 )[ 1 ] ( 2 1 )MjmMdddmH m jA m e m MH M m M m M???????? ? ??? ? ? ? ? ??? (316) 上式表明 III 型濾波器線性相位 FIR 濾波器 []dHm在 21M m M? ? ? 的值可由[]dHm在 12mM?? 的值確定。 IV 型（ M 為奇數(shù)， h[k]奇對稱）線性相位 FIR 濾波器在 M+1 個取樣點值為 13 1*0 ( 0 )[ ] [ ] ( 1 ( 1 ) 2 )[ 1 ] ( ( 3 ) 2 )MjmMdddmH m jA m e m MH M m M m M???????? ? ? ??? ? ? ? ? ??? (317) 上式表明 IV 型線性相位 FIR 濾 波器 []dHm在 ( 3) 2M m M? ? ?的值可由 []dHm在 1 ( 1) 2mM? ? ? 的值確定。 為了提高濾波器的質(zhì)量并減少誤差，可以采用人為地擴展過渡帶的方法，即在頻率相應的過渡帶內(nèi)插入一個或多個比較連續(xù)的采樣點，使得過渡帶比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變法比較緩慢，使得設計得到的濾波器對理想濾波器的逼近誤差較小。 在理想低通濾波器的設計中，若不增加過渡點，阻帶和通帶之間的衰減約為 21dB，如 果在通帶和阻帶之間增加一個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到65dB，如果增加兩個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到 75dB，如果增加 3個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到 85dB 至 95dB。 線性相位 FIR 濾波器的優(yōu)化設計 在使用窗函數(shù)法設計濾波器時，如果使用矩形窗，則設計出的 FIR 濾波器是積分平方誤差最小意義下的最佳 FIR 濾波器。但由于 Gibbs 現(xiàn)象的存在，使得設計出濾波器在阻帶的衰減一般不能滿足要求。為解決這個問題可以采用其他的窗函數(shù)，但得到的濾波器不是最小誤差意義下的最優(yōu) FIR 濾波器。 設 ()D? 表示要逼近的理想濾波器的幅度函數(shù)。 ()A? 表示設計出的線性相位 FIR 濾波器 ()Hz的幅度函數(shù)。優(yōu)化設計的基本思想就是要確定線性相位 FIR濾波器 ()Hz的系數(shù)，使得 ()A? 和 ()D? 的誤差在 0 ???? 范圍內(nèi)達到最小。()A? 與 ()D? 的加權誤差函數(shù)定義為 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]E W A D? ? ? ? ? ? (318) 其中 ( ) 0W?? ，是由設計者定義的加權函數(shù)。 14 一種常用的誤差準則稱為最大 誤差 最小準則， 又稱切比雪夫準則， 定義為 m ax ( )I E? ???? (319) 其中 I 表示濾波器在 0 ???? 范圍內(nèi)各頻率帶區(qū)間構(gòu)成的集合。 切比雪夫準則意義下的優(yōu)化設計就是要確 定 FIR 濾波器 H(z)的系數(shù)，使得上式 定義的誤差達 ?到最小。 在 FIR濾波器的階數(shù) M固定的條件下，利用切比雪夫誤差準則設計出的 FIR濾波器的幅度響應在通帶和阻帶都會呈現(xiàn)等波紋的波動。所以這類濾波器稱為等波紋 FIR 濾波器。等波紋 FIR 濾波器的設計方法是由 ParksMcClellan 提出。在解決問題過程中使用了數(shù)學優(yōu)化中的 Remez 交換算法。 利用 Remez 交換算法，等波紋線性相位 FIR 濾波器的設計步驟可歸結(jié)為：（ 1）用 Kaiser 提出的經(jīng)驗公式估計濾 波器的階數(shù) 2 0 l g 1 32 . 3 2pspsM ????? ? ? ? (320) 確定 J 的值 。 （ 2）選定初始極值點 ? ?, 0 1k kJ? ? ? ?。 （ 3） 計算 ? 。 （ 4） 為尋找新的極值點，計算函數(shù) ()G? 在 I中的抽樣值。為了減少計算誤差，抽樣間隔應足夠小。通常選擇抽樣點數(shù)為 16M。 （ 5） 尋找新的極值點 ? ?~k? 。 （ 6） 如果~ T????，執(zhí)行（ 7）。否則用 ? ?~k? 交換 ? ?k? 回到（ 3） 。 （ 7） 獲得 g[k]。 （ 8）由 g[k]求出 h[k]。 15 4 利用 Matlab 實現(xiàn) FIR 濾波器設計 在利用 Matlab 設計 FIR 濾波器時，分別采用窗函數(shù)法、頻率取樣法和優(yōu)化設計方法去設計所需的濾波器。在設 計的過程中，用設計的濾波器對加有噪聲的語音信號或不同頻率疊加 的正弦輸入信號進行濾波，對比輸入前后的圖像，以此驗證濾波器的性能。在程序繪制的圖像中，有濾波器的特性圖、輸入信號 的時域頻域圖和輸出信號的時域頻域圖。 窗函數(shù)法的 Matlab實現(xiàn) 在窗函數(shù)法的 Matlab 實現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用的函數(shù)有 fir1 和 kaiserord。 程序中 fir1函數(shù)的用法： b=fir1(n,Wn,’ ftype’ ,window) ① n為濾波器的階數(shù) ② Wn為濾波器的截止頻率，它是一個 0到 1的數(shù)。如果 Wn是一個含有兩個數(shù)的向量，則函數(shù)返回一個帶通濾波器 ③ ftype為濾波器的類型， ftype=’ high’ 時，設計的是高通濾波器；ftype=’ stop’ 時，設計的是帶阻濾波器；沒有此參數(shù)時，設計的是低通濾波器 ④ window為指定的窗函數(shù)， 矩形窗為 boxcar(n)， 漢寧窗為 hanning(n)， 海明窗為 hamming(n)， 布萊克曼窗為 blackman(n)， 凱撒窗為 kaiser(n,beta)， 沒有此參數(shù)時，默認為 hamming窗 程序中 kaiserord函數(shù)的用法： [n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev,Fs) ① f是一個向量，為設計濾波器過渡帶的起始點和結(jié)束點 ② a是一個向量，指定頻率段的幅度值 ② dev是一個向量，長度和 a相同， 為各個通帶和阻帶內(nèi)容許的幅度最大誤差 ④ n為能夠滿足要求的濾波器的最小階數(shù) ⑤ Wn為濾波器的截止頻率 ⑥ ftype為根據(jù)待設計濾波器的要求得到的濾波器的類型 16 (1) 利用窗 函數(shù)法 設計低通濾波器 設計要求： ① 使用 hamming 窗，采樣頻率 2021Hz ② 通帶截頻 ? ，阻帶截頻 ? ③ 通帶衰減小于等于 ，阻帶衰減大于等于 50dB 程序參見附錄二中的 1（ 1） 利用窗 函數(shù)法 設計低通濾波器 圖 41 窗函數(shù)法設計低通濾波器的增益響應 從參考程序及圖 41可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ① 濾波器的采樣頻率為 2021Hz，濾波器的階數(shù)為 266 ② 濾波器的 通帶截頻 ? ，阻帶截頻 ? ，過渡帶寬 ? ③ 通帶衰減為 ，阻帶衰減為 53dB 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 17 圖 42 信號濾波前的時域 圖 和頻域圖 圖 43 信號濾波后的時域圖和頻域圖 從 圖 42和圖 43的圖像中可以看到：輸入信號是由兩個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 18 （ 2） 利用窗 函數(shù)法 設計帶通濾波器 設計要求： ① 使用 Kaiser 窗， 采樣頻率 8000Hz ② 通帶截頻 ? 與 ? ，阻帶截頻 ? 與 ? ③ 阻帶衰減大于等于 40dB，通帶和阻帶波紋 程序參見附錄二中的 1（ 2） 利用 窗函數(shù)法設計帶 通濾波器 圖 44 窗函數(shù)法設計 帶 通濾波器的增益響應 從參考程序及圖 44可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ① 濾波器的采樣頻率為 8000Hz，濾波器的階數(shù)為 90 ② 濾波器的通帶截頻 ? 與 ? ，阻帶截頻 ? 與 ? ，過渡帶寬 ? 與 ? ③ 阻帶衰減為 40dB，通帶和阻帶的波紋均為 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 19 圖 45 信號濾波前的時域 圖 和頻域圖 圖 46 信號 濾波 后 的時域 圖 和頻域圖 從圖 45和圖 46的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 20 (3) 利用窗 函數(shù)法 設計多通帶濾波器 設計要求： ① 使用 Kaiser 窗， 采樣頻率 200Hz ② 通帶截頻 ? 、 ? 、 ? 、 ? 阻帶截頻 ? 、 ? 、 ? 、 ? ③ 阻帶衰減大于等于 30dB，通帶和阻帶波紋 程序參見附錄二中的 1（ 3） 利用 窗函數(shù)法設計多通帶 濾波器 圖 47 窗函數(shù)法設計 多通帶 濾波器的增益響應 從參考程序及圖 47可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ① 濾波器的采樣頻率為 200Hz，濾波器的階數(shù)為 46 ② 濾波器的通帶截頻 ? 、 ? 、 ? 、 ? ，阻帶截頻 ? 、 ? 、 ? 、? ， 過渡帶寬 均為 ? ③ 阻帶衰減為 38dB，通帶和阻帶的波紋均為 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 21 圖 48 信號濾波前的時域 圖 和頻域圖 圖 49 信號 濾波后 的時域 圖 和頻域圖 從圖 48和圖 49的圖像中可以看到：輸入信號是由六個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾 波器的效果符合設計要求。 22 頻率取樣法的 Matlab實現(xiàn) (1) 利用頻率取樣法設計低通濾波器 設計要求： ① 通帶截頻 ? ，阻帶截頻 ? ② 阻帶衰減大于等于 15dB 程序參見附錄二中的 2（ 1） 利用 頻率取樣法設計低通 濾波器 圖 410 頻率取樣 法設計低通濾波器的增益響應 從參考程序及圖 47可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ① 濾 波器的階數(shù)為 63 ② 濾波器的通帶截頻 ? ，阻帶截頻 ? ， 過渡帶寬 為 ? ③ 阻帶衰減為 17dB 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 23 圖 411 信號 濾波前 的時域 圖 和頻域圖 圖 412 信號 濾波后 的時域 圖 和頻域圖 從圖 411和圖 412的圖像中 可以看到：輸入信號是由三個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。 24 （ 2） 利用頻率取樣法設計高通濾波器 設計要求： ① 通帶截頻 ? ，阻帶截頻 ? ② 阻帶衰減大于等于 15dB 程序參見附錄二中的 2（ 2） 利用 頻率取樣法設計高通 濾波器 圖 413 頻率取樣 法設計 高 通濾波 器的增益響應 從參考程序及圖 47可以得到所設計出濾波器的參數(shù)如下： ① 濾波器的階數(shù)為 32 ② 濾波器的通帶截頻 ? ，阻帶截頻 ? ， 過渡帶寬 為 ? ③ 阻帶衰減為 18dB 對比設計要求與所設計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。 25 圖 414 信號 濾波前 的時域 圖 和頻域圖 圖 415 信號 濾波后 的時域 圖 和頻域圖 從圖 414和圖 415的圖像中可以看