【文章內(nèi)容簡介】 TLAB 的數(shù)字濾波器的設(shè)計 8 |)(| 2?jG |)(| 2?jG N 為奇數(shù) N 為偶數(shù) 圖 22 理想切比雪夫 II 型濾波器的幅頻特性 圖 21 和圖 22 分別畫出了理想時的切比雪夫 I 型與切比雪夫 II 型濾波器階次 N 為奇數(shù)與偶數(shù)時的幅頻特性。而通過 MATLAB 信號處理工具箱中的函數(shù)cheb1ap 及 cheb2ap，可以實現(xiàn)切比雪夫濾波器設(shè)計，其調(diào)用格式為： [z,p,k]=cheb1ap(N,Rp) [z,p,k]=cheb2ap(N,Rs) 其中， z 表示零點 ,p 表示極點 ,k 表示增益， N表示階次， Rp為通帶波紋 (dB), Rs為阻帶波紋 (dB)。 橢圓低通濾波器設(shè)計 切比雪夫 I 型濾波器在通帶內(nèi)成等波紋振蕩，在阻帶內(nèi)卻仍是單調(diào)下降的，切比雪夫 II 型在阻帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)卻是單調(diào)下降的。因此過渡帶的特性有所提高，但是并不 理想。它的主要原因在于兩者的系統(tǒng)函數(shù)在截止頻率附近沒有有限個零點，其零點在無限遠處。 1931 年，考爾提出了采樣有限零點設(shè)計的濾波器，因為這種方法在確定零點位置時與橢圓函數(shù)的許多特性有關(guān)，所以稱之為橢圓低通濾波器。它的平方幅度響應(yīng)函數(shù)為： ? ? ? ????? UjG N222 1 1|| ? (25) 式中 ? ??UN2 是雅可比橢圓函數(shù)， ? 是與通帶衰減有關(guān)的函數(shù)。濾波器階次 N 等于通帶和阻帶內(nèi)最大點和最小 點的和。 MATLAB 信號處理工具箱為低通模擬 橢圓濾波器的產(chǎn)生提供了函數(shù) ellipap,其調(diào)用的格式為： [z,p,k]= ellipap (N,Rp,Rs)， 其中， z 表示零點 ,p 表示極點 ,k 表示增益， N表示階次 ,Rp為通帶波紋 (dB), Rs為阻帶波紋 (dB)。 模擬 數(shù)字濾波器變換及其 MATLAB 實現(xiàn) 在設(shè)計了模擬低通濾波器后，就可以把它們變成數(shù)字濾波器了。這些變換均安徽工程大學(xué)機電學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 是復(fù)值映射，許多文獻對此都有研究，根據(jù)數(shù)字濾波器所保持的模擬濾波器的不同特性，研究出不同的變換技術(shù)。其中，最重要的有兩種：脈沖響 應(yīng)不變法（保持脈沖響應(yīng)不變，又叫沖激響應(yīng)不變法）和雙線性 Z 變換法（保持系統(tǒng)函數(shù)不變）。 脈沖響應(yīng)不變法 脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計原理是使數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)序列 h(n)，模仿模擬濾波器的脈沖響應(yīng) g(t)。 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 G(s)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 g(t),并將脈沖響應(yīng)g(t)進行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng) h(n)剛好等于 g(t)的采樣值，即： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ??? 0| n ssTnt TnhTnttgtgnh s ? (26) 其中的 Ts 為采樣周期。 G(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，又令 H(z)是數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。采樣信號的拉式變換與相應(yīng)的采樣序列 Z 變換的映射關(guān)系為： ez sT? (27) 所以系統(tǒng)函數(shù) G(s)和 H(z)的關(guān)系為： ? ? ? ?? ??? ????? k ssez jksGTzH sT 1| (28) 式 (28)的物理意義為首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) G(s)作周期的延拓，在經(jīng)過式 (27)的映射變換，映射到 Z 平面上，從而得到數(shù)字濾波器的 系統(tǒng)函數(shù) H(z)。且模擬和數(shù)字頻率滿足下列關(guān)系：ω =Ω T。經(jīng)過式 (27)的映射， s 平面的左半平面映射為 Z 平面的單位圓內(nèi)，因此，一個因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。 經(jīng)過以上分析，按照脈沖響應(yīng)不變法，通過模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù) G(s)，可直接求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(Z),其設(shè)計具體步驟歸納如下： (1)利用ω =Ω T（可由關(guān)系式 ez sT? 推出），將數(shù)字濾波器指標(biāo) ?P ， ?S 轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo) ?P ， ?S (2)根據(jù)指標(biāo) ?P ， ?S 來設(shè)計模擬濾波器 G(s) (3)利用部分分式展開法，把 G(s)展成 ? ? ??? ?Nk kkPs AsG 1 (29) (4)最后把模擬極點 Pk 轉(zhuǎn)換為數(shù)字 極點 eTSk ，得到數(shù)字濾波器： 柯進進：基 于 MATLAB 的數(shù)字濾波器的設(shè)計 10 ? ? ? ?? ? ?Nk TS k Ze AzH k1 11 (210) 根據(jù)上述理論，將舉例在 MATLAB 環(huán)境下用函數(shù)實現(xiàn)脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一數(shù)字低通濾波器。其函數(shù)為 [b,a]=impinvar(c,d,T)，其中， b 表示數(shù)字濾波器自變量為 Z1? 的分子多項式， a表示數(shù)字濾波器自變量為 Z1? 的分母多項式， c 表示模擬濾波器自變量為 s的分子多項式 ,d表示模擬濾波器自變量為 s 的分母多項式，T表示采樣變換參數(shù)。 總結(jié)以上 ，脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點是頻率坐標(biāo)變換是線性的，即ω =Ω T，如不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計數(shù)字濾波器會很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)。另外一個優(yōu)點是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時域逼近好。但其也具有很大的缺點，若抽樣頻率不高或其它原因?qū)a(chǎn)生混疊失真，不能重現(xiàn)原模擬濾波器頻率響應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法適合低通、帶通濾波器設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。 雙線性 Z變換法 利用脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)計數(shù)字濾波器時，由于ω =Ω T 的頻率關(guān)系是根據(jù)ez sT? 推導(dǎo)的，所以是 ?j 軸每隔 2π /T 便映射到單位圓上一周，引起了頻域混疊。為克服這一現(xiàn)象，人們找到了另一種映射關(guān)系： 112 ??? ZZTS (211) 此關(guān)系稱為雙線性 Z變換法。 雙線性 Z 變換法的基本思路是：首先將整個 s 平面壓縮到 s1 平面的一條帶寬為 2π /T（叢 π /T到π /T）的橫帶里，然后通過標(biāo)準(zhǔn)的變化 關(guān)系 ez sT? 將橫帶變換成整個 Z 平面上去，這樣就得到 s 平面與 Z 平面間的一一對應(yīng)的單值關(guān)系，整個過程如圖 23 所示： jΩ jΩ 1 jIm(Z) π /T 0 б 0 б 0 1 б π /T s 平面 s1 平面 Z 平面 圖 23 雙線性 Z 變換法的映射關(guān)系 安徽工程大學(xué)機電學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 由式 (211)得 ? ?? ?sT sTZ 2/1 2/1??? (212) 及 ? ?2/tan2 ?T?? (213) ? ?2/arctan2 T??? (214) 式 (211)及式 (212)給出了 s和 z之間的映射關(guān)系，而式 (213) 和式 (214)給出了Ω和ω之間的映射關(guān)系，但這是一種非映射關(guān)系，雙線性 Z 變換法正是利用了正切函數(shù)的非線性特點，把整個 jΩ軸壓縮到了單位圓的一周上。 在 MATLAB 中，雙線性 Z 變換可通過 bilinear 函數(shù)實現(xiàn) ,其調(diào)用格式為：[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)，其中 B,A 為模擬濾波器的傳遞函數(shù) G(s)的分子分母多項式系數(shù) 分量，而 Bz,Az 為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H(Z)的分子分母多項式的系數(shù)分量。 小結(jié) 這一章主要是用 MATLAB 語言進行 IIR 濾波器的設(shè)計和實現(xiàn)。 IIR 濾波器的設(shè)計步驟分為三步，即模擬低通濾波器設(shè)計，模擬 數(shù)字濾波器變換，濾波器的頻帶變換。 在模擬低通濾波器的設(shè)計中，主要討論了三種設(shè)計方法；在模擬 數(shù)字濾波器變換中，討論了兩種變換方法，即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性 Z 變換法 。 整個設(shè)計過程都是在理論分析的基礎(chǔ)上，用 MATLAB 語言來進行編程設(shè)計，并最終通過具體濾波器指標(biāo)來加以實現(xiàn)的。 柯進進：基 于 MATLAB 的數(shù)字濾波器的設(shè)計 12 第 3 章 FIR 濾波器設(shè)計及其 MATLAB 實現(xiàn) IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設(shè)計圖表進行的，因而保留了一些典型模擬濾波器優(yōu)良的幅度特性，但設(shè)計中只考慮到了幅度特性，沒考慮到相位特性，所設(shè)計的濾波器相位特性一般是非線性的。為得到線性相位特性，必須增加相位校正網(wǎng)絡(luò)，使濾波器設(shè)計變得復(fù)雜。而 FIR 濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時，很容易做到有嚴(yán)格的線性相位特性。設(shè) FIR 濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)長度為 N，其系統(tǒng)函數(shù) H(z)為 ? ? ? ??? ?? ?10Nn nznhzH H(z)是 z1? 的 (N1)次多項式，它在 z 平面上有 (N1)個零點，原點 z=0 是 (N1)階重極點。因此， H(z)永遠穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是 FIR 濾波器突出的特點。 FIR 濾波器的設(shè)計方法與 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有很大的不同。 FIR 濾波器的設(shè)計任務(wù)是選擇有限長度的 h(n)，使傳遞函數(shù) ? ?eH j? 滿足技術(shù)要求。 線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的條件和特點 線性相位條件 對于長度為 N 的 h(n),傳輸函數(shù)為 ? ? ? ??? ?? ?10Nn njj enheH ?? (31) ? ? ? ? ? ?eHeH jgj ??? ?? (32) 式中， ? ??Hg 稱為幅度特性， ???? 稱為相位特性。 ? ?eHj? 的線性相位是指 ???? 是 ?的線性函數(shù)，即 ? ? ???? ?? ， ? 為常數(shù) (33) 如果 ???? 滿足下式： ? ? ????? ?? 0 ， ?0 是起始相位 (34) 以上兩種情況都滿足群延遲是一個常數(shù)，即 ? ? ???? ??dd 一般稱滿足 (33)為第一類線性相位；滿足 (34)為第二類線 性相位。第一類線性相位特性是 h(n)是實序列且對 (N1)/2 偶對稱，即 h(n)=h(Nn1)。第二類線性相位特性是 h(n)是實序列且對 (N1)/2 奇對稱，即 h(n)=h(Nn1)。 安徽工程大學(xué)機電學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 線性相位 FIR 濾波器幅度特性 ? ??Hg 的特點 由于 h(n)的長度 N取奇數(shù)還是偶數(shù)，對 ? ??Hg 的特性有影響。因此，對于兩類線性相位，下面將分四種情況討論其幅度特性特點。 (1) h(n)=h(Nn1)， N=奇數(shù)，其幅度特性的特點 是對ω =0，π， 2π是偶對稱的。 (2) h(n)=h(Nn1)， N=偶數(shù)，其幅度特性的特點是對ω =π奇對稱的，且在ω =π處有一零點，使 ? ? 0??Hg ，這樣，對于高通和帶阻不適合采用這種情況。 (3) h(n)=h(Nn1)， N=奇數(shù)，其幅度特性的特點在ω =0，π， 2π處為零，即在 z=? 1 處是零點，且 ? ??Hg 對ω =0，π， 2π呈奇對稱形式。 (4) h(n)=h(Nn1)， N=偶 數(shù)，其幅度特性 ? ??Hg 在ω =0， 2π處為零，即在z=1 處有一個零點，且對ω =0， 2π奇對稱，對ω =π呈偶對稱。 線性相位 FIR 濾波器零點分布特點 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)綜合起來表示為： ? ? ? ? ? ?zHzzH N 11 ????? (35) 上式表明，如 zzi?是 H(z)的零點，其倒數(shù) zi1? 也必然是其零點；又因為 h(n)是實序列， H(z)的零點必定共軛成對，因此 zi* 和 ??zi1*?也是其零點。這樣，線性相位 FIR濾波器零點分布特點是零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了。 常用窗函數(shù)及 MATLAB 實現(xiàn) 窗函數(shù)在設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器中有很重要的作用，正確的選擇窗函數(shù)可以提高所設(shè)計的數(shù)字濾波器的性能，或者在滿足設(shè)計要求的情況下，減小 FIR 數(shù)字濾波器的階數(shù)。因此必須對各種窗函數(shù)有相應(yīng)的了解。 常用窗函數(shù)介紹 矩形窗 (Rectangular window) 這是一種最簡單的窗函數(shù)，但從阻