【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 NnH a n nN??? ? ????? ???? ? ???( ) 0H ? ? ?對(duì) ， ， 2 呈 偶 對(duì) 稱 ；① ② 相位特性是嚴(yán)格線性的。 （ 2）當(dāng) N為偶數(shù)時(shí)： 1122( 1 )00( ) ( ) ( )NNn N nnnH z h n z h n z??? ? ? ???????12( 1 )0( ) [ ]Nn N nnh n z z?? ? ? ?????jwze?令 ， 則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為： 12( 1 )0( ) ( ) [ ]Nj j n j N nnH e h n e e? ? ??? ? ? ?????12( 1 ) / 201{ 2 ( ) c o s [ ( ) ] }2NjNnNe h n n? ???????? ? ( ) 2 ( ) 1 2 . . .22NNb n h n n? ? ?令 ， ， ， ， ， 則 上 式 可 寫 為 ：2( 1 ) / 211( ) { ( ) c o s [ ( ) ] }2Nj j NnH e e b n n?? ?????? ?所以系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)為： 211( ) ( ) c o s[ ( ) ]2( ) ( 1 ) / 2NnH b n nN??? ? ???? ????? ? ???② ③ 相位特性是嚴(yán)格線性的。 ① 幅度函數(shù) 是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，可以包括正值和負(fù)值； ()H?()H ??對(duì) 呈 奇 對(duì) 稱 ；當(dāng) h(n)為奇對(duì)稱 h(n)=h(N1n) (3) N為奇數(shù) 32( 1 )0( ) ( )Nn N nnH z h n z z?? ? ? ?????? ???11 2()221( ) ( ) sin( )NNjjnH e e c n n?????????????? ???????11( ) 2 [ ] , 1 , 2 , . . . . ,22NNc n h n n??? ? ?? 幅度響應(yīng) ? 相位響應(yīng) 121( ) ( ) si n( )NnH c n n????? ?( ) ( 1 ) 2 2N? ? ? ?? ? ? ?(4) N為偶數(shù) 12( 1 )0( ) ( ) ( )Nn N nnH z h n z z?? ? ? ?????1 2()2211( ) ( ) sin ( )2NNjjnH e e d n n??????????? ?????? ???????( ) 2 ( 1 ) , 1 , 2 , .. .. ,22NNd n h n? ? ?? 幅度響應(yīng) ? 相位響應(yīng) 21( ) ( ) si n( )NnH d n m???? ?( ) ( 1 ) 2 2N? ? ? ?? ? ? ? FIR DF系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)分布； 零點(diǎn)分布：兩組共軛對(duì)， **11zzzz， ， ， ；因?yàn)椋? 1100( ) ( ) ( 1 )NNnnnnH z h n z h N n z??????? ? ? ???1 ( 1 )0()N Nmmh m z? ? ? ??? ?1( 1 )0()NNmmz h m z????? ?所以： ( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ?? ，1z即 ： 當(dāng) z 為 零 點(diǎn) 時(shí) ， 也 為 零 點(diǎn) 。 當(dāng) h(n)為實(shí)序列時(shí)，有： 11* * *00( ) ( ) ( ) [ ( ) ] * ( )NN nnnnH z h n z h n z H z?? ????? ? ???即：當(dāng) z為零點(diǎn)時(shí)， z* 也為零點(diǎn)。 ? 若 H(z)的零點(diǎn) zk既不在實(shí)軸上，又不在單位圓上，在 zk必是 4個(gè)互為倒數(shù) 的兩組共軛對(duì)；如： z1/z z1* 、 1/ z1*。 ? 如果零點(diǎn)在 單位圓 上，則零點(diǎn)以 共軛對(duì) 出現(xiàn)； ? 如果零點(diǎn)在 實(shí)軸 上，則零點(diǎn) 互為倒數(shù) 出現(xiàn)； ? 如果零點(diǎn)既在 單位圓 上，又在 實(shí)軸 上，則零點(diǎn)為 1和 1。 例 已知線性相位 FIR濾波器的單位取樣響應(yīng) 為實(shí)序列， 為 的一個(gè)零點(diǎn)，求 的其它零點(diǎn)？ 1122zj? ? ?()Hz()hn()Hz解：若濾波器的單位取樣響應(yīng)為實(shí)序列 1122zj? ? ?當(dāng) 為其零點(diǎn)時(shí)， 11 122z j j j? ? ? ? ?， ， 1則 也為零點(diǎn)。 FIR DF系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)特點(diǎn) 系統(tǒng)函數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)是鏡像對(duì)稱的 ,如一個(gè)四階系統(tǒng) 的形式是： ()Hz 1 2 3 4a bz c z bz az? ? ? ?? ? ? ? 例 已知線性相位 FIR濾波器的單位取樣響應(yīng)為： ( ) 2 ( ) 4 ( 1 ) ( 2) ( 3 )h n n n a n b n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則 的值分別為多少 ？ ,ab 解：線性相位 FIR濾波器的單位取樣響應(yīng)的系數(shù)具有奇對(duì)稱或偶對(duì)稱的性質(zhì)，即： a=4,b=2 或 a=4,b= 2 FIR DF的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) ( ) ( 1 )h n h N n? ? ?當(dāng) ,且 N為偶數(shù)時(shí) : 12( 1 )0( ) ( ) [ ]Nn N nnH z h n z z?? ? ? ?????0 ( 1 ) ( / 2 1 ) ( / 2 2 )( ) ( 0 ) [ ] . . . ( 1 ) [ ]2N N NNH z h z z h z z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?結(jié)構(gòu)流圖如下所示： 當(dāng) ,且 N為奇數(shù)時(shí) : ( ) ( 1 )h n h N n? ? ?1 12 ( 1 ) ( 1 ) / 201( ) ( ) [ ] ( )2Nn N n NnNH z h n z z h z? ?? ? ? ? ? ???? ? ??0 ( 1 ) ( 2 )( 0) [ ] ( 1 ) [ ] ...N n Nh z z h z z? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 1( 1 ) ( 1 )2 2 211( 1 ) [ ] ( )22N N NNNh z z h z? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?結(jié)構(gòu)流圖如下所示： 167。 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 ?利用 模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì)。 ?計(jì)算機(jī)輔助的 最優(yōu)技術(shù)設(shè)計(jì)方法 。直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)，由于要解聯(lián)立方程，因此需要計(jì)算機(jī)輔助進(jìn)行設(shè)計(jì)。 本課程只討論第一種方法，實(shí)際上我們也將利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 首先根據(jù)實(shí)際要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器 ， 然后再將這個(gè)模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 。 轉(zhuǎn)換方法主要有兩種： ?沖激響應(yīng)不變法： 使數(shù)字濾波器的 h(n)近似于模擬濾波器的ha(t)，使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)與所參照的模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)的取樣值一樣，即 h(n)= ha(nT)， T為取樣周期。 ?雙線性變換法： 從頻域出發(fā)，使 數(shù)字濾波器 的頻率響應(yīng)與模擬濾波器 的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。 1. 沖激響應(yīng)不變法 設(shè)計(jì)步驟如下： 1) 假設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 具有 一階極點(diǎn) ，且分母的階數(shù)高于分子的階數(shù)。將 展開成部分分式 式中， 為 極點(diǎn) 。對(duì) 求反拉普拉斯變換，得 ? ? ?? ??Nk kka ssAsH1? ?sHa? ?sHaks ? ?sHa? ? ? ?tueAth Nktskak???1Ha(s)→ ha(t)→ ha(nT)→ h(n)→ H(z) 2) 使用沖激不變法求數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng) 令 ，代入上式得 Tnt ? ? ?zH? ? ? ? ? ?1kNs n Takkh n h n T A e u n T?? ? ??3) 求 h(n) 的 Z變換，得 ? ? ? ?0 0 111 0 1 1kkkNs n Tnnkn n kNNs n T n kk sTk n kH z h n z A e zAA e zez????? ? ????? ? ??????? ? ?? ? ?比較上面兩式，經(jīng)沖激響應(yīng)不變法變換之后， s 平面的 極點(diǎn) 變換成 z 平面的 極點(diǎn) ，而 和 系數(shù)相等，都為 。 kAksTske ? ?sHa? ?zH111( ) ( ( ) 1kNNkka sTkk kAAH s s H z zs s e z ???? ? ????? 平 面 ） （ 平 面 ） 如果模擬濾波器是 穩(wěn)定的 ，那么由沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。這是因?yàn)椋绻麡O點(diǎn) 都在 s 平面的 左半平面 ，即 那么 即變換后得到的 的極點(diǎn) 都在 單位圓內(nèi) 。 ks? ? 1??? ?? TTjTs kkk eee ??? ?zH Tske0k? ?當(dāng) 取樣率很高 ，即 T 很小時(shí)，數(shù)字濾波器有很高的增 益。但是人們常常不希望 增益 太高，為此，在取樣率高 時(shí)一般不直接用上面的變換式，而改為采用下面式子。 ? ? ? ? ??????????NkTsknnzeATznhzHk110 1沖激響應(yīng)不變法 Xa(j Ω) ^ ()aXj?X (ej ω) X (ej ω) 有混疊 無混疊 沖激響應(yīng)不變法——頻率混疊 具體來說，上式反映的是 Ha(s) 的 周期延拓 與 H(z) 的關(guān)系，而不是 Ha(s) 本身與 H(z)的關(guān)系。 ? ? ???????????? ??ra rTjsHTzH?21這正是沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生 混疊失真 的根本原因。 ? 實(shí)際上，由模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，就是要建立模擬系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)與數(shù)字系統(tǒng)函數(shù) H(z)之間的關(guān)系 沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 沖激響應(yīng)不變法是要從 s 平面 映射到 z 平面 ，如圖所示。這種映射不是簡(jiǎn)單的代數(shù)映射，而是 s 平面上每一條寬為 的 水平帶 重復(fù)地映射成整個(gè) z 平面。 T/2?ReIm平面z單位圓1??j平面sT?T?3T??T?3??映射規(guī)則的要點(diǎn) ? s平面上每一條寬為 2π/T的橫帶部分，將重疊映射到z平面的整個(gè)平面上。 ? 每一橫條的左半邊映射到 z平面單位 圓 內(nèi)，右半邊映射到 z平面 的 單位 圓 外。 ? s平面的虛軸 (j?軸 )映射到 z平面單位 圓 上，虛軸上每一段長(zhǎng)為