【文章內(nèi)容簡介】 NnH a n nN??? ? ????? ???? ? ???( ) 0H ? ? ?對 ， ， 2 呈 偶 對 稱 ；① ② 相位特性是嚴格線性的。 （ 2）當 N為偶數(shù)時： 1122( 1 )00( ) ( ) ( )NNn N nnnH z h n z h n z??? ? ? ???????12( 1 )0( ) [ ]Nn N nnh n z z?? ? ? ?????jwze?令 ， 則系統(tǒng)的頻率響應為： 12( 1 )0( ) ( ) [ ]Nj j n j N nnH e h n e e? ? ??? ? ? ?????12( 1 ) / 201{ 2 ( ) c o s [ ( ) ] }2NjNnNe h n n? ???????? ? ( ) 2 ( ) 1 2 . . .22NNb n h n n? ? ?令 ， ， ， ， ， 則 上 式 可 寫 為 ：2( 1 ) / 211( ) { ( ) c o s [ ( ) ] }2Nj j NnH e e b n n?? ?????? ?所以系統(tǒng)的幅度響應和相位響應為： 211( ) ( ) c o s[ ( ) ]2( ) ( 1 ) / 2NnH b n nN??? ? ???? ????? ? ???② ③ 相位特性是嚴格線性的。 ① 幅度函數(shù) 是一個標量函數(shù)，可以包括正值和負值； ()H?()H ??對 呈 奇 對 稱 ；當 h(n)為奇對稱 h(n)=h(N1n) (3) N為奇數(shù) 32( 1 )0( ) ( )Nn N nnH z h n z z?? ? ? ?????? ???11 2()221( ) ( ) sin( )NNjjnH e e c n n?????????????? ???????11( ) 2 [ ] , 1 , 2 , . . . . ,22NNc n h n n??? ? ?? 幅度響應 ? 相位響應 121( ) ( ) si n( )NnH c n n????? ?( ) ( 1 ) 2 2N? ? ? ?? ? ? ?(4) N為偶數(shù) 12( 1 )0( ) ( ) ( )Nn N nnH z h n z z?? ? ? ?????1 2()2211( ) ( ) sin ( )2NNjjnH e e d n n??????????? ?????? ???????( ) 2 ( 1 ) , 1 , 2 , .. .. ,22NNd n h n? ? ?? 幅度響應 ? 相位響應 21( ) ( ) si n( )NnH d n m???? ?( ) ( 1 ) 2 2N? ? ? ?? ? ? ? FIR DF系統(tǒng)函數(shù)的零點分布； 零點分布：兩組共軛對， **11zzzz， ， ， ；因為： 1100( ) ( ) ( 1 )NNnnnnH z h n z h N n z??????? ? ? ???1 ( 1 )0()N Nmmh m z? ? ? ??? ?1( 1 )0()NNmmz h m z????? ?所以： ( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ?? ，1z即 ： 當 z 為 零 點 時 ， 也 為 零 點 。 當 h(n)為實序列時，有： 11* * *00( ) ( ) ( ) [ ( ) ] * ( )NN nnnnH z h n z h n z H z?? ????? ? ???即：當 z為零點時， z* 也為零點。 ? 若 H(z)的零點 zk既不在實軸上，又不在單位圓上，在 zk必是 4個互為倒數(shù) 的兩組共軛對；如： z1/z z1* 、 1/ z1*。 ? 如果零點在 單位圓 上，則零點以 共軛對 出現(xiàn)； ? 如果零點在 實軸 上，則零點 互為倒數(shù) 出現(xiàn)； ? 如果零點既在 單位圓 上，又在 實軸 上，則零點為 1和 1。 例 已知線性相位 FIR濾波器的單位取樣響應 為實序列， 為 的一個零點，求 的其它零點？ 1122zj? ? ?()Hz()hn()Hz解：若濾波器的單位取樣響應為實序列 1122zj? ? ?當 為其零點時， 11 122z j j j? ? ? ? ?， ， 1則 也為零點。 FIR DF系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)特點 系統(tǒng)函數(shù)多項式的系數(shù)是鏡像對稱的 ,如一個四階系統(tǒng) 的形式是： ()Hz 1 2 3 4a bz c z bz az? ? ? ?? ? ? ? 例 已知線性相位 FIR濾波器的單位取樣響應為： ( ) 2 ( ) 4 ( 1 ) ( 2) ( 3 )h n n n a n b n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則 的值分別為多少 ？ ,ab 解：線性相位 FIR濾波器的單位取樣響應的系數(shù)具有奇對稱或偶對稱的性質(zhì)，即： a=4,b=2 或 a=4,b= 2 FIR DF的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) ( ) ( 1 )h n h N n? ? ?當 ,且 N為偶數(shù)時 : 12( 1 )0( ) ( ) [ ]Nn N nnH z h n z z?? ? ? ?????0 ( 1 ) ( / 2 1 ) ( / 2 2 )( ) ( 0 ) [ ] . . . ( 1 ) [ ]2N N NNH z h z z h z z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?結(jié)構(gòu)流圖如下所示： 當 ,且 N為奇數(shù)時 : ( ) ( 1 )h n h N n? ? ?1 12 ( 1 ) ( 1 ) / 201( ) ( ) [ ] ( )2Nn N n NnNH z h n z z h z? ?? ? ? ? ? ???? ? ??0 ( 1 ) ( 2 )( 0) [ ] ( 1 ) [ ] ...N n Nh z z h z z? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 1( 1 ) ( 1 )2 2 211( 1 ) [ ] ( )22N N NNNh z z h z? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?結(jié)構(gòu)流圖如下所示： 167。 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 ?利用 模擬濾波器的理論來設(shè)計。 ?計算機輔助的 最優(yōu)技術(shù)設(shè)計方法 。直接在頻域或者時域中進行設(shè)計，由于要解聯(lián)立方程，因此需要計算機輔助進行設(shè)計。 本課程只討論第一種方法，實際上我們也將利用計算機進行輔助設(shè)計。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 首先根據(jù)實際要求設(shè)計一個模擬濾波器 ， 然后再將這個模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 。 轉(zhuǎn)換方法主要有兩種： ?沖激響應不變法： 使數(shù)字濾波器的 h(n)近似于模擬濾波器的ha(t)，使數(shù)字濾波器的單位取樣響應與所參照的模擬濾波器的單位沖激響應的取樣值一樣，即 h(n)= ha(nT)， T為取樣周期。 ?雙線性變換法： 從頻域出發(fā)，使 數(shù)字濾波器 的頻率響應與模擬濾波器 的頻率響應相似的一種變換法。 1. 沖激響應不變法 設(shè)計步驟如下： 1) 假設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 具有 一階極點 ，且分母的階數(shù)高于分子的階數(shù)。將 展開成部分分式 式中， 為 極點 。對 求反拉普拉斯變換，得 ? ? ?? ??Nk kka ssAsH1? ?sHa? ?sHaks ? ?sHa? ? ? ?tueAth Nktskak???1Ha(s)→ ha(t)→ ha(nT)→ h(n)→ H(z) 2) 使用沖激不變法求數(shù)字濾波器的單位取樣響應 令 ，代入上式得 Tnt ? ? ?zH? ? ? ? ? ?1kNs n Takkh n h n T A e u n T?? ? ??3) 求 h(n) 的 Z變換，得 ? ? ? ?0 0 111 0 1 1kkkNs n Tnnkn n kNNs n T n kk sTk n kH z h n z A e zAA e zez????? ? ????? ? ??????? ? ?? ? ?比較上面兩式，經(jīng)沖激響應不變法變換之后， s 平面的 極點 變換成 z 平面的 極點 ，而 和 系數(shù)相等，都為 。 kAksTske ? ?sHa? ?zH111( ) ( ( ) 1kNNkka sTkk kAAH s s H z zs s e z ???? ? ????? 平 面 ） （ 平 面 ） 如果模擬濾波器是 穩(wěn)定的 ，那么由沖激響應不變法設(shè)計得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。這是因為，如果極點 都在 s 平面的 左半平面 ，即 那么 即變換后得到的 的極點 都在 單位圓內(nèi) 。 ks? ? 1??? ?? TTjTs kkk eee ??? ?zH Tske0k? ?當 取樣率很高 ，即 T 很小時，數(shù)字濾波器有很高的增 益。但是人們常常不希望 增益 太高，為此，在取樣率高 時一般不直接用上面的變換式，而改為采用下面式子。 ? ? ? ? ??????????NkTsknnzeATznhzHk110 1沖激響應不變法 Xa(j Ω) ^ ()aXj?X (ej ω) X (ej ω) 有混疊 無混疊 沖激響應不變法——頻率混疊 具體來說，上式反映的是 Ha(s) 的 周期延拓 與 H(z) 的關(guān)系，而不是 Ha(s) 本身與 H(z)的關(guān)系。 ? ? ???????????? ??ra rTjsHTzH?21這正是沖激響應不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器的頻率響應產(chǎn)生 混疊失真 的根本原因。 ? 實際上，由模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，就是要建立模擬系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)與數(shù)字系統(tǒng)函數(shù) H(z)之間的關(guān)系 沖激響應不變法的映射關(guān)系 沖激響應不變法是要從 s 平面 映射到 z 平面 ，如圖所示。這種映射不是簡單的代數(shù)映射，而是 s 平面上每一條寬為 的 水平帶 重復地映射成整個 z 平面。 T/2?ReIm平面z單位圓1??j平面sT?T?3T??T?3??映射規(guī)則的要點 ? s平面上每一條寬為 2π/T的橫帶部分，將重疊映射到z平面的整個平面上。 ? 每一橫條的左半邊映射到 z平面單位 圓 內(nèi)，右半邊映射到 z平面 的 單位 圓 外。 ? s平面的虛軸 (j?軸 )映射到 z平面單位 圓 上，虛軸上每一段長為