【文章內(nèi)容簡介】 控制一對零點(diǎn)，因而在需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)可以采用這種結(jié)構(gòu)。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 原理 數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng) (IIR)濾波器和有限長沖激響應(yīng) (FIR)濾 波器。 IIR 濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)，因而有時(shí)也稱之為遞歸濾波器。 FIR 濾波器的沖激響應(yīng)只能延續(xù)一定時(shí)間，在工程實(shí)際中可以采用遞歸的方式實(shí)現(xiàn)，也可以采用非遞歸的方式實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、插值逼近法和 Chebyshev 逼近法等等。隨著 MATLAB 軟件尤其是 MATLAB 的信號處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)有了可能，而且還可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化。 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本步驟如下： (1)確定指標(biāo) 在設(shè)計(jì) 一個(gè)濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在很多實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來實(shí)現(xiàn)選頻操作。因此，指標(biāo)的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應(yīng)。幅度指標(biāo)主要以兩種方式給出。第一種是絕對指標(biāo)。它提供對幅度響應(yīng)函數(shù)的要求，一般應(yīng)用于 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)。第二種指標(biāo)是相對指標(biāo)。它以分貝值的形式給出要求。在工程實(shí)際中， 這種指標(biāo)最受歡迎。對于相位響應(yīng)指標(biāo)形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具 有線性相位。運(yùn)用線性相位響應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)具有如下優(yōu)點(diǎn)： ① 只包含實(shí)數(shù)算法，不涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算； ② 不存在延遲失真，只有固 定數(shù)量的延遲 ； ③ 長度為 N的濾波器 (階數(shù)為 N1)，計(jì)算量為 N/2 數(shù)量級。因此，本文中濾波器的設(shè)計(jì)就以線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)為例。 (2)逼近 確定了技術(shù)指標(biāo)后，就可以建立一個(gè)目標(biāo)的數(shù)字濾波器模型。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。之后，利用數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)出一個(gè)實(shí)際濾波器模型來逼近給定的目標(biāo)。 (3)性能分析和計(jì)算機(jī)仿真 上兩步的結(jié)果是得到以差分或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應(yīng)描述的濾波器。根據(jù)這個(gè)描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求；或者利用計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的濾波器，再分析濾 波結(jié)果來判斷。 濾波器的性能指標(biāo) 我 們在進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。一般來說，濾波器的性能要求往往 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 9 以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個(gè)范圍。 在通帶內(nèi)： 1 AP≤| H(ejω)| ≤1 |ω|≤ωc 在阻帶中： |H(ejω)| ≤ Ast ωst ≤|ω|≤ωc 其中 ωc 為通帶截止頻率 , ωst 為阻帶截止頻率， Ap 為通帶誤差 , Ast 為阻帶誤差。 與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按 頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為 2π。各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng)如圖所示 ： 圖 2 各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng) IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 目前， IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器 的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來很大方便， IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟是： (1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)； (2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 H(s)； (3)在按一定規(guī)則將 H(s)轉(zhuǎn)換為 H(z)。 若所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設(shè)計(jì)工作可以結(jié)束，若所設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟： (4)將高通、帶通或者 帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟 (2)設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器 H(s)，再 由沖擊響應(yīng)不變法或雙線性變換 將 H(s)轉(zhuǎn)圖 2 低通濾波器頻率響應(yīng)幅度 特性的容限圖 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 10 換為所需的 H(z)。 s z 映射的方法有 ： 沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等 。 下面討論雙線性變換法。 雙線性變換法 [8]是指首先把 s 平面壓縮變換到某一中介平面 s1 的一條橫帶 (寬度為 2π T,即從 π T 到π T) ,然后再利用 Tsez 1? 的關(guān)系把 s1 平面上的這條橫帶變換到整個(gè) z 平面。這樣 s 平面與 z 平面是一一 對應(yīng)關(guān)系 , 消除了多值變換性 , 也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 s 平面到 z 平面的變換可采用 )2tan( 1T??? (25) 22221111TjTjTjTjeeeej?????????? (26) 令 sj ?? ， 11 sj ?? 有 ： TsTsTsTsTsTseeeeees111111112222?????????? (27) 從 s1 平面到 z 平面的變換 ,即 Tsez 1? (28) 代入上式 ， 得到 ： 1111????? zzs (29) 一般來說 ， 為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系 ， 可引入代定常數(shù) c， )2tan( 1Tc ??? (210) 則 1111 zscz???? ? (211) 這種 s 平面與 z 平面間的單值映射關(guān)系就是雙線性變換 。 有了雙線性變換 ， 模擬濾波器的數(shù)字化只須 用 進(jìn)行置換 。 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 IIR 濾波器 [7]的優(yōu)點(diǎn)是可利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，缺點(diǎn)是相位是非線性的，若需要線性相位，則要用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行校正 。 FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可方便地實(shí)現(xiàn)線性相位。 FIR 濾波器 單位沖激響應(yīng) h(n)的特點(diǎn) ： 其 單位沖激響 應(yīng) h(n)是有限長 ( ),系統(tǒng)函數(shù)為： 10( ) ( )N nnH z h n z? ???? (212) 在有限 Z 平面有 (N1)個(gè)零點(diǎn)，而它的 (N1)個(gè)極點(diǎn)均位于原點(diǎn) z=0 處。 Fir濾波器 線性相位的 特點(diǎn)： 如果 FIR 濾波器的單位抽樣響應(yīng) h(n)為實(shí)數(shù)， 而且滿足以下任一條件： 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 11 偶對稱 h(n)＝ h(N1n) 奇對稱 h(n)＝ h(N1n) 其對稱中心在 n＝ (N1)/2 處，則濾波器具有準(zhǔn)確的線性相位。 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法： 一般是先給定所要求的理想濾波器頻率響應(yīng) ()jdHe? ，由 ()jdHe? 導(dǎo)出 ()dhn，我們知道理想濾波器的沖擊響應(yīng) ()dhn是無限長的非因果序列，而我們要 設(shè)計(jì)的是 ()dhn是有限長的 FIR 濾波器，所以要用有限長序列 ()dhn來逼近無限長序列 ()dhn，設(shè)： 1( ) ( )2 jjddh n H e e d? ??? ?? ?? ? (213) 常用的方法是用有限長度的窗函數(shù) w(n)來截取 即： ( ) ( ) ( )dh n n h n?? (214) 這里窗函數(shù)就是矩形序列 RN(n),加窗以后對理想低通濾波器的頻率響應(yīng)將產(chǎn)生什么樣的影響呢 ?根據(jù)在時(shí)域是相乘關(guān)系 ,在頻域則是卷積關(guān)系 ： ()1( ) ( ) [ ]2j j jdRH e H e W e d?? ? ? ?? ?? ? ??? ? (215) 其中 , 為矩形窗譜 , ()jHe? 是 FIR 濾波器頻率響應(yīng) . 通過頻域卷積過程看 的幅度函數(shù) H(ω )的起伏現(xiàn)象 ,可知 ,加窗處理后，對 理想矩形的頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響： (1)使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個(gè)過渡帶，其寬度等于窗的頻率響應(yīng)的主瓣寬度。 (2)在截止頻率的兩邊的地方即過渡帶的兩邊，出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。 (3)改變 N，只能改變窗譜的主瓣寬度，改變 ω 的坐標(biāo)比例以及改變的絕對值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例 (此比例由窗函數(shù)的形狀決定 )。 (4)對窗函數(shù)的要求 a、窗譜主瓣盡可能窄，以獲取較陡的過渡帶； b、盡量減小窗譜的 最大旁瓣的相對幅度；即能量集中于主瓣，使肩峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。 頻率采樣法： 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)，把理想的 hd(n)用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的h(n)，來近似理想的 hd(n)，這樣得到的頻率響應(yīng) 逼近于所要求的理想的頻率響應(yīng)。 頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng) 加以等間隔抽樣得到 ，然后以此 作為實(shí)際 FIR 濾波器的頻率特性 的抽樣值 H(k)，即 2( ) ( ) |jwddH k H e kN???? (216) 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 12 知道 H(k)后，由 DFT 定義可唯一確定有限長序列 h(n)，利用這 N 個(gè)頻域抽樣值H(k)同樣利用頻率內(nèi)插公式可得 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)，及頻率響應(yīng) ，即： 頻率抽樣法內(nèi)插公式： 1101 ( )() 1N Nkk Nz H kHz N W z? ?????? ?? (217) 頻率抽樣法小結(jié) 優(yōu)點(diǎn)：可以在頻域直接設(shè)計(jì)，并且適合于最優(yōu)化設(shè)計(jì)。 缺點(diǎn)：抽樣頻率只能等于 2π/N 的整數(shù)倍，或等于 2π/N 的整數(shù)倍加上 π/N。因而不能確保截止頻率 的自由取值，要想實(shí)現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加抽樣點(diǎn)數(shù)N，但這又使計(jì)算量增大。 為了提高逼近質(zhì)量，減少通帶邊緣由于抽樣點(diǎn)的陡然變化而引起的起伏振蕩。有目的地在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)的邊緣，加上一些過渡的抽樣點(diǎn)，增加過渡帶，減少起伏振蕩。 IIR 濾波器與 FIR 濾波器的分析 比較 前面已經(jīng)介紹了 IIR 和 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，選擇哪一種濾波器取決于每種類型濾波器的優(yōu)點(diǎn)在設(shè)計(jì)中的重要性。為了能在實(shí)際工作中恰當(dāng)?shù)剡x用合適的濾波器，現(xiàn)將兩種濾波器特點(diǎn)比較分析 []如下： (1) 選擇數(shù)字濾波器 是必須考慮經(jīng)濟(jì)問題，通常將硬件的復(fù)雜性、芯片的面積或計(jì)算速度等作為衡量經(jīng)濟(jì)問題的因素。在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，由于 IIR 數(shù)字濾波器存在輸出對輸入的反饋，因此可以用較少的階數(shù)來滿足要求，所用的存儲單元少，運(yùn)算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)。例如，用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)阻帶衰減為 20dB 的 FIR 數(shù)字濾波器，要 33 階才能達(dá)到要求，而用雙線性變換法只需 4～ 5 階的切比雪夫 IIR 濾波器就可達(dá)到同樣的技術(shù)指標(biāo)。這就是說 FIR 濾波器的階數(shù)要高 5～ 10 倍左右。 (2) 在很多情況下 ,FIR 數(shù)字濾波器的線性相位與它的高階數(shù)帶來的額外成本相比是非常值得的。對于 IIR 濾波器，選擇性越好，其相位的非線性越嚴(yán)重。如果要使 IIR 濾波器獲得線性相位，又滿足幅度濾波器的技術(shù)要求，必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，這同樣將大大增加濾波器的階數(shù)。就這一點(diǎn)來看， FIR 濾波器優(yōu)于 IIR 濾波器。 (3) FIR 濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，因而無論是理論上還是實(shí)際的有限精度運(yùn)算中他都是穩(wěn)定的，有限精度運(yùn)算誤差也較小。 IIR 濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)必須在 z平面單位圓內(nèi)才能穩(wěn)定。對于這種結(jié)構(gòu)，運(yùn)算中的舍入處理有時(shí)會引起寄生振蕩。 (4) 對于 FIR 濾波器，由于沖激響應(yīng)是有限長的 ，因此可以用快速傅里葉變換算法，這樣運(yùn)算速度可以快得多。 IIR 濾波器不能進(jìn)行這樣的運(yùn)算。 (5) 從設(shè)計(jì)上看， IIR 濾波器可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的現(xiàn)成的閉合公式、數(shù)據(jù)和表格，可以用完整的設(shè)計(jì)公式來設(shè)計(jì)各種選頻濾波器。一旦選定了已知的一種逼近方法 (如巴特奧茲，切比雪夫等 )，就可以直接把技術(shù)指標(biāo)帶入一組設(shè)計(jì)方程計(jì)算出濾波器的階次和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù) (或極點(diǎn)和零點(diǎn) )。 FIR 濾波器則一般沒有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式。窗函數(shù)法只 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 13 給出了窗函數(shù)的計(jì)算公式，但計(jì)算