【文章內(nèi)容簡介】 組設計方程計算出濾波器的階次和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)(或極點和零點)。FIR濾波器則一般沒有現(xiàn)成的設計公式。窗函數(shù)法只給出了窗函數(shù)的計算公式，但計算通帶和阻帶衰減仍無顯式表達式。一般FIR濾波器設計僅有計算機程序可資利用，因而要借助于計算機。(6) IIR濾波器主要是設計規(guī)格化、頻率特性為分段常數(shù)的標準低通、高通、帶通和帶阻濾波器。FIR濾波器則靈活很多，例如頻率抽樣法可適應各種幅度特性和相位特性的要求。因此FIR濾波器可設計出理想正交變換器、理想微分器、線性調(diào)頻器等各種網(wǎng)絡，適應性很廣。而且，目前已經(jīng)有很多FIR濾波器的計算機程序可供使用。表2 兩種濾波器特點比較分析FIR濾波器IIR濾波器設計方法一般無解析的設計公式，要借助計算機程序完成利用AF的成果，可簡單、有效地完成設計設計結果可得到幅頻特性(可以多帶)和線性相位(最大優(yōu)點)只能得到幅頻特性，相頻特性未知，如需要線性相位，須用全通網(wǎng)絡校準，但增加濾波器階數(shù)和復雜性穩(wěn)定性極點全部在原點(永遠穩(wěn)定)無穩(wěn)定性問題有穩(wěn)定性問題階數(shù)高低結構非遞歸系統(tǒng)遞歸系統(tǒng)運算誤差一般無反饋，運算誤差小有反饋，由于運算中的四舍五入會產(chǎn)生極限環(huán) 本章小節(jié)本章主要介紹了IIR濾波器和FIR濾波器的性能指標、設計方法和各自的特點及優(yōu)勢。分析本次要討論的問題，根據(jù)需要，從技術指標上來看兩種均可實現(xiàn)；從實現(xiàn)設計方法來看，IIR較為合適；從完成設計所用的硬件成本來看，IIR更為適宜。因此，決定采用IIR算法來進行設計。第3章 數(shù)字濾波器的算法設計及仿真 由模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器在之前的部分中已經(jīng)說明，理想的濾波器是非因果的，即物理上不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。工程上常用的模擬濾波器都不是理想的濾波器。但按一定規(guī)則構成的實際濾波器的幅頻特性可逼近理想濾波器的幅頻特性，例如巴特奧茲(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)濾波器和橢圓濾波器等。 巴特奧茲濾波器巴特沃茲濾波器[9](Butterworth 濾波器)特點：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f↗，幅頻特性單調(diào)↘。其幅度平方函數(shù)： (31)N為濾波器階數(shù)，如圖31圖3 巴特沃斯濾波器振幅平方特性通帶： 使信號通過的頻帶阻帶：抑制噪聲通過的頻帶過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍 Ωc ：截止頻率。 過渡帶為零理想濾波器 阻帶|H(jΩ )|=0 通帶內(nèi)幅度|H(jΩ)|=cons. H(jΩ)的相位是線性的圖31中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。通帶內(nèi)，分母Ω/Ωc1, ( Ω/Ωc)2N1，A(Ω2)→1。過渡帶和阻帶，Ω/Ωc1， ( Ω/Ωc)2N1, Ω增加， A(Ω2)快速減小。Ω=Ωc, ,幅度衰減，相當于3db衰減點。振幅平方函數(shù)的極點 (32) 可見，Butter worth濾波器 的振幅平方函數(shù)有2N個極點，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=Ωc的圓周上?？紤]到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(SP3，SP4，SP5)組成的，它們分別為： (33)系統(tǒng)函數(shù)為： (34)令 ，得歸一化的三階BF： (35)如果要還原的話，則有 (36) 切比雪夫濾波器巴特奧茲低通濾波器的幅頻特性隨Ω的增加而單調(diào)下降，當N較小時，阻帶幅頻特性下降較慢，要想使其幅頻特性接近理想低通濾波器，就必須增加濾波器的階數(shù)，這就將導致模擬濾波器使用的原件增多，線路趨于復雜。切比雪夫濾波器[10]的阻帶衰減特性則有所改善。特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率 Ωc處，幅度下降很多，或者說，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次(N)很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的 。 切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小?？筛鶕?jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量(波動范圍)提出要求，如要求波動范圍小于1db。 振幅平方函數(shù)為 (37)式中 —有效通帶截止頻率—與通帶波紋有關的參量,大,波紋大,0 1。Vn(x)—N階切比雪夫多項式，定義為 (38) (39)如圖31,通帶內(nèi) ,，變化范圍1 Ω＞Ωc ，隨Ω/Ωc ↗，→0(迅速趨于零)當 Ω =0時， (310)N為偶數(shù)，,(min) ， (311)N為奇數(shù)，,(max)， (312)圖3切比雪夫濾波器的振幅平方特性有關參數(shù)的確定：a. 通帶截止頻率 ，預先給定b. 由通帶波紋表為 (313) (314)給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求。 (315)c. 階數(shù)N—由阻帶的邊界條件確定。(,A事先給定) (316) (317) (318) (319)得 (320) 橢圓濾波器 特點：幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器為窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器[11]是最優(yōu)的，其振幅平方函數(shù)為 (321) 式中，RN(Ω，L)為雅可比橢圓函數(shù)，L是一個表示波紋性質(zhì)的參量。 圖3 N=5時 的特性曲線 由圖可見，在歸一化通帶內(nèi)(1≤Ω≤1)，在(0,1)間振蕩，而超過ΩL后，在L2， ∞間振蕩。L越大，ΩL也變大。這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)： 圖3 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù) 圖中ε和A的定義與切比雪夫濾波器相同。 當Ωc、Ωs、ε和A確定后，階次N的確定方法為 ： 確定參數(shù)確定參量N=式中K(k)= 為第一類完全橢圓積分。 用matlab設計數(shù)字濾波器傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器的設計過程復雜，計算工作量大，濾波特性調(diào)整困難，影響了它的應用。利用MATLAB信號處理工具箱(Signal Processing Toolbox)[1214]可以快速有效的設計由軟件組成的常規(guī)數(shù)字濾波器的設計方法。給出了使用MATLAB語言進行程序設計和利用信號處理工具箱的FDATool工具進行界面設計的詳細步驟。利用MATLAB設計濾波器，可以隨時對比設計要求和濾波器特性調(diào)整參數(shù)，直觀簡便，極大的減輕了工作量，有利于濾波器設計的最優(yōu)化。 FDATool界面FDATool(Filter Design amp。 Analysis Tool)是MATLAB信號處理工具箱里專用的濾波器設計分析工具，(Filter Design Toolbox)。FDATool可以設計幾乎所有的基本的常規(guī)濾波器，包括FIR和IIR的各種設計方法。它操作簡單，方便靈活。FDATool界面總共分兩大部分，一部分是Design Filter，在界面的下半部，用來設置濾波器的設計參數(shù)，另一部分則是特性區(qū)，在界面的上半部分，用來顯示濾波器的各種特性。Design Filter部分主要分為：Filter Type(濾波器類型)選項，包括Lowpass(低通)、Highpass(高通)、Bandpass(帶通)、Bandstop(帶阻)和特殊的FIR濾波器。Design Method(設計方法)選項，包括IIR濾波器的Butterworth(巴特沃思)法、Chebyshev Type I(切比雪夫I型)法、 Chebyshev Type II(切比雪夫II型) 法、Elliptic(橢圓濾波器)法和FIR濾波器的Equiripple法、LeastSquares(最小乘方)法、Window(窗函數(shù))法。Filter Order(濾波器階數(shù))選項，定義濾波器的階數(shù)，包括Specify Order(指定階數(shù))和Minimum Order(最小階數(shù))。在Specify Order中填入所要設計的濾波器的階數(shù)(N階濾波器，Specify Order＝N1)，如果選擇Minimum Order則MATLAB根據(jù)所選擇的濾波器類型自動使用最小階數(shù)。Frenquency Specifications選項，可以詳細定義頻帶的各參數(shù)，包括采樣頻率Fs和頻帶的截止頻率。它的具體選項由Filter Type選項和Design Method選項決定，例如Bandpass(帶通)濾波器需要定義Fstop1(下阻帶截止頻率)、Fpass1(通帶下限截止頻率)、Fpass2(通帶上限截止頻率)、Fstop2(上阻帶截止頻率)，而Lowpass(低通)濾波器只需要定義FstopFpass1。采用窗函數(shù)設計濾波器時，由于過渡帶是由窗函數(shù)的類型和階數(shù)所決定的，所以只需要定義通帶截止頻率，而不必定義阻帶參數(shù)。Magnitude Specifications選項，可以定義幅值衰減的情況。例如設計帶通濾波器時，可以定義Wstop1(頻率Fstop1處的幅值衰減)、Wpass(通帶范圍內(nèi)的幅值衰減)、Wstop2(頻率Fstop2處的幅值衰減)。當采用窗函數(shù)設計時，通帶截止頻率處的幅值衰減固定為6db，所以不必定義。Window Specifications選項，當選取采用窗函數(shù)設計時，該選項可定義，它包含了各種窗函數(shù)，在通帶內(nèi)的衰減為6dB。 圖3 FDATool的操作頁面通過菜單選項Analysis可以在特性區(qū)看到所設計濾波器的幅頻響應、相頻響應、零極點配置和濾波器系數(shù)等各種特性。設計完成后將結果保存為*.fda文件。在設計過程中，可以對比濾波器幅頻相頻特性和設計要求，隨時調(diào)整參數(shù)和濾波器類型，以便得到最佳效果。其它類型的FIR濾波器和IIR濾波器也都可以使用FDATool來設計。 用Fdatool進行帶通濾波器設計給定的數(shù)字帶通濾波器的參數(shù)是：通帶為45Hz ~ 55Hz，低截止頻率為40Hz，高截止頻率為60Hz，通帶內(nèi)衰減不大于3db，阻帶衰減大于80db。借助Matlab仿真，可以得到設計成不同類型的濾波器所需的階數(shù)：表3采用不同類型濾波器實現(xiàn)所需的階數(shù)濾波器類型最低階數(shù)穩(wěn)定性FIR濾波器Kaiser窗函數(shù)201穩(wěn)定Blackman窗函數(shù)180穩(wěn)定Equirpple86穩(wěn)定IIR濾波器Butterworth濾波器26穩(wěn)定ChebishevⅡ濾波器16穩(wěn)定橢圓濾波器12穩(wěn)定 可見，F(xiàn)IR濾波器階數(shù)過高，導致的直接結果是消耗的資源較多，成本增加。因此采用IIR濾波器實現(xiàn)比較合適。而在IIR濾波器中，橢圓濾波器的階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。根據(jù)傳遞函數(shù)的形式，巴特沃思和切比雪夫濾波器的傳遞函數(shù)都是一個常數(shù)除以一個多項式，為全極點網(wǎng)絡，僅在無限大阻帶處衰減為無限大，而橢圓函數(shù)濾波器在有限頻率上既有零點又有極點，極零點在通帶內(nèi)產(chǎn)生等波紋，阻帶內(nèi)的有限傳輸零點減小了過渡區(qū)，可獲得極為陡峭的衰減特性曲線。綜上考慮，采用橢圓函數(shù)濾波器最為適宜。用以下matlab程序[15]可得到滿足給定條件的12階橢圓濾波器的直接型表示：fs=200。wp=[45 55]*2/fs。ws=[40 60]*2/fs。 ――把截止頻率轉成弧度表示rp=3。rs=80。Nn=512。[n,wn]=ellipord(wp,ws,rp,rs)。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn)。freqz(b,a,Nn,fs)。[z,p,k]=ellip(n,rp,rs,wn)。zplane(z,p)。 圖312階橢圓濾波器的幅頻相應和相頻響應 圖312階橢圓濾波器的零極圖圖36說明12階橢圓濾波器很好的滿足了給定的阻帶和通帶的衰減。圖37說明極點全在單位園內(nèi)部，因而該橢圓濾波器是穩(wěn)定的。a,b分別為分母與分子的系數(shù)，即得到的直接型表示為 (＝1) (322) 將系統(tǒng)函數(shù)由直接型化成級聯(lián)型由于直接型具有一些共同缺點[16]：(1)系數(shù)對濾波器的性能控制作用不明顯。(2)極點對系數(shù)的變化過于靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差。(3)運算的累計誤差較大。并且在這個設計中，直接型表示時系數(shù)和的最大值與最小值相差9倍，考慮到在乘法器上實現(xiàn)時引入的截斷誤差很大，因此決定采用6個二階節(jié)級聯(lián)來實現(xiàn)。 二階節(jié)系數(shù)的確定用matlab函數(shù)把直接型系數(shù)化成級聯(lián)型二階節(jié)的系數(shù)：G＝數(shù)組SOS的每行表示一個二階節(jié)的系數(shù)，第1～3列分別是分子上、的系數(shù)，第4～6列分別是分母上、的系數(shù)。分配給各二階節(jié)的增益分別為：，，。xg11b1b2ya1a2圖3 二階節(jié)結構方框圖 系數(shù)轉換成二進制碼若采用24位乘法器，用1位整數(shù)位，1位符號位，共22位定點二進制數(shù)進行運算，負數(shù)用補碼表示，由此將減法運算變成累加求和運算[17]。各系數(shù)可用matlab編程[18]轉成二進制補碼，轉換結果如表：表3 各系數(shù)轉成二進制的結果十進制數(shù)定點24