【文章內(nèi)容簡介】 kmkk????????? （ 31） （ 2） FIR 濾波器 FIR濾波器的系統(tǒng)只有零點，因此這一類系統(tǒng)不與 IIR系統(tǒng)那樣容易取得比較好的通帶與阻帶衰減特性。要取得好的衰減特性，一般要求系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)截取的長度要長。 FIR濾波器和 IIR濾波器 第 5 頁 共 27 頁 相比，具有一些明顯的優(yōu)點：首先， FIR系統(tǒng)總是穩(wěn)定的；其次， FIR 系統(tǒng)容易 實現(xiàn)線性相位；最后，F(xiàn)IR系統(tǒng)允許設(shè)計多通帶（或多阻帶）濾波器。后兩項都是 IIR系統(tǒng)不易實現(xiàn)的 [9]。 FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： kmkzkhzH ????0][)( （ 32） 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟大致可以分為三步 : （ 1）依照設(shè)計要求，先了解所要設(shè)計的濾波器的性能，例如是低通、高通、帶通還是帶阻，截止頻率是多少，阻帶的衰減有多大，同帶的波動范圍是多少等； （ 2）尋找一個滿足預(yù)定性能要求的離散線性非時變系統(tǒng)，用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個 性能要求。此系統(tǒng)函數(shù)分兩類，即 FIR系統(tǒng)函數(shù)與 IIR系統(tǒng)函數(shù)； （ 3）用一個有限精度的的運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。包括算法結(jié)構(gòu)，如級聯(lián)型、并聯(lián)型、橫截型、頻率采樣型等，還包括選擇合適的字長以及選擇有效的數(shù)字處理方法等 [10]。 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計原理 一個截止頻率為ω c(rad/s)的理想數(shù)字低通濾波器，其傳遞函數(shù)表達(dá)式是 : ???? ?0)( ??? jjd eeH ???? ww wwcc （ 33） 相應(yīng)的單位取樣響應(yīng) hd(n)為 : Hd(n)= ?? ?? ?? ??????????? dedeeHccnjnjjd 2 1)(2 1 nnc?? )sin( （ 34） 由式 33和 34可以看出，這個濾波器在物理上是不可實現(xiàn)的，因為沖激響應(yīng)具有無限性和因果性。為了產(chǎn)生有限長度的沖激響應(yīng)函數(shù)，我們?nèi)禹憫?yīng)為 h(n)，長度為 N，其系數(shù)函數(shù)為 H(z)： nnn znhzH?????10 )()( （ 35 ） 用 h(n)表示截取 hd(n)后沖激響應(yīng) , 即 :式子中 W(n)為窗函數(shù)，長度 為 N。當(dāng)τ =(N1)/2時，截取的一段 h(n)對 (N1)/2對稱，可保證所設(shè)計的濾波器具有線性相位。 一般來說， FIR數(shù)字濾波器輸出 y(n)的 Z變換形式 Y(z)與輸入 x(n)的 Z變換形式之間的關(guān)系如下 : )())()1()0(()()()( 1 zXznhzhhzXzHZY n?? ????? ? （ 36） 第 6 頁 共 27 頁 實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖 31所示。 圖 31 從上面的 Z變換和結(jié)構(gòu)圖可以很容易得出 FIR濾波器的差分方程表示形式。對式 36進(jìn)行反 Z變換，可得 : )1()()1()2()()1()( xnhnxhnxhnY ???????? （ 37） 式 37 為 FIR 數(shù)字濾波器的時域表示方法，其中 x(n)是在時間 n 的濾波器的輸入抽樣值。根據(jù)式 37即可對濾波器進(jìn)行設(shè)計 [10]。 窗函數(shù)法 ①設(shè)計思想：從時域出發(fā)，設(shè)計逼近理想。以低通線性相位 FIR 數(shù)字濾波器為例：一般是無限長的，且是非因果的，不能直接作為 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng)。要想得到一個因果的有限長的濾波器h(n)，最直接的方法是截斷，即截取為有限長因果序列，并用合適的窗函數(shù)進(jìn)行加權(quán)作為 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng)。按照線性相位濾波器的要求， h(n)必須是偶對稱的。對稱中心必須等于濾 波器的延時常數(shù)，即用矩形窗設(shè)計的 FIR 低通濾波器，所設(shè)計濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的 9%，這個現(xiàn)象稱為吉布斯（ Gibbs）效應(yīng)。為了消除吉布斯效應(yīng)，一般采用其他類型的窗函數(shù)。 ②．利用窗函數(shù)設(shè)計 FIR 濾波器的具體步驟如下： （ 1）按允許的過渡帶寬度△ω及阻帶衰減 AS，選擇合適的窗函數(shù)，并估計界數(shù) N，其中 A 由窗函數(shù)的類型決定； （ 2）由給定的濾波器的幅頻響應(yīng)參數(shù)求出理想的單位脈沖響應(yīng) ； （ 3）確定延時值 ； （ 4）計算濾波器的單位取樣響應(yīng)； （ 5）驗算技術(shù)指標(biāo)是否滿足 要求 [10]。 第 7 頁 共 27 頁 頻率采樣法 頻率采樣法是從頻域出發(fā) ,根據(jù)頻域采樣定理，對給定的理想濾波器的頻率響應(yīng) jw [4] Hd(e )加以等間隔的抽樣 ，得到 Hd(k)： 1,.....,1,0 /)2(|)()( ?? ?? NK NkweHKHjdd ?? （ 38） 再利用 )(khd 可求得 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(zH 及頻率響應(yīng) )( ?jeH ： )2()()(1)(1)(10101NkkHeHZkHnzzHNKjnkknn???? ??????????????? 其中，φ (w)是一個內(nèi)插函數(shù)： 2/)1()2/s in( )2/s in()( ??? NjeN N ????? 從以上公式可以看出，在每個采樣頻率點 NkWk /2?? 處，濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等 ,即： )()()()( 22 N kjddN Kj eHkHkHeH ?? ??? （ 39） 而在各采樣點間的頻率響應(yīng)則是其的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸疊加的結(jié)果。但對于一個無限長的序列，用頻率采樣法必然有一定的逼近誤差 ,誤差的大小取決于理想頻響曲線的形狀 , 理想頻響特性變換越平緩 , 則內(nèi)插函數(shù)值越接近理想值 ,誤 差越小。為了提高逼近的質(zhì)量，可以通過在頻率相應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入比較連續(xù)的采樣點，擴展過渡帶使其比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變換比較緩慢，以達(dá)到減少逼近誤差的目的 [11]。 選取 ? ∈ [0,2π ]內(nèi) N 個采樣點的約束條件為： ??? ??? ?? )()( )()( mNm kNHkH ?? 10 ??? Nk （ 310） 盡管窗函數(shù)法與頻率采樣法在 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計中有著廣泛的應(yīng)用 , 但兩者都不是最優(yōu)化的設(shè)計。通常線性相位濾波器在不同的頻帶內(nèi)逼近的最大容許誤差要求不同。等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則就是通過對通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù) ,實現(xiàn)在不同頻段 (通常指的是通帶和阻帶 ) 的加權(quán)誤差最 第 8 頁 共 27 頁 大值相同，從而實現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá)到最小值， 即使得 )( ?jd eH 和 )( ?jeH 之間的最大絕對誤差最小。 等波紋切比雪夫逼近是采用加權(quán)逼近誤差 )( ?je ，它可以表示為： )()()(()( ???? jjdjj eHeHeWeE ?? （ 311） 其中， )( ?jeW 為逼近誤差加權(quán)函數(shù)，在誤差要求高的頻段上，可以取較大的加權(quán)值，否則，應(yīng)當(dāng)取較小的加權(quán)值。 盡管按照 FIR 數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng) h(n)的對稱性和 N 的奇、偶性， FIR 數(shù)字濾波器可以分為 4 種類型，但濾波器的頻率響應(yīng)可以寫成統(tǒng)一的形式： （ 312） 其中， )1,0(?k ， )(?H 為幅度函數(shù)，且是一個純實數(shù)，表達(dá)式也可以寫成統(tǒng)一的形式： )()()( ??? PQeH j ? （ 313） 其 中 ， )(?Q 為 ω 的 固 定 函 數(shù) ， )(?P 為 M 個 余 弦 函 數(shù) 的 線 性 組 合 。 若 令 ：)(/)()(),()()( ???? ?? QeHHQeWW jddj ?? ， 因此，由式（ 9）、（ 10）將 )( ?jeE 改寫成： ? ?)()()()( ???? PHWeE dj ?? 故等波紋切比雪夫逼近法 設(shè)計 FIR數(shù)字濾波器的步驟是 ： ①給出所需的頻率響應(yīng) )( ?jd eH 加權(quán)函數(shù) )( jweW 和濾波器的單位取樣響應(yīng) h(n)的長度 N。 ②由①中給定的參數(shù)來形成所需的 )(?w 、 )(?dH 和 )(?P 的表達(dá)式。 ③根據(jù) Remez算法 ,求解逼近問題。 ④利用傅立葉逆變換計算出單位取樣響應(yīng) h(n) [11]。 Remez算法是由 Parks 和 McClellan 等人在 1972年推導(dǎo)出來的。它是將 FIR數(shù)字濾 ( N ,σ 1,σ2,ω p,ω s)中的 N,ω p,ω s和σ 1/σ 2固定 ,而視σ 1(或σ 2)為變量的一種迭代方法。在 MATLAB工具箱中可以直接調(diào)用 remez函數(shù)（采用 Remez 算法），來進(jìn)行 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計。其具體算法有幾種，常見的一種算法格式為： b= remez (n, f, a, w, ‘ ftype’ ) )()( )2/(2/)1( ???? HeeeH kjNjj ??? 第 9 頁 共