【文章內(nèi)容簡介】 指標的形式一般在頻域中給 出幅度和相位響應。幅度指標主要以兩種方式給出。第一種是絕對指標。它提供對幅度響應函數(shù)的要求，一般應用于 FIR 濾波器的設計。第二種指標是相對指標。它以分貝值的形式給出要求。在工程實際中， 這種指標最受歡迎。對于相位響應指標形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具 有線性相位。運用線性相位響應指標進行濾波器設計具有如下優(yōu)點：①只包含實數(shù)算法，不涉及復數(shù)運算；②不存在延遲失真，只有固定數(shù)量的延遲；③長度為 N 的濾波器 (階數(shù)為 N1)，計算量為 N/2 數(shù)量級。因此，本文中濾波器的設計就以線性相位 FIR濾波器的設計為例。 (2)逼近 確定了技術指標后，就可以建立一個目標的數(shù)字濾波器模型。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。之后，利用數(shù)字濾波器的設計方法，設計出一個實際濾波器模型來逼近給定的目標。 (3)性能分析和計算機仿真 上兩步的結果是得到以差分或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應描述的濾波器。根據(jù)這個描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗證設計結果是否滿足指標要求；或者利用計算機仿真實現(xiàn)設計的濾波器，再分析濾波結果來判斷。 濾波器的性能指標 我 們在進行濾波器設計時，需要確定其性能指標。一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征 。以低通濾波器特性為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍。 在 通 帶 內(nèi) ： 1 AP ≤ | H(ej ω )| ≤ 1 |ω |≤ω c 在阻帶中： |H(ejω )| ≤ Ast ω st ≤ |ω |≤ω c 其中 ω c 為通帶截止頻率 , ω st 為阻帶截止頻率， Ap為通帶誤差 , Ast為阻帶誤差。 與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應是周期性的，周期為 2π 。各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應如圖所示： 圖 2 低通濾波器頻率響應幅度 特性的容限圖 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 12 圖 2 各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應 IIR 數(shù)字濾波器的設計方法 目前， IIR 數(shù)字濾波器設計最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經(jīng)有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的設計公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字 濾波器的設計帶來很大方便， IIR 數(shù)字濾波器的設計步驟是： (1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標； (2)根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器 H(s)； (3)在按一定規(guī)則將 H(s)轉換為 H(z)。 若所設計的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設計工作可以結束，若所設計的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟： (4)將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術指標先轉化為低通濾波器的技術指標，然后按上述步驟 (2)設計出模擬低通濾波器 H(s)，再 由沖擊響應不變法或雙線性變換 將 H(s)轉 換為所需的 H(z)。 s z 映射的方法有 ： 沖激響應不變法、階躍響應不變法、雙線性變換法等。下面討論雙線性變換法。 雙線性變換法 [8]是指首先把 s 平面壓縮變換到某一中介平面 s1 的一條橫帶 (寬度為 2π T,即從 π T 到π T) ,然后再利用 Tsez 1? 的關系把 s1 平面上的這條橫帶變換到整個 z 平面。這樣 s 平面與 z 平面是一一對應關系 , 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 13 消除了多值變換性 , 也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 s 平面到 z 平面的變換可采用 )2tan( 1T??? (25) 22221111TjTjTjTjeeeej?????????? (26) 令 sj ?? ， 11 sj ?? 有 ： TsTsTsTsTsTseeeeees111111112222?????????? (27) 從 s1 平面到 z 平面的變換 ,即 Tsez 1? (28) 代入上 式 ， 得到 ： 1111????? zzs (29) 一般來說 ， 為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關系 ， 可 引 入 代 定 常 數(shù) c ， )2tan( 1Tc ??? (210) 則 1111 zscz???? ? (211) 這種 s 平面與 z 平面間的單值映射關系就是雙線性變換 。 有了雙線性變換 ， 模擬濾波器的數(shù)字化只須 用 進行置換 。 FIR 數(shù)字濾波器的設計方法 IIR濾波器 [7]的優(yōu)點是可利用模擬濾波器設計的結果，缺點是相位是非線性的，若需要線性相位，則要用全通網(wǎng)絡進行校正 。 FIR 濾波器的優(yōu)點是可方便地實現(xiàn)線性相位。 FIR 濾波器 單位沖激響應 h(n)的特點： 其 單位沖激響應 h(n)是有限長 ( ),系統(tǒng)函數(shù)為： 10( ) ( )N nnH z h n z? ???? (212) 在有限 Z平面有 (N1)個零點，而它的 (N1)個極點均位于原點 z=0處。 Fir 濾波器線性相位的特點： 如果 FIR 濾波器的單位抽樣響應 h(n)為實數(shù)，而且滿足以下任一條件： 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 14 偶對稱 h(n)＝ h(N1n) 奇對稱 h(n)＝ h(N1n) 其對稱中心在 n＝ (N1)/2處，則濾波器具 有準確的線性相位。 窗函數(shù)設計法： 一般是先給定所要求的理想濾波器頻率響應 ()jdHe? ，由 ()jdHe? 導出()dhn，我們知道理想濾波器的沖擊響應 ()dhn是無限長的非因果序列，而我們要設計的是 ()dhn是有限長的 FIR濾波器，所以要用有限長序列 ()dhn來逼近無限長序列 ()dhn，設： 1( ) ( )2 jjddh n H e e d? ??? ?? ?? ? (213) 常用的方法是用有限長度的窗函數(shù) w(n)來截取 即： ( ) ( ) ( )dh n n h n?? (214) 這里窗函數(shù)就是矩形序列 RN(n),加窗以后對理想低通濾波器的頻率響應將產(chǎn)生什么樣的影響呢 ?根據(jù)在時域是相乘關系 ,在頻域則是卷積關系 ： ()1( ) ( ) [ ]2j j jdRH e H e W e d?? ? ? ?? ?? ? ??? ? (215) 其中 , 為矩形窗譜 , ()jHe? 是 FIR濾波器頻率響應 . 通過頻域卷積過程看 的幅度函數(shù) H(ω )的起伏現(xiàn)象 ,可知 ,加窗處理后，對理想矩形的頻率響應產(chǎn)生以下幾點影響： (1)使理想頻率特性不連續(xù)點處邊沿加寬，形成一個過渡帶，其寬度等于窗的頻率響應的主瓣寬度。 (2)在截止頻率 的兩邊的地方即過渡帶的兩邊，出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。 (3)改變 N，只能改變窗譜的主瓣寬度，改變 ω 的坐標比例以及改變的絕對值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例 (此比例由窗函數(shù)的形狀決定 )。 (4)對窗函數(shù)的要求 a、窗譜主瓣盡可能窄，以獲取較陡的過渡帶； b、盡量減小窗譜的最大旁瓣的相對幅度；即能量集中于主瓣，使肩峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。 頻率采樣法： 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 15 窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)，把理想的 hd(n)用一定形狀的窗 函數(shù)截取成有限長的 h(n)，來近似理想的 hd(n)，這樣得到的頻率響應 逼近于所要求的理想的頻率響應 。 頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應 加以等間隔抽樣得到 ，然后以此 作為實際 FIR 濾波器的頻率特性的抽樣值 H(k)，即 2( ) ( ) |jwddH k H e kN???? (216) 知道 H(k)后，由 DFT定義可唯一確定 有限長序列 h(n)，利用這 N個頻域抽樣值 H(k)同樣利用頻率內(nèi)插公式可得 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)，及頻率響應 ，即： 頻率抽樣法內(nèi)插公式： 1101 ( )() 1N Nkk Nz H kHz N W z? ?????? ?? (217) 頻率抽樣法小結 優(yōu)點：可以 在頻域直接設計，并且適合于最優(yōu)化設計。 缺點：抽樣頻率只能等于 2π /N 的整數(shù)倍，或等于 2π /N 的整數(shù)倍加上 π /N。因而不能確保截止頻率 的自由取值，要想實現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加抽樣點數(shù) N，但這又使計算量增大。 為了提高逼近質(zhì)量，減少通帶邊緣由于抽樣點的 陡然變化而引起的起伏振蕩。有目的地在理想頻率響應的不連續(xù)點的邊緣，加上一些過渡的抽樣點，增加過渡帶，減少起伏振蕩。 IIR 濾波器與 FIR濾波器的分析 比較 前面已經(jīng)介紹了 IIR 和 FIR 數(shù)字濾波器的設計方法，選擇哪一種濾波器取決于每種類型濾波器的優(yōu)點在設計中的重要性。為了能在實際工作中恰當?shù)剡x用合適的濾波器，現(xiàn)將兩種濾波器特點比較分析 []如下： (1) 選擇數(shù)字濾波器是必須考慮經(jīng)濟問題，通常將硬件的復雜性、芯片的面積或計算速度等作為衡量經(jīng)濟問題的因素。在相同的技術指標要求下，由于 IIR 數(shù)字濾波器存在輸出對輸入的 反饋，因此可以用較少的階數(shù)來滿足要求，所用的存儲單元少，運算次數(shù)少，較為經(jīng)濟。例如，用頻率抽樣法設計一個阻帶衰減為 20dB 的 FIR 數(shù)字濾波器，要 33 階才能達到要求，而用雙線性變換法只需 4～ 5階的切比雪夫 IIR 濾波器就可達到同樣的技術指標。這 第 2 章 數(shù)字濾波器的概述 16 就是說 FIR 濾波器的階數(shù)要高 5～ 10倍左右。 (2) 在很多情況下 ,FIR 數(shù)字濾波器的線性相位與它的高階數(shù)帶來的額外成本相比是非常值得的。對于 IIR 濾波器，選擇性越好，其相位的非線性越嚴重。如果要使 IIR 濾波器獲得線性相位，又滿足幅度濾波器的技術要求，必須加全通網(wǎng)絡進行相 位校正，這同樣將大大增加濾波器的階數(shù)。就這一點來看， FIR濾波器優(yōu)于 IIR 濾波器。 (3) FIR 濾波器主要采用非遞歸結構，因而無論是理論上還是實際的有限精度運算中他都是穩(wěn)定的，有限精度運算誤差也較小。 IIR 濾波器必須采用遞歸結構，極點必須在 z 平面單位圓內(nèi)才能穩(wěn)定。對于這種結構，運算中的舍入處理有時會引起寄生振蕩。 (4) 對于 FIR 濾波器，由于沖激響應是有限長的，因此可以用快速傅里葉變換算法，這樣運算速度可以快得多。 IIR濾波器不能進行這樣的運算。 (5) 從設計上看， IIR 濾波器可以利用模擬濾波器設計的 現(xiàn)成的閉合公式、數(shù)據(jù)和表格，可以用完整的設計公式來設計各種選頻濾波器。一旦選定了已知的一種逼近方法 (如巴特奧茲，切比雪夫等 )，就可以直接把技術指標帶入一組設計方程計算出濾波器的階次和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù) (或極點和零點 )。FIR 濾波器則一般沒有現(xiàn)成的設計公式。窗函數(shù)法只給出了窗函數(shù)的計算公式，但計算通帶和阻帶衰減仍無顯式表達式。一般 FIR 濾波器設計僅有計算機程序可資利用，因而要借助于計算機。 (6) IIR 濾波器主要是設計規(guī)格化、頻率特性為分段常數(shù)的標準低通、高通、帶通和帶阻濾波器。 FIR 濾波器則靈活很多，例如頻率 抽樣法可適應各種幅度特性和相位特性的要求。因此 FIR 濾波器可設計出理想正交變換器、理想微分器、線性調(diào)頻器等各種網(wǎng)絡，適應性很廣。而且，目前已經(jīng)有很多FIR 濾波器的計算機程序可供使用。 表 2 兩種濾波器特點比較分析 FIR 濾波器 IIR 濾波器 設計方法 一般無解析的設計公式，要借助計算機程序完成 利用 AF 的成果，可簡單、有效地完成設計 設計結果 可得到幅頻特性 (可以多帶 )和線性相位 (最大優(yōu)點 ) 只能得到幅頻特性，相頻特性未知，如需要線性相位，須用全通網(wǎng)絡校準，但增加濾波器階數(shù)和復雜性