【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 換，得到 {()[(1)/(1+)]+c} ()所以， s=(2/T)[(1)/(1+)] ()則 z=(2/T+s)/(2/Ts) () = /s=(2/T)[(1)/(1+)] () 例：己知模擬濾波器=1/(1+s),試?yán)秒p線性變換法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)。解: H(z)= /s=T(1+)/[ 2(1)+T (1+)]從設(shè)T=1s，則 H (z)=(1+)/(3). 所示。模擬濾波器并不是帶限的，它拖了個(gè)“長(zhǎng)尾巴”。但由于雙線性變換法具有頻率壓縮作用，數(shù)字濾波器的頻響限制在0與 之間，不存在頻率混疊作用。設(shè)計(jì)方法與舉例 設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的步驟：(1) 確定數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)；(2) 確定對(duì)應(yīng)模擬低通濾波器的性能指標(biāo):脈沖響應(yīng)不變法，雙線性變換法。通帶及阻帶哀減與數(shù)字低通濾波器相同；( 3) 按照模擬低通濾波器的性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器；( 4) 利用雙線性變換法或脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通H(z)；(5) 編制好主程序及相應(yīng)子程序后，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行設(shè)計(jì)、驗(yàn)證。 H (z)幅頻特性, 到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)濾波器。解：用脈沖不變法設(shè)計(jì)：規(guī)定：WP，Ws為數(shù)字低通濾波器通帶和阻帶的截止頻率。為，模擬濾波器的通帶和阻帶截止頻率。為截止頻率(衰減3dB的頻率)。巴特沃斯低通濾波器的幅度特性是單調(diào)下降的,其技術(shù)指標(biāo)要求如下： ()設(shè)計(jì)步驟：(1) 將設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)換為對(duì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求,本例模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求: () (2) 計(jì)算模擬濾波器的需階數(shù)N及3dB截止頻率 ： 式中， () ()所以 N=6, =(3) 根據(jù)階數(shù)N和,得模擬濾波器的傳輸函數(shù):Ha(s)=[(++)(++) (++)](4)Ha(s)展開成部分分式,并進(jìn)行z變換,求得數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)：為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)是否達(dá)到指標(biāo),必須計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。為此，用NS圖及程序。這個(gè)程序?qū)τ谟啥A級(jí)聯(lián)構(gòu)成的濾波器具有通用性。程序運(yùn)行后,能打印出濾波器的幅頻特性和增益特性曲線及其數(shù)值。結(jié)論：設(shè)計(jì)不同類型的濾波器的方法歸納有兩類：（1）把一個(gè)歸一化原形模擬低通濾波器經(jīng)模擬頻帶變換成需要類型的模擬濾波器,然后再通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法數(shù)字化為所需類型的數(shù)字濾波器（2）由模擬低通原形先利用雙線性變換法變換成數(shù)字低通濾波器,然后利用數(shù)頻帶變換法,將它變換為所需要的各類型濾波器。2. 3 一種IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)借助模擬濾波器變換設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法,可以利用現(xiàn)成的濾波器(如巴特沃斯，切比雪夫或橢圓函數(shù)濾器)的設(shè)計(jì)公式或設(shè)計(jì)圖表來完成。但是,無論是模擬式還是數(shù)字式濾波器,都希望它們具有任意給定頻率響應(yīng)或任意給定特性的解析性能。這樣上述方法便不適用了。為此，常運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù),用計(jì)算機(jī)解一組線性或非線性方程的方法,來逼近任意頻率特性。本節(jié)采用頻域均方誤差最小設(shè)計(jì)法,使所求的幅頻特性盡力逼近期望的幅頻特性,其逼近準(zhǔn)則是使均方誤差最小。1. 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)描述以數(shù)學(xué)方式來描述優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),函數(shù)極值是受元件參數(shù)選擇和調(diào)整等因素約束的?？梢妰?yōu)化設(shè)計(jì)問題便轉(zhuǎn)化為在一定條件下求函數(shù)的極值問題,即可用數(shù)學(xué)式描述如下： () i=1,2,3…m () j=1,2,3…l ()式中,表示n維歐氏空間。是n維空間中的向量,在電路中則是設(shè)計(jì)變量,f(x)為目標(biāo)函數(shù),hi(x)=0和≥0為約束條件或稱為約束方程。由于等式約束hi(x)=0等價(jià)于, ()兩個(gè)不等式約束。因此,最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可表示如下: () j=1,2,3…i ()約束條件是設(shè)計(jì)變量允許變化的范圍。目標(biāo)(誤差)函數(shù)f(x)是優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo),用來度量實(shí)際響應(yīng)特性與要求特性之間的誤差,它的大小反映實(shí)際響應(yīng)接近設(shè)計(jì)指標(biāo)的程度。設(shè)計(jì)時(shí)常采用均方誤差函數(shù)(即最小二乘法目標(biāo)函數(shù))法,可描述如下: ()或者 ()式中,是電路的實(shí)際響應(yīng)和待求響應(yīng)的誤差,可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù),W()為正實(shí)權(quán)函數(shù),其值是對(duì)的加權(quán), 為連續(xù)獨(dú)立變量,H為值的允許變化范圍,M是在區(qū)間H內(nèi)抽樣點(diǎn)數(shù)。目標(biāo)函數(shù)建立后,最優(yōu)化設(shè)計(jì)就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題。對(duì)IIR濾波器設(shè)計(jì)也一樣。2. IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的問題實(shí)質(zhì)上是要確定傳遞函數(shù) ()式中的一組系數(shù)和。為了在Z平面上直接求解這組函數(shù),可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法,按照規(guī)定準(zhǔn)則,逐個(gè)改變這組系數(shù),使H(Z)的特性逼近預(yù)定目標(biāo),當(dāng)系數(shù)達(dá)到最佳值時(shí),就認(rèn)為達(dá)到了最逼近于目標(biāo)的傳遞函數(shù)H*(Z)。根據(jù)頻域均方誤差最小化準(zhǔn)則,在一組離散頻率(i=1, 2,3…M)上給出所需的頻率響應(yīng),在這些離散頻率上,均方誤差定義為： （）如數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)可選擇為： ()選擇這種級(jí)聯(lián)形式,是因?yàn)樗鼘?duì)系數(shù)變化不敏感,且便于在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中計(jì)算導(dǎo)數(shù)。式()所表示的誤差,可看作是參數(shù)的函數(shù),即: () 人們希望求出誤差E最小時(shí)這些參數(shù)值,所以取E對(duì)每一參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),并且令其偏導(dǎo)數(shù)等于零。這樣共有4N+1個(gè)未知數(shù),而需解4N+1個(gè)方程,方程對(duì)增益因子A的偏導(dǎo)數(shù)為： ()對(duì)|A|求解,得: ()A*是使E()為最小時(shí)的最佳增益值,亦是的函數(shù),將A*代入誤差公式,有: ()只含4N個(gè)未知數(shù),于是在這基礎(chǔ)上求其它4N個(gè)未知數(shù)最佳值,則有: ()因?yàn)锳*已使E(A, )極小,所以 ()則有: ()式()是非線性方程,可采用迭代法求解。又因,并設(shè),而且 ()得: ()可求出: ()由于,所以,，，都各有N個(gè),因此式()可化成為: ()而 ()得： ()于是式()可寫成為 ()同理可推導(dǎo)出： () () () 將式()()代入式()中,可求出誤差函數(shù)E()對(duì)4N個(gè)未知數(shù)中的偏導(dǎo)數(shù),從而得到4N個(gè)非線性方程。這些方程可用FletcherPowell算法求解。計(jì)算誤差函數(shù)E()的梯度,由此搜索誤差函數(shù)E()的最小值,從而確定最佳值參數(shù)。當(dāng)兩個(gè)相鄰E ()的差值落在~以內(nèi)時(shí),就可以認(rèn)為誤差函數(shù)收斂到最小值。在上述的設(shè)計(jì)過程中,當(dāng)函數(shù)收斂時(shí),極點(diǎn)和零點(diǎn)將隨機(jī)地出現(xiàn)在單位圓的內(nèi)部和外部,這是因迭代起點(diǎn)不同,在最后得到的傳遞函數(shù)中,可能會(huì)有Z平面單位圓外的零點(diǎn)和極點(diǎn),它使濾波器不穩(wěn)定,為此,可在程序中應(yīng)用全通網(wǎng)絡(luò)特性,可把單位圓外的零點(diǎn)和極點(diǎn)反演到單位圓內(nèi)部。設(shè)極點(diǎn)|Z|=Zi,Zi1可用Z=的極點(diǎn)來代替,這相當(dāng)于系統(tǒng)函數(shù)乘了一個(gè)分式：(ZZi)/(Z),該分式是一個(gè)全通函數(shù),對(duì)極點(diǎn)作這樣調(diào)節(jié),除了可能相差一比例常數(shù)外,并不影響幅頻特性的規(guī)律,因?yàn)榇藭r(shí)網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性為： () () 等于一個(gè)常數(shù)。同理,因一個(gè)不穩(wěn)定的復(fù)數(shù)極點(diǎn),都是以共軛成對(duì)出現(xiàn)的,所以在單位圓外極點(diǎn)可用鏡象極點(diǎn)來代替。如果要求濾波器有最小相位,可對(duì)圓外零點(diǎn)用同樣方法確定零點(diǎn)位置。將零點(diǎn)也移到單位圓內(nèi)。在將單位圓外所有零。極點(diǎn)反演到單位圓內(nèi)后,再進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),?？墒咕秸`差進(jìn)一步減少。3 應(yīng)用舉例要求設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下述的二階低通濾波器: () ()