【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 差在 1dB以內(nèi) ,在頻率 ? 到 ? 之間的阻帶衰減大于 15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)濾波器。 專(zhuān)科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 15 解 ： 用脈沖不變法設(shè)計(jì)： 規(guī)定 ： WP， Ws 為數(shù)字低通濾波器通帶和阻帶的截止頻率 。為p?， s? 模擬濾波器的通帶和阻帶截止頻率。 c? 為截止頻率 (衰減 3dB 的頻率 )。巴特沃斯低通濾波器的幅度特性是單調(diào)下降的 ,其技術(shù)指標(biāo)要求如下 ： 20 lg ( ) 1pjWHe ?? 20 lg ( ) 15sjWHe ?? ( , )psWW???? () 設(shè)計(jì)步驟 ： (1) 將設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)換為對(duì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求 ,本例模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求 : 20 lg ( ) 1pHj? ?? 2 0 lg ( ) 1 5sHj? ??( , 1)W T T?? ? () (2) 計(jì)算模擬濾波器的需階數(shù) N 及 3dB 截止頻率 c? ： lglgKN ?? 式中 sp???? ，210 110 1psddK???? ????? () 2/101 10 pN dpc?????????? () 所以 N=6, c? =(3) 根據(jù)階數(shù) N 和 c? ,得模擬濾波器的傳輸函數(shù) : Ha(s)=[( 2s ++)( 2s ++) ( 2s ++)] (4)Ha(s)展開(kāi)成部分分式 ,并進(jìn)行 z變換 ,求 得數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) ： 1 1 11 2 1 2 1 10 . 2 8 7 1 0 . 4 4 6 6 2 . 1 4 2 8 1 . 1 4 5 4 1 . 8 5 5 8 0 . 6 3 0 4() 1 0 . 1 2 9 7 0 . 6 9 4 9 1 1 . 0 6 9 1 0 . 3 6 9 9 1 0 . 9 9 7 2 0 . 2 5 7 0z z zHz z z z z z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)是否達(dá)到指標(biāo) ,必須計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 。 為此 ， 用 NS 圖及程序 。 這個(gè)程序?qū)τ谟啥A級(jí)聯(lián)構(gòu)成的濾波器具有通用性 。 程序運(yùn)行后 ,能打印出濾波器的幅頻特性和增益特性曲線及其數(shù)值 。 專(zhuān)科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 16 結(jié)論 ： 設(shè)計(jì)不同類(lèi)型的濾波器的方法歸納有兩類(lèi) ： （ 1）把一個(gè)歸一化原形模擬低通濾波器經(jīng)模擬頻帶變換成需要類(lèi)型的模擬濾波器 ,然后再通過(guò)沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法數(shù)字化為所需類(lèi)型的數(shù)字濾波器（ 2）由模擬低通原形先利用雙線性變換法變換成數(shù)字低通濾波器 ,然后利用數(shù)頻帶變換法 ,將它變換為所需要的各類(lèi)型濾波器。 2. 3 一種 IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì) 借助模擬濾波器變換設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器的方法 ,可以利用現(xiàn)成的濾波器 (如巴特沃斯，切比雪夫或橢圓函數(shù)濾器 )的設(shè)計(jì)公式或設(shè)計(jì)圖表來(lái)完成。但是 ,無(wú)論是模擬式還是數(shù)字式濾波器 ,都希望它們具有任意給定頻率響應(yīng)或任意給定特性的解析性能。這樣上述方法便不適用了。為此，常運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù) ,用計(jì)算機(jī)解一組線性或非線性方程的方法 ,來(lái)逼近任意頻率特性。 本節(jié)采用頻域均方誤差最小設(shè)計(jì)法 ,使所求的幅頻特性盡力逼近期望的幅頻特 性 ,其逼近準(zhǔn)則是使均方誤差最小。 1. 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)描述 以數(shù)學(xué)方式來(lái)描述優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí) ,函數(shù)極值是受元件參數(shù)選擇和調(diào)整等因素約束的。可見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為在一定條件下求函數(shù)的極值問(wèn)題 ,即可用數(shù)學(xué)式描述如下 ： ? ?minfx nxR? () ? ? 0ihx? i=1,2,3…m () ?? 0igx? j=1,2,3…l () 式中 , nR 表示 n維歐氏空間。 12[ , ,... ]Tnx x x x? 是 n維空間 nR 中的向量 ,在電路中則是設(shè)計(jì)變量 ,f(x)為目標(biāo)函數(shù) ,hi(x)=0 和 ??igx≥0為約束條件或稱(chēng)為約束方程。由于等式約束 hi(x)=0 等價(jià)于 ( ) 0ihx? , ( ) 0ihx?? () 專(zhuān)科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 17 兩個(gè)不等式約束。因此 ,最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可表示如下 : min ( )fx nxR? () ( ) 0igx? j=1,2,3… i () 約束條件是設(shè)計(jì)變量允許變化的范圍。目標(biāo) (誤差 )函數(shù) f(x)是優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo) ,用來(lái)度量實(shí)際響應(yīng)特性與要求特性之間的誤差 ,它的大小反映實(shí)際響應(yīng)接近設(shè)計(jì)指標(biāo)的程度。 設(shè)計(jì)時(shí)常采用均方誤差函數(shù) (即最小二乘法目標(biāo)函數(shù) )法 ,可描述如下 : ? ? ? ? ? ? 21 ,2 Hf x W l x? ???? ? () 或者 ? ? ? ? ? ? 211 ,2 iiif x W l x???? ? () 式中 ,是電 ? ?,lx? 路的實(shí)際響應(yīng)和待求響應(yīng)的誤差 ,可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù) ,W(? )為正實(shí)權(quán)函數(shù) ,其值是對(duì) ? ?,lx? 的加權(quán) , ? 為連續(xù)獨(dú)立變量 ,H 為 ? 值的 允許變化范圍 ,M 是在區(qū)間 H 內(nèi)抽樣點(diǎn)數(shù)。目標(biāo)函數(shù)建立后 ,最優(yōu)化設(shè)計(jì)就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問(wèn)題。對(duì) IIR 濾波器設(shè)計(jì)也一樣。 2. IIR 數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是要確定傳遞函數(shù) ? ? 0111MkkkLkkaZHZbZ???????? () 式 中的一組系數(shù) ka 和 kb 。為了在 Z平面上直接求解這組函數(shù) ,可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法 ,按照規(guī)定準(zhǔn)則 ,逐個(gè)改變這組系數(shù) ,使 H(Z)的特性逼近預(yù)定目標(biāo) ,當(dāng)系數(shù)達(dá)到最佳值 **,kkab????時(shí) ,就認(rèn)為達(dá)到了最逼近于目標(biāo)的傳遞函數(shù) H*(Z)。 根據(jù)頻域均方誤差最小化準(zhǔn)則 ,在一組離散頻率 {}i? (i=1, 2,3…M) 上給出所需的頻率響應(yīng) ? ?jdHl? ,在這些離散頻率上 ,均方誤差定義為 ： 專(zhuān)科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 18 ? ? ? ? ? ? 2[]iiM jjdilE H l H l??? ???? （ ） 如數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)可選擇為 ： ? ? ? ?221 11 jjMjjkkk a l b lH l A A G lc l d l??????? ????? () 選擇這種級(jí)聯(lián)形式 ,是因?yàn)樗鼘?duì)系數(shù)變化不敏感 ,且便于在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中計(jì)算導(dǎo)數(shù)。 式 ()所表示的誤差 ,可看作是參數(shù)的函數(shù) ,即 : ? ? ? ?1 1 1 1, , , , .. .. .. , , , ,N N N NA a b c d a b c d A? ? ? ? () 人們希望求出誤差 E 最小時(shí)這些參數(shù)值 ,所以取 E 對(duì)每一參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ,并且令其偏導(dǎo)數(shù)等于零。這樣共有 4N+1 個(gè)未知數(shù) ,而需解 4N+1 個(gè)方程 ,方程對(duì)增益因子 A 的偏導(dǎo) 數(shù)為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 2 i i iM j j jdilEA A G l H l G lA ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? () 對(duì) |A|求解 ,得 : ? ? ? ?? ?*2iiMj jidilMjilG l H lAAGl? ????????? () A*是使 E(? )為最小時(shí)的最佳增益值 ,亦是的函數(shù) ,將 A*代入誤差公式 ,有 : ? ? ? ? ? ? ? ? 2**, iiM jj dilE A E A G l H l??? ??? ? ? ? ???? () 只含 4N 個(gè)未知數(shù) ,于是在這基礎(chǔ)上求其它 4N 個(gè)未知數(shù)最佳值 ,則有 : ? ? ? ? ? ?** **,E A E AE AA? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? () 因?yàn)?A*已使 E(A, ? )極小 ,所以 ? ?**, 0EAA???? () 則有 : 專(zhuān)科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 19 ? ? ? ? ? ? ? ?**2 iii jM jj dilGlE A A G l H l ??????? ??? ? ???? ? ? ?? () 式 () 是非線性方程 ,可采用迭代法求解。又因 1* 2G GG?????,并設(shè)Gj???? , *Gj???? ,而且 *Re GG ????? ? ??? ?????? ?? ???? () 得 : ***2 R eG G GG G j G? ? ????? ???? ?? ???? () 可求出 : 1ReGGG G????? ???? ???? () 由于 ? ?1 1 1 1, , , ....... , , ,N N N Na b c d a b c d?? ,所以 , ka ， kb ， kc ， kd ，都各有 N 個(gè) ,因此式 ()可化成為 : 1RekkGGGa G a?????????? () 而 12121 1 ......1N kkkNk a Z b ZG G G G Gc Z d Z?????? ? ? ? ?? () 得： 1121k k kGZGa a Z b Z???? ?? ? ? () 于是式 ()可寫(xiě)成為 ? ?112Re 1k k kGZGa a Z b Z???? ?? ? ? () 同理可推導(dǎo)出： ? ?112Re 1k k kGZGb a Z b Z???? ?? ? ? () 專(zhuān)科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 20 ? ?112Re 1k k kGZGc c Z d Z???? ??? ? ? () ? ?112Re 1k k kGZGd c Z d Z???? ??? ? ? () 將式 ()()代入式 ()中 ,可求出誤差函數(shù) E(? )對(duì) 4N 個(gè)未知數(shù)中的偏導(dǎo)數(shù) ,從而得到 4N 個(gè)非線性方程。這些方程可用 FletcherPowell 算法求解。計(jì)算誤差函數(shù) E( ? )的梯度 ,由此搜索誤差函數(shù) E( ? )的最小值 ,從而確定最佳值參數(shù)。當(dāng)兩個(gè)相鄰 E (? )的差值落在 410? ~ 510? 以內(nèi)時(shí) ,就可以認(rèn)為誤差函數(shù)收斂到最小值。 在上述的設(shè)計(jì)過(guò)程中 ,當(dāng)函數(shù)收斂時(shí) ,極點(diǎn)和零點(diǎn)將隨機(jī)地出現(xiàn)在單位圓的內(nèi)部和外部 ,這是因迭代起點(diǎn)不同 ,在最后得到的傳遞函數(shù)中 ,可能會(huì)有 Z平面單位圓外的零點(diǎn)和極點(diǎn) ,它使濾波器不穩(wěn)定 ,為此 ,可在程序中應(yīng)用全通網(wǎng)絡(luò)特性 ,可把單位圓外的零點(diǎn)和極點(diǎn)反演到單位圓內(nèi)部。 設(shè)極點(diǎn) |Z|=Zi,Zi1 可用 Z= 1iZ? 的極點(diǎn)來(lái)代替 ,這相當(dāng)于系統(tǒng)函數(shù)乘了一個(gè)分式 ： (ZZi)/(Z 1iZ? ),該分式是一個(gè)全通函數(shù) ,對(duì)極點(diǎn)作這樣調(diào)節(jié) ,除了可能相差一 比例常數(shù)外 ,并不影響幅頻特性的規(guī)律 ,因?yàn)榇藭r(shí)網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性為 ： ? ? 11/iijjijjjiZZ llHZZlZ l l????????? ????? ? () ? ? ? ?? ?221 2 c o s1 2 c o s iiHZ ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ()