【文章內(nèi)容簡介】 為 ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) （ 24） 顯然此時當 時 （ ） 才可能有非零值。當 時 h（ n）的值恒為零也就是說數(shù)字濾波器的單脈沖響應有限。通常稱這種濾波器為有限沖擊響應（ Finite Impulse Response， FIR）數(shù)字濾波器。 當 值不完全為零時， z域系統(tǒng)函數(shù) H（ z）至少包含有一個極點此時單位脈沖響應必定為無限，對于一個穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)， z域系統(tǒng)函數(shù) H（ z）必須在單位圓內(nèi)部，通常 z域系統(tǒng)函數(shù) H（ z）包含極點的數(shù)字濾波器為無限沖擊響應（ InfiniteImpulse Response， IIR）數(shù)字濾波器。 令 ,由數(shù)字濾波器 z域系統(tǒng)函數(shù)可以得到其頻率特性為 ( ) ( ) | ( )| （ ） （ 25） ( ) （ ） （ 26） 式中 | ( )|是數(shù)字濾波器的幅頻特性； （ ） 是相頻特性； ( )是群延遲特性 經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波器功能上可分為：低通濾波器 (LPF)、高通濾波器 (HPF)、帶通濾波器 (BPF)和帶阻濾波器 (BSF)。圖 2— 5是理想數(shù)字濾波器的幅頻特性。 理想數(shù)字濾波器通常有通帶和阻帶兩個頻帶組成，通帶和阻帶之問的幅頻特性產(chǎn)生突變，其單位沖擊脈沖 h（ n）是非因果性的無限長序列，不可實現(xiàn)。為了得到穩(wěn)定、可實現(xiàn)的數(shù)字濾波器非實際數(shù)字濾波器的頻響通常有通帶、阻帶和過渡帶構成；實際數(shù)字濾波器的頻響通常有通帶、阻帶和過渡帶構成，并且通帶和阻帶的幅頻特性也不是恒定不變。以低通數(shù)字濾波器為例，其典型的實際幅頻特性如圖 2— 6所示。圖中， ，是通帶內(nèi)最大衰減； 是通帶內(nèi)數(shù)字相角頻率； 是阻帶內(nèi)最小衰減； 是阻帶數(shù)字相角頻率 [ ， ]之間 是過渡帶。實際應用中，通帶、阻帶紋波也是常用分貝 (dB)表示，且定義 蘭州理工大學畢業(yè)論文 7 0π2 πω 0π2 πω 0π 2 πω 0π 2 πω 圖 25 是理想數(shù)字濾波器的幅頻特性 通 帶過 渡 帶阻 帶0π ω 圖 26 實際低通數(shù)字濾波器的典型幅頻特性 | （ ） | （ ） （ ） （ 27） ( ) | （ ） | （ ） （ ） （ 28） 蘭州理工大學畢業(yè)論文 8 總之， ， ， ， 在數(shù)字濾波器的設計中非常重要，這幾個參數(shù)就統(tǒng)稱為數(shù)字濾波器的技術指標?？梢员硎緸?[(通帶角頻率，通帶衰減 )， (阻帶角頻率，阻帶衰減 )]，即 [( ， )，（ ， ） ]或 [( ， )，（ ， ） ] 設計數(shù)字濾波器時，大多數(shù)場合只需要考慮滿足幅頻特性。但是在一些特殊場合 (如圖象信號處理 )對濾波器的相頻特性也有嚴格的要求。主要希望數(shù)字濾波器具有線性相位特性，保證不同信號成分的正弦信號通過濾波器后的延遲相同。 線性相位系統(tǒng)的相頻特性必須滿足 ( ) （ 29） 式中， 和 為常數(shù)。 數(shù)字濾波器的設計方法 濾波是從分析信號中提取用戶需要的信息，濾去不需要的信號成分或干擾信號成分。根據(jù)不同的設計要求，以及信號與干擾的不同關系，可以從時域、頻域或變換域 (同態(tài) )進行信號濾波設計。 所謂頻域數(shù)字濾波就是要提取或抑制分析信號 x（ n)中某些頻帶的信號成分 η（ n） 。在設計頻域數(shù)字濾波時，要求信號 s（ n)和被濾出信號 η（ n） 在頻域具有可分性。設分析信號 x(n)=s（ n)+ η（ n） ，其中 s（ n)為真實信號， η（ n） 為干擾信號。當 s(n)和η（ n） 的頻帶相互重疊時，就不可能從頻域濾波設計得到真實信號 s(n)。 x(n)=s(n)*h(n) 信號分析過程中，真實信號 s(n)往往會受到干擾信號加性噪聲η（ n）的干擾，由于噪聲頻譜很寬，信號 s（ n)的頻譜和噪聲η（ n）的頻譜肯定會受產(chǎn)生重疊。當信噪比(SNR)較低時，噪聲頻譜甚至會淹沒信號頻譜，也就是說，當信號和噪聲在頻域沒有可分性，只能在時域進行濾波設計，根據(jù)信號和噪聲的統(tǒng)計特性差異將它們分開，常用的設計方法為最小二乘法。 有時真實信號雖然并沒有受到時域加性噪聲的干擾，但因為各種原因卻產(chǎn)生了畸變。最常見的是乘積性畸變和卷積性畸變，即 x(n)=s(n) h(n)或 x(n)=s(n)*h (n)。從這些畸變信號 x(n)中濾出真實信號的過程稱為同態(tài)濾波。 在頻域、時域和同態(tài)濾波器設計中，頻域濾波設計屬于經(jīng)典數(shù)字濾波范疇，時域和同態(tài)濾波設計屬于 現(xiàn)代濾波設計范疇。 數(shù)字濾波器結構 ( ) ∑ ∑ （ 210） 蘭州理工大學畢業(yè)論文 9 對應的差分方程為： ( ) ∑ ( ) ∑ （ ） （ 211） 其中 y(n)由兩部分構成：第一部分 ∑ ( ) 是一個對輸入 x(n)的 M節(jié)延時鏈結構，每節(jié)延時抽頭后加權相加：第二部分 ∑ （ ） )是一個對 Y(n)的延時抽頭后加權相加，因此是一個反饋網(wǎng)絡，這種結構稱為直接型，如圖 27所示 x ( n )y ( n ) 圖 27 直接型 I 結構方框圖 將上式改寫為 (當 M=N 的情況 )： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (∑ ) ∑ （ 212） 由此 H（ z）可視為分予多項式 ∑ 與分母多項式 ∑ 的倒數(shù)所構成的兩個子系統(tǒng)函數(shù)的乘積，這相應于兩個子系統(tǒng)的級聯(lián)。其中第一子系統(tǒng)實現(xiàn)零點為： ( ) （ ） （ ） ∑ （ 213） 故得： ( ) ∑ （ ） （ 214） 其時域表示為： ( ) ∑ （ ） （ 215） 第二子系統(tǒng)實現(xiàn)級點為： ( ) （ ） （ ） ∑ （ 216） 整理以后可得： ( ) ( ) ∑ （ ） （ 217） 其時域表示為： ( ) ( ) ∑ （ ） （ 218） 蘭州理工大學畢業(yè)論文 10 綜上說述可以得到如圖 2— 8的實現(xiàn)結構 b 2b N 1?b 1 b Nb 0z1?z1?z1?z1?z1?z1?w ( n ) w ( n 1 ) w ( n 2 )w ( n N )w ( n )w ( n 1 )w ( n 2 )w ( n N )x ( n )y ( n )a Na 1 a N 1?a 2 圖 28 直接型 I 的變形結構方框圖 如果將圖 28中相同輸出的延遲單元合并成一個，則得到如圖 29所示的結構圖，它比上圖的延遲單元少了一倍， N階濾波器只需要 N級延遲單元，這是實現(xiàn) N階濾波器所必須的最少數(shù)量的延遲單元。這種結構稱為直接型 II，有時將直接型 I簡稱為直接型，將直接型 lI稱為典型型式b 2b 3b1 bNb 0a Na1 a 3a 2 z1?z 1?z 1? z 1?y ( n ) 圖 29 直接型 II 結構方框圖 線性信號流圖理論中有許多運算處理方法，可以在保持輸入和輸出之間的傳輸關系不變的情況下，將信號流圖變換成各種不同的形式。其中流圖轉(zhuǎn)置的方法可導出一種轉(zhuǎn)置濾波器結構，具體地講，就是把網(wǎng)絡中所有支路的方向都顛倒反向，且輸入輸出的位置互相調(diào)換一下。對于單輸入輸出系統(tǒng)來說，倒轉(zhuǎn)后的結構和原結構的系統(tǒng)函數(shù)相同，但對有限字長而言，轉(zhuǎn)置結構與原結構性質(zhì)不同。 直接型 I、 II結構的優(yōu)點是簡單直觀。它們的共同缺點是：系數(shù) ak、 b，對濾波器性能的控制關系不直接，因此調(diào)整不方便。更嚴重的是這種結構的極點位置靈敏度太大，對字長效應太敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，產(chǎn)生較大誤差。 由于直接型結構存在上述缺點，因此一般采用以下結構更具有優(yōu)越性。將式中的分蘭州理工大學畢業(yè)論文 11 子分母表達為因子的形式，即： ( ) ∑ ∑ ∏ ∏ （ 219） 式中 A為歸一化常數(shù)。由于系統(tǒng)函數(shù) H(z)的系數(shù) 、 都是實系數(shù)，故零、 、 只有兩種情況：或者是實根，或者是共軛復根。即 ( ) ∏ ( )∏ ( )( ? ) ∏ ( ) ∏ ( )( ? ) （ 220） 式中 M= +2 ， N= +2 ， 表示實零點， 表示實極點 FIR 數(shù)字濾波器結構 有限長單位脈沖響應濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： ( ) ∑ ( ) （ 221） 其差分方程為： ( ) ∑ ( ) （ ） （ 222） 其基本結構型式有以下幾種： 由上式可以得出如下圖 210所示的直接型結構，這種結構又可以稱為卷積型結構。 z 1?z 1? z 1?x ( n )y ( n )h ( 0 ) h ( N 1 )h ( 2 )h ( 1 )h ( 3 )圖 29 FIR濾波器直接型結構圖 將轉(zhuǎn)置理論應用于上圖可以得到圖（ 2— 5）所示的轉(zhuǎn)置直接型結構 z 1?z 1? z 1?x ( n )y ( n )h ( 0 )h ( N 1 ) h ( 2 ) h ( 1 )h ( 3 )z 1? 蘭州理工大學畢業(yè)論文 12 圖 210 FIR 濾波器轉(zhuǎn)置結構圖 將式中的系統(tǒng)函數(shù) H(z)分解成若干一階和二階多項式的連乘積： ( ) ∏ ( ) ∏ ( ) （ 233） 則可構成如圖 211所示的級聯(lián)型結構。其中 ( ) ( ) ( ) 為一階節(jié)； ( ) ( ) ( ) ( ) 為二階節(jié)。每個一階節(jié)、二階節(jié)可用上圖所示的直接型結構實現(xiàn)。當 = =1時，即可得到下圖 (b)所示的具體結構。這種結構的每一節(jié)都便于控制零點，在需要控制傳輸零點時可以采用。但是它所需要的系數(shù) a比直接型的 h(n)多，所需要的乘法運算也比宜接型多。 x ( n ) y ( n ))(11 zH )(12 zH )(1 zH N )(21 zH )(22 zH )(2 zH N (a)級聯(lián)型結構框圖 z 1? z 1? z 1?a )1(01 a )2(21a )2(11a )1(11 a )2(01x ( n )y ( n ) (b)級聯(lián)型結構框圖 圖 211 FIR 級聯(lián)型結構構成 與 FIR 數(shù)字濾波器的比較 IlR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點可以位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可以用較低的階數(shù)獲得高選擇性，所用存儲單元少，經(jīng)濟而效率高。但這些是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則相位非線性越嚴重。相反， FIR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位，然而由于 FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點固定在原點，所以只能用較高的階數(shù)達到高選擇性，對于同樣的濾波器設計指標， FIR濾波器所要求的階數(shù)可以比 IIR濾波器高 5— 10倍，成本較高，信號延時也較大。如果按相同的選擇性和相同的線性相位要求來說，則 IIR濾波器就必須加全通網(wǎng)絡進行相位校正，同樣要大大增加濾波器的節(jié)數(shù)和復雜性 FIR濾波器可以用非遞歸方法實現(xiàn)，有限精度的計算不會產(chǎn)生振蕩。同時由于量化舍入蘭州理工大學畢業(yè)論文 13 以及系數(shù)的不準確所引起的誤差的影響比 IIR濾波器要小得多。顯然對 fIR濾波器必須留心穩(wěn)定性問題，注意極點是否會位于單位圓之外，另外有限字長效應有時會引起寄生振蕩。再者 FIR濾波器可采用 n叮算法，在相同階數(shù)下，運算速度可以快得多 14J。