【文章內(nèi)容簡介】 究 ， 得到了 各種結(jié)構(gòu)的特點 , 可以根據(jù)應(yīng)用的需要選擇不同的結(jié)構(gòu) ， 來達(dá)到特定的指標(biāo)要求 ，從而發(fā)揮出 IIR 濾波器的最大優(yōu)勢。 IIR濾波器的 差分表示 數(shù)字濾波器一般都具有差分方程形式 ? ? ? ? ? ?01MNmnmny n a x k m b y k n??? ? ? ??? （ 3） 其中 ， x( n)為輸入序列 ， y( n)為輸出序列 ， ma 和 nb 為濾波系數(shù) , N 是濾波器的階數(shù)。當(dāng) kb 為零 ,則有 長春工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 ? ? ? ?0M mmy n a x k m???? （ 4） 其中 ， 式 （ 3） 為 IIR濾波器 ， 式 (4)為 FIR濾波器。 IIR濾波器的傳遞函數(shù) 求 IIR 濾波器的傳遞函數(shù) H(z)時， 應(yīng)把差分方程 【式 （ 3） 】 的兩邊加以 Z變換， 得出： ? ? ? ? ? ?01MNmnmnmnY Z X Z a Z Y Z b Z???????? （ 5） 式中 x(Z)、 Y(Z)分別表示輸入信號與輸出信號的 Z變換。由此，按下述求出傳遞函數(shù)： ? ? ? ?? ? ? ?? ?01M mmmN nnnaZY Z A ZHZ X Z B ZbZ????? ? ??? （ 6） 式中各變量為： （ 1）系數(shù) ma ， nb ： 稱為抽頭系數(shù)或濾波器系數(shù)，是決定濾波器特性的數(shù)值； （ 2） M： 濾波器的分子多項式的階數(shù)； （ 3） N： 濾波器的分母多項式的階數(shù)。 式（ 6） 為有理函數(shù)（由分母多項式與分子多項式構(gòu)成的函數(shù)）， FIR 濾波器的場合是只有分子多項式 A(Z)， 而 IIR 濾波器則還具有分母多項式 B(Z)， 固而會產(chǎn)生種種問題。其中特別 需 要注意的 是穩(wěn)定性問題。在這 里， 使 A(Z)=0的 Z 值稱為濾波器的“零點” ， 使 B(Z)=0 的Z值則稱為“極點” 。 IIR數(shù)字 濾波器的設(shè)計方法 利用模擬濾波器成熟的理論和設(shè)計方法來設(shè)計 IIR 數(shù)字低通濾波器是經(jīng)常用的方法。設(shè)計過程是：按照技術(shù)要求設(shè)計一個模擬低通濾波器，得到模擬濾波器的傳輸函數(shù) G(S)，再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將 G(S)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(Z)。這樣設(shè)計的關(guān)鍵問題就是找這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將 S平面上的 G(S)轉(zhuǎn)換成 Z平面上的 H(Z)。為了保證轉(zhuǎn)換后的 H(Z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提 出兩點要求 ： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2) 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響， S平面的虛軸映射 Z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。 長春工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 將傳輸函數(shù) G(S)從 S平面轉(zhuǎn)換到 Z平面的方法用多種，但工程上常用的是標(biāo)準(zhǔn) Z變換 和雙一階 Z變換。 S— Z變換 的概述 S— Z變換是一種對模擬濾波器的傳遞函數(shù) G(S)加以變換來求數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H(Z)的有效方法，具有以下特點： (1)模擬濾波器的傳遞函數(shù)近似理論是 很 成熟的， 用比較簡 單 的數(shù)學(xué)式表達(dá)出了常見的一 些濾波器 (巴特沃思型、切比雪夫型、貝塞爾型等 )的設(shè)計公式。因此，如果以模擬濾波器的設(shè)計公式作為基礎(chǔ)， 則數(shù)字濾波器的設(shè)計就歸結(jié)為函數(shù)變換，可望簡單化。 (2)對模擬濾波器的工作特性以數(shù)字濾波囂來加以仿真這一點，在應(yīng)用上多很有用。 S— Z變換有標(biāo)準(zhǔn) z變換與雙一階 Z變換 等， 是根據(jù)所要設(shè)計的濾波器的型式 (按低通濾波器、帶通濾波器等加以區(qū)別 )分別利用的。 標(biāo)準(zhǔn) Z變換 這種變換也稱為沖激不變法， 是使模擬濾波器的沖激響應(yīng) g(t)的采樣值等于所設(shè)計的數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng) h(k)，亦即使 ? ? ? ? ? ?| 0 , 1 , 2 , .. .t k Th k g t k??? （ 7） 今設(shè)模擬濾波器的傳遞函數(shù) G(S)由下式表達(dá)： ? ? 1N nn nAGS SS?? ?? （ 8） 通過對式 (8)進(jìn)行拉普拉斯變換反演計算，可得此濾波器的沖激響應(yīng)為 ? ? 1 nK stnng t A e ??? ? （ 9） 代入 (7)式后成為 ? ? ? ? 1| nN S k Tt k T nng k g t A e ?? ??? ? (10) 至此，如果再計算模擬濾波器的沖激響應(yīng)序列 g(k)的 Z變換，就顯然與數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H(Z)相一致。亦即得到 ? ? ? ? ? ?10 0 1 1 0nnNN kS k T S Tkk nnk k n n kH Z g k Z A e Z A e Z? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? （ 11） 長春工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 此無限等比級數(shù)可改寫為 ? ? 11 1 nN nS k Tn AHZ eZ? ??? ?? （ 12） 在這里把式 (12)看作是由 S域向 Z域的變換，就 導(dǎo)出了 STZe? 的關(guān)系（稱為標(biāo)準(zhǔn) Z變換）。 雙一階 Z變換 （即雙線性變化） 這種變換也稱梯形積分法，目的在于克服標(biāo)準(zhǔn) Z 變換不適應(yīng)設(shè)計產(chǎn)生 混疊誤差、頻帶未受限制的濾波器這一缺點。 今把由下述 S— Z變換式 11211 ZS TZ???? ? (13) 所示的 S值代入模擬濾波器的傳遞函數(shù) G(S)中去，就得到傳遞函數(shù)為 ? ? ? ? 1121 1| ZST ZH Z G S ???? ?? （ 14） 的數(shù)字濾波器。通過簡單的考察可知，雙一階 Z 變換是把整個 S 平面映射到 Z 平面的單位圓內(nèi)， 不存在混疊現(xiàn)象，只要模擬濾波器是穩(wěn)定的，那么數(shù)字濾波器就也是穩(wěn)定的。但它們的沖激響應(yīng)與頻率特性切不是一樣的。 把式 (14)中的 S代以 Ajw 、 Z代以 DiwTe ，用 ? ?AG jw 表示模擬 濾波器 G(S)的頻率特性、 ? ?Diw THe 表示數(shù)字濾波器 H(Z)的頻率特性，則 (14)式可以寫成 / 2 / 2/ 2 / 22 1 21 D D DD D Djw T iw T iw TA jw T iw T iw Te e ejw T e T e e???????? (15) 用歐拉公式得出模擬角頻率 Aw 與數(shù)字角頻率 Dw 的關(guān)系為 2 ta n 2DA wTw T? (16) 式 (16)表示了 Aw 與 Dw 之間的畸變亦即變形。 這就是說，雙一階 Z變換是給頻率特性帶來畸變的，它把模擬濾波器的角頻率 0 Aw? ?? 凝聚成為數(shù)字濾波器 的角頻率 0/DwT??? 。因此，在利用雙一階 Z 變換進(jìn)行設(shè)計的場合，當(dāng)確定模擬濾波器的指標(biāo)參數(shù)時，必須把式 (16) 長春工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 加給數(shù)字濾波器角頻率的畸變考慮進(jìn) 來。這稱為預(yù)變形。 利用模擬濾波器設(shè)計 IIR濾波器的 步驟 (1) 將給定的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo) ,按某一變換 (映射 )規(guī)則轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器性能指標(biāo)。 (2) 如果要設(shè)計的不是數(shù)字濾波器 ,則還需要將步驟 (1)中變換所得到相應(yīng)的 (高通 ,帶通 , 帶阻 )模擬濾波器性能指標(biāo)變換成模擬 濾波器的性能指標(biāo)。 這是因為模擬 濾波器才有圖形和表格可以利用。 (3) 用所得到的模擬低通濾波器的性能指標(biāo) ,利用某種模擬濾波器逼近方法 ,設(shè)計并查表求得此模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ,以它作為設(shè)計數(shù)字濾波器的“樣本”。 (4) 利 用與步驟 (1),(2) 中的同一變換規(guī)則 ,將此作為“樣本”的模擬原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)最終變換成所需的數(shù)字各型濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H (z)。 步驟 (1)中的變換規(guī)則就是從模擬濾波器數(shù)字化成為數(shù)字濾波器的方法 ,也就是要把 s 平面映射到 z平面 ,使模擬系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 這種由復(fù)變量 s到復(fù)變量 z之間的映射 (變換 )關(guān)系 ,必須滿足以下兩條基本要求 : 第一 ,H(z)的頻率響應(yīng)必須有可能模仿 Ha(s)的頻率響應(yīng) ,即 s平面的虛軸必須映射到 z平面的單位圓上 ,也就是頻率軸要對應(yīng)。 第二 ,因 果穩(wěn)定的 Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的 H(z)。也就是 s平面的左半平面 Re[ s ] 0 必須映射到 z平面單位圓的內(nèi)部 |z| 1。 “模擬原型”濾波器有多種設(shè)計方法 ,例如 : 巴特沃思型濾波 器 ,切貝雪夫型濾波器 ,橢圓函數(shù)型 (考爾型 )濾波器等。 設(shè)計時 ,是將上述滿足數(shù)字濾波器性能指標(biāo)要求的 ,作為“樣本”的模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器。 長春工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 3 IIR 濾波器的 MATLAB 設(shè)計 與仿真 FDATool界面設(shè)計 FDATool的介紹 FDATool(Filter Designamp。Analysis Tool)是 MATLAB信號處理工具箱里專用的濾波器設(shè)計分析工具， MATLAB (Filter Design Toolbox)。FDATool可以設(shè)計幾乎所有的常規(guī)濾波器，包括 FIR和 IIR的各種設(shè)計方法。它操作簡單，方便靈活。 [7] FDATool的 界面總共分兩大部分 （ 其界面如圖 31所示 ）， 一部分是 Design Filter。在界面的下半部，用來設(shè)置濾波器的設(shè)計參數(shù)；另一部分則是特性區(qū)，在界面的上半部分，用來顯示濾波器的各種特性。 Design Filter 部分主要分為： Filter Type(濾波器類型 )選項，包括 Lowpass(低通 )、 Highpass(高通 )、 Bandpass(帶通 )、 Bandstop(帶阻 )和特殊的 FIR濾波器。 Design Method(設(shè)計方法 )選項，包括 IIR 濾波器的 Butterwotth(巴特沃思 )法、Chebyshev Type I(切比雪夫 I型 )法、 Chebyshev Type II(切比雪夫 II型 )法、 Elliptic(橢圓濾波器 )法和 FIR濾波器的 Equiripple法、 LeastSquares(最小乘 方 )法、 Window(窗函數(shù) )法。 Filter Order(濾波器階數(shù) )選項，定義濾波器的階數(shù)，包括 Specify Order(指定階數(shù) )和 Minimum Order(最小階數(shù) )。在 Specify Order 中填入所要設(shè)計的濾波器的階數(shù) (N 階濾波器， Specify Order=N1)。如果選擇 Minimum Order，則 MATLAB 根據(jù)所選擇的濾波器類型自動使用最小階數(shù)。 Frequency Specifications 選項，可以詳細(xì)定義頻帶的各參數(shù)，包括采樣頻率和頻帶的截止頻率。它的 具體選項由 Filter Type選項和 Design Method選項決定。例如 Bandpass(帶通 )濾波器需要定義 Fstop1(下阻帶截止頻率 )、 Fpass1(通帶下限截止頻率 )、 Fpass2(通帶上限截止頻率 )、 Fstop2(上阻帶截止頻率 )，而 Lowpass(低通 )濾波器只需要定義 Fstop Fpass1。采用窗函數(shù)設(shè)計濾波器時，由于過渡帶是由窗函數(shù)的類型和階數(shù)所決定，所以只需定義通帶截止頻率，而不必定義阻帶參數(shù)。 Magnitude Specifications 選項，可以定義幅值衰減的情況 。例如設(shè)計帶通濾波器時，可以定義 Wstop1(頻率 Fstop1處的幅值衰減 )、 Wpass(通帶范圍內(nèi)的幅值衰減 )、 Wstop2(頻率Fstop2處的幅值衰減 )。當(dāng)采用窗函數(shù)設(shè)計時，通帶截止頻率處的幅值衰減固定為 6db，所以 長春工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 不必定義。 Window Specifications選項，當(dāng)選取采用窗函數(shù)設(shè)計，該選項可定義，它包含了各種窗函數(shù)。 圖 31 濾波器設(shè)計 FDATool 界面 IIR帶通 濾波器設(shè)計實例 要求設(shè)計一個 10 階的帶通 Chebyshev I濾波器，它的通帶范圍是 100 到 200Hz，采樣頻率為 1000Hz， Rp=。 本例中 ， 首先在 Filter Type中選擇 Bandpass(帶通濾波器 )；在 Design Method選項中選擇 IIR，接著在