【文章內容簡介】 定) (316) (317) (318) (319)得 (320) 橢圓濾波器 特點：幅值響應在通帶和阻帶內都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器為窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器[11]是最優(yōu)的，其振幅平方函數(shù)為 (321) 式中，RN(Ω，L)為雅可比橢圓函數(shù)，L是一個表示波紋性質的參量。 圖3 N=5時 的特性曲線 由圖可見，在歸一化通帶內(1≤Ω≤1)，在(0,1)間振蕩，而超過ΩL后，在L2， ∞間振蕩。L越大，ΩL也變大。這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)： 圖3 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù) 圖中ε和A的定義與切比雪夫濾波器相同。 當Ωc、Ωs、ε和A確定后，階次N的確定方法為 ： 確定參數(shù)確定參量N=式中K(k)= 為第一類完全橢圓積分。 用matlab設計數(shù)字濾波器傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器的設計過程復雜，計算工作量大，濾波特性調整困難，影響了它的應用。利用MATLAB信號處理工具箱(Signal Processing Toolbox)[1214]可以快速有效的設計由軟件組成的常規(guī)數(shù)字濾波器的設計方法。給出了使用MATLAB語言進行程序設計和利用信號處理工具箱的FDATool工具進行界面設計的詳細步驟。利用MATLAB設計濾波器，可以隨時對比設計要求和濾波器特性調整參數(shù)，直觀簡便，極大的減輕了工作量，有利于濾波器設計的最優(yōu)化。 FDATool界面FDATool(Filter Design amp。 Analysis Tool)是MATLAB信號處理工具箱里專用的濾波器設計分析工具，(Filter Design Toolbox)。FDATool可以設計幾乎所有的基本的常規(guī)濾波器，包括FIR和IIR的各種設計方法。它操作簡單，方便靈活。FDATool界面總共分兩大部分，一部分是Design Filter，在界面的下半部，用來設置濾波器的設計參數(shù)，另一部分則是特性區(qū)，在界面的上半部分，用來顯示濾波器的各種特性。Design Filter部分主要分為：Filter Type(濾波器類型)選項，包括Lowpass(低通)、Highpass(高通)、Bandpass(帶通)、Bandstop(帶阻)和特殊的FIR濾波器。Design Method(設計方法)選項，包括IIR濾波器的Butterworth(巴特沃思)法、Chebyshev Type I(切比雪夫I型)法、 Chebyshev Type II(切比雪夫II型) 法、Elliptic(橢圓濾波器)法和FIR濾波器的Equiripple法、LeastSquares(最小乘方)法、Window(窗函數(shù))法。Filter Order(濾波器階數(shù))選項，定義濾波器的階數(shù)，包括Specify Order(指定階數(shù))和Minimum Order(最小階數(shù))。在Specify Order中填入所要設計的濾波器的階數(shù)(N階濾波器，Specify Order＝N1)，如果選擇Minimum Order則MATLAB根據(jù)所選擇的濾波器類型自動使用最小階數(shù)。Frenquency Specifications選項，可以詳細定義頻帶的各參數(shù)，包括采樣頻率Fs和頻帶的截止頻率。它的具體選項由Filter Type選項和Design Method選項決定，例如Bandpass(帶通)濾波器需要定義Fstop1(下阻帶截止頻率)、Fpass1(通帶下限截止頻率)、Fpass2(通帶上限截止頻率)、Fstop2(上阻帶截止頻率)，而Lowpass(低通)濾波器只需要定義FstopFpass1。采用窗函數(shù)設計濾波器時，由于過渡帶是由窗函數(shù)的類型和階數(shù)所決定的，所以只需要定義通帶截止頻率，而不必定義阻帶參數(shù)。Magnitude Specifications選項，可以定義幅值衰減的情況。例如設計帶通濾波器時，可以定義Wstop1(頻率Fstop1處的幅值衰減)、Wpass(通帶范圍內的幅值衰減)、Wstop2(頻率Fstop2處的幅值衰減)。當采用窗函數(shù)設計時，通帶截止頻率處的幅值衰減固定為6db，所以不必定義。Window Specifications選項，當選取采用窗函數(shù)設計時，該選項可定義，它包含了各種窗函數(shù)，在通帶內的衰減為6dB。 圖3 FDATool的操作頁面通過菜單選項Analysis可以在特性區(qū)看到所設計濾波器的幅頻響應、相頻響應、零極點配置和濾波器系數(shù)等各種特性。設計完成后將結果保存為*.fda文件。在設計過程中，可以對比濾波器幅頻相頻特性和設計要求，隨時調整參數(shù)和濾波器類型，以便得到最佳效果。其它類型的FIR濾波器和IIR濾波器也都可以使用FDATool來設計。 用Fdatool進行帶通濾波器設計給定的數(shù)字帶通濾波器的參數(shù)是：通帶為45Hz ~ 55Hz，低截止頻率為40Hz，高截止頻率為60Hz，通帶內衰減不大于3db，阻帶衰減大于80db。借助Matlab仿真，可以得到設計成不同類型的濾波器所需的階數(shù)：表3采用不同類型濾波器實現(xiàn)所需的階數(shù)濾波器類型最低階數(shù)穩(wěn)定性FIR濾波器Kaiser窗函數(shù)201穩(wěn)定Blackman窗函數(shù)180穩(wěn)定Equirpple86穩(wěn)定IIR濾波器Butterworth濾波器26穩(wěn)定ChebishevⅡ濾波器16穩(wěn)定橢圓濾波器12穩(wěn)定 可見，F(xiàn)IR濾波器階數(shù)過高，導致的直接結果是消耗的資源較多，成本增加。因此采用IIR濾波器實現(xiàn)比較合適。而在IIR濾波器中，橢圓濾波器的階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。根據(jù)傳遞函數(shù)的形式，巴特沃思和切比雪夫濾波器的傳遞函數(shù)都是一個常數(shù)除以一個多項式，為全極點網絡，僅在無限大阻帶處衰減為無限大，而橢圓函數(shù)濾波器在有限頻率上既有零點又有極點，極零點在通帶內產生等波紋，阻帶內的有限傳輸零點減小了過渡區(qū)，可獲得極為陡峭的衰減特性曲線。綜上考慮，采用橢圓函數(shù)濾波器最為適宜。用以下matlab程序[15]可得到滿足給定條件的12階橢圓濾波器的直接型表示：fs=200。wp=[45 55]*2/fs。ws=[40 60]*2/fs。 ――把截止頻率轉成弧度表示rp=3。rs=80。Nn=512。[n,wn]=ellipord(wp,ws,rp,rs)。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn)。freqz(b,a,Nn,fs)。[z,p,k]=ellip(n,rp,rs,wn)。zplane(z,p)。 圖312階橢圓濾波器的幅頻相應和相頻響應 圖312階橢圓濾波器的零極圖圖36說明12階橢圓濾波器很好的滿足了給定的阻帶和通帶的衰減。圖37說明極點全在單位園內部，因而該橢圓濾波器是穩(wěn)定的。a,b分別為分母與分子的系數(shù)，即得到的直接型表示為 (＝1) (322) 將系統(tǒng)函數(shù)由直接型化成級聯(lián)型由于直接型具有一些共同缺點[16]：(1)系數(shù)對濾波器的性能控制作用不明顯。(2)極點對系數(shù)的變化過于靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差。(3)運算的累計誤差較大。并且在這個設計中，直接型表示時系數(shù)和的最大值與最小值相差9倍，考慮到在乘法器上實現(xiàn)時引入的截斷誤差很大，因此決定采用6個二階節(jié)級聯(lián)來實現(xiàn)。 二階節(jié)系數(shù)的確定用matlab函數(shù)把直接型系數(shù)化成級聯(lián)型二階節(jié)的系數(shù)：G＝數(shù)組SOS的每行表示一個二階節(jié)的系數(shù)，第1～3列分別是分子上、的系數(shù)，第4～6列分別是分母上、的系數(shù)。分配給各二階節(jié)的增益分別為：，，。xg11b1b2ya1a2圖3 二階節(jié)結構方框圖 系數(shù)轉換成二進制碼若采用24位乘法器，用1位整數(shù)位，1位符號位，共22位定點二進制數(shù)進行運算，負數(shù)用補碼表示，由此將減法運算變成累加求和運算[17]。各系數(shù)可用matlab編程[18]轉成二進制補碼，轉換結果如表：表3 各系數(shù)轉成二進制的結果十進制數(shù)定點24位補碼數(shù)000001000001111110010010000001011000010011101001111110100011011000100001110000110001010111100100111110100111101100010111000001011100100111011111000101110001011111100101000011110010000110011100111100001111110110110101110000011110101110001110111100001101111001100100000011110000001001001011001001100000110100101110001101101001111001111001111011000110110100100001110010010110000110000111000100111001001011011111110000001001101000001010可用Matlab程序求截斷后系數(shù)并進行仿真：for i=1：1：6 for j=1：1：6 s= to2(SOS(i,j))。SOS1(i,j)=to10(r)+s。endendr=to2(G)。G1=to10(r)。[B,A] = SOS2TF(SOS1,G1)。 ％轉成直接型freqz(B,A,Nn,fs)。系數(shù)截斷后圖形：圖39 系數(shù)截斷后的幅頻、相頻響應仿真圖形圖310系數(shù)截斷后的零極點圖圖39與圖310表明使用24位乘法器不會引入截斷誤差，通帶與阻帶衰減都符合設計要求。 本章小結比較以上幾種類型的濾波器參數(shù)，在給定的參數(shù)要求下，采用橢圓濾波器可以獲得最佳的幅頻響應特性，具有階數(shù)低，過渡帶窄等優(yōu)點。雖然橢圓濾波器在通帶也會產生波動，但考慮到波動處在可接受的范圍內，仍然符合設計要求。但由直接型傳輸函數(shù)表達式來實現(xiàn)并不實用。因此如前所說，將其分解為多個二階傳輸函數(shù)的級聯(lián)形式。借助Matlab 信號處理工具箱中函數(shù)tf2sos(Transfer function to second order section)將傳遞函數(shù)轉換為二階級聯(lián)形式。對于是數(shù)字信號，需要對先前分析計算中分解獲得的二階子系統(tǒng)的濾波器系數(shù)進行量化，即用一個固定的字長加以表示。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差，由此會導致濾波器的頻率響應出現(xiàn)偏差，嚴重時會使IIR 濾波器的極點移到單位圓之外，使系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了獲得最優(yōu)的濾波器系數(shù)，量化的精度也相當重要，因此這里采用24位乘法器，48位加法器進行運算，仿真結果顯示，不會產生極限環(huán)現(xiàn)象和溢出振蕩。數(shù)字濾波器設計第4章 仿真過程 設定系統(tǒng)的仿真對象對象1：一個含有10Hz、30Hz和60Hz的混合正弦波信號X=sin(2*pi*t*10)+ sin(2*pi*t*30)+ sin(2*pi*t*60),通過一個設計的IIR帶通橢圓濾波器（elliptic）后，使輸入的混合信號中頻率為30Hz的正弦波信號通過，而將頻率為10Hz和60Hz的正弦波信號大大衰減。對象2：一個原始信號為s=sin(2*pi*70*t)+2*sin(2*pi*120*t),抽樣頻率為Fs=1000Hz。由于某種原因，信號被白噪聲污染，實際獲得的信號為sn=s+randn(size(t)),現(xiàn)通過一個設計的FIR濾波器恢復出原始信號。 系統(tǒng)對象濾波器設計方法對象1濾波器設計方法：MATLAB信號處理工具箱提供了各種濾波器設計函數(shù)及濾波器實現(xiàn)函數(shù),根據(jù)本系統(tǒng)對象,采用ellipap函數(shù)設計創(chuàng)建一低通模擬橢圓濾波器,然后再采用lp2bp函數(shù)將模擬低通；濾波器轉換成模擬帶通濾波器,最后采用bilinear函數(shù)現(xiàn)雙線性變換法把模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器。ellipap函數(shù)調用格式為[z,p,k]=ellipap(n，rp，rs),[10]其中n為濾波器階數(shù),rp為該濾波器在通帶內的最大衰減,rs為在阻帶內的最小衰減；lb2bp函數(shù)的調用格式為[At,Bt,Ct,Dt]=lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw),其中Wo為中心頻率，Bw為帶寬；[At1,Bt1,Ct1,Dt1]=bilinear(At,Bt,Ct,Dt,Fs)，其中Fs為抽樣頻率。濾波器技術指標：通帶下截止頻率Wp1=20Hz，通帶下截至止頻率Wp2=40Hz,，在通帶內的最小衰減rs為40，抽樣頻率Fs為200Hz。對象2濾波器設計方法：由于白噪聲分布在整個頻帶，所以需要在不衰減原信號的前提下，對整個頻帶進行濾波，設計一個帶過渡帶的多帶FIR濾波器。采用firls函數(shù)，其調用格式為b=firls(n,f,m)，其中n為濾波器階數(shù)，f為轉換頻率向量，在0到1之間；m為濾波器幅頻響應中的頻帶增益向量。濾波器技術指標:在[65/500 75/500](即[ ]段和[115/500 125/500](即[ ])段頻帶內的幅度是1，在[0 60/500](即[0 ])段、[80/500 110