【正文】 ， 每一橫帶的右半部分映射到 Z平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上， 軸上每一段 都對應(yīng)于 繞單位圓一周。 nTtthnh ?? )()(1( ) ,( ) [ ]Hsh t L H s??如 果 已 知則 有 ： （ ）則可由下式求的 H（ z）： )]([)]([)( nThZnhZzH ??下面討論兩種常用的映射變換方法。 N用來求巴特沃思多項(xiàng)式， 用來反歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。 ? 頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準(zhǔn)頻率 （ 濾波器的截止頻率 ） ? 計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率 ， 進(jìn)行反歸一化 ? 頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通 、 帶通 、 帶阻等其它類型的濾波器的變換方法 3 . 從模方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(s) 當(dāng)不含有源器件，作為一個因果穩(wěn)定、物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)必須滿足的條件 | ( )|H j? 2a、是一個具有實(shí)系數(shù)的 s有理函數(shù) )(/)()( sDsNsH ?b、所有極點(diǎn)必須全部分布在 s的左半平面內(nèi) c、 分子多項(xiàng)式式 N(s)的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式D(s)的階次 —— 正實(shí)函數(shù) 實(shí)函數(shù)的傅立葉變換存在共軛對稱的性質(zhì) H j H j* ( ) ( )? ?? ?)()(|)(| 2 ????? jHjHjH ()( sHsHjs ????| ( )| ( ) * ( ) ( ) ( )H j H j H j H j H j? ? ? ? ?2 ? ? ?有 得平面的虛軸，解析延拓代表 sj?從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法 a、解析延拓 ,令 s= 代入模方函數(shù)得到 , 并求其零極點(diǎn) j? H s H s( ) ( )?b、 取 所有在左半平面的極點(diǎn)作為 的極點(diǎn) )(sHH s H s( ) ( )?c、按需要的相位條件 (最小相位 ,混合相位等 )取 一半的零點(diǎn)構(gòu)成 的零點(diǎn) )(sHH s H s( ) ( )?4． 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 逼近問題 pAsA：通帶衰減 ：阻帶衰減 ??,：與通帶衰減、阻帶衰減有關(guān)的系數(shù) ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 p?s?尋找一個恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性 —— 所謂逼近問題 最常用的具有優(yōu)良性能的濾波器： ? 巴特沃思 (Butterworth)濾波器 ? 切比雪夫 (Chebyshev)濾波器 ? 橢圓 (elliptic)函數(shù)或考爾（ Cauer）濾波器 ? 實(shí)現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器 211 0 l o g ( )1pA ??? ?211 0 l o g ( )1sA ??? ?之間的關(guān)系、與 sP AA?? ,6． 2． 2巴特沃思 Butterworth低通濾波器 1．基本性質(zhì) BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù) BW的低通模平方函數(shù)表示 ,2,1)/(1 1|)(| 22 ??????? NjjjH Nc指定 、 后，帶 到上式，得 pAp? p???0 . 122211| ( ) | 1 01 ( / ) 1pAp NpcHj ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?10 10 1. A p13 ＝時，＝當(dāng) ?dBA p指定 、 后，帶 到上式，得 sAs? s???0 . 122211| ( ) | 1 01 ( / ) 1sAs NscHj ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?10 10 1. A s用 3dB截止頻率 來規(guī)一化：對頻率進(jìn)行 ，下式變?yōu)? ?c ? ?/ c,2,1)/(11|)(|22 ??????? NjjjH Nc| ( )|( )H j N??2211??討論： | ( )| ( )H j N? ?2 211? ?當(dāng) =0 時 ， =1 ,取最大值 ?| ( )|H j? 2當(dāng) 時 ， =,取 3dB值 )(1 c???| ( )|H j? 2? ? 1)(/,1/ 22 接近時，很小，通帶 ???????? jHNNcc? ? 0)(/,1/ 22 接近時，很大，通帶 ???????? jHNNcc阻帶內(nèi)，由于 | ( )|( )H j jj cN? ??221? 或 A H j N jjsc? ? ?10 202l g | ( )| l g ( )? ??幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為 6N db/倍頻程。第 6章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波類型與指標(biāo) 模擬濾波器設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì) IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)計(jì) IIR濾波器的雙線性變換法 設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器頻率變換法 IIR數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 第 6章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 濾波的目的 ? 為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例 ? 廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計(jì) ?信號的檢測 :確定在干擾背景中信號是否存在 ?信號參量的估計(jì) :為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值 數(shù)字濾波類型與指標(biāo) 濾波技術(shù)包括 : ? 濾波器設(shè)計(jì) :根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)， ? 濾波過程的實(shí)現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對輸入信號的進(jìn)行濾波的目的 數(shù)字濾波器 ? 具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng) ? 廣義上 ， 任何線性時不變離散系統(tǒng)都是一個數(shù)字濾波器 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的任務(wù) ? 尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng) ， 使其系統(tǒng)函數(shù) H(z)具有指定的頻率特性 ???? ??0)()()(nnjezj enhzHeHj??????? ??0)()()(nnjezj enhzHeHj???對因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)： )( ?jeH :濾波器的傳輸函數(shù) H(z):系統(tǒng)函數(shù) h(n) :濾波器的單位脈沖響應(yīng) )()()( ??? ? jj eHeH ?)]([Im)]([Re)( 22 ??? jj eHeHH ??)](R e [)](I m [)(???? jjeHeHa r c t g?)(?H ： 幅度響應(yīng) )(?? ： 相位響應(yīng) DF按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通 特點(diǎn)為 ?數(shù)字頻率以 周期 ?2?頻率特性只限于 范圍，依取樣定理， 對應(yīng)于實(shí)際模擬抽樣頻率的一半 ?? ?)( sfT ??????頻率變量以數(shù)字頻率 表示 其中 模擬角頻率， T抽樣時間間隔， fs 抽樣頻率 ? ??理想濾波器的頻率響應(yīng) 0 s?p??1p? ：通帶波紋 s? ：阻帶波紋 ?? ：過渡帶 ：通帶截止頻率 p?：阻帶截止頻率 s?DF的性能要求（低通為例） 1 p??1 p??s?p?s? ? ?) (?j e H從信號不失真角度講通常要求 ? 相位線性 ???? ??)( 為時延常數(shù)?– 具有群恒時延特性 常數(shù)??? )()(?????dd)(??相位響應(yīng) 2． IIR和 FIR數(shù)字濾波器 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通常可表示成的有理分式 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)則可表示為的多項(xiàng)式 設(shè)計(jì)過程一般包括以下三個基本問題： ? 根據(jù)實(shí)際要求確定濾波器性能指標(biāo)； ? 用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個指標(biāo)； ? 用一個有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個傳輸函數(shù) ?問題 3與實(shí)際的要求及實(shí)現(xiàn)的硬件條件有關(guān) ?本章主要討論問題 2，即系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì) (或逼近 )問題。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性 | ( )| ( )H j N? ?2 211? ?上式的臺勞級數(shù)展開為 ： ???????? NNjH 422 1|)(|12,2,1,0|)(| 02 ????? ?? NkjHddk? =0處函數(shù)對 2N— l階導(dǎo)數(shù)都等于零 —— 曲線在 =0附近是最 “ 平坦 ” ,—— 巴特沃思濾波器又叫做 “ 最大平坦濾波器 ” ? ? 歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性 2．設(shè)計(jì)過程 (a)按給定指標(biāo)確定階次 N 222 )( ?? ??? Nps)/l g ()]110/()110l g [(21)/l g ()/l g ( psAApspsN???????? ??)/l g ()110l g ()/l g ()l g ()/l g ()/l g ( csAcscssN?????????? ???實(shí)際計(jì)算時，要對上式求得的數(shù)值取整加 1。 ssPp AA , ???c?c?c6． 2． 3 切比雪夫?yàn)V波器 6． 3 設(shè)計(jì) IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù) Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) H（ z），這歸根到底是一個由 S平面到 Z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個基本原則： 1） H（ z）的頻響要能模仿 Ha(s)的頻響，即 S平面的虛軸應(yīng)映射到 Z平面的單位圓上。 方法 ：將 H(s)表示為部分分式形式 kkNk ssAsH?? ?? 1)(? 其拉氏反變換為 ? 得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) ? 對上式兩邊取 Z變換得 )()(1tueAth tskNkk?????????NknTskNknTsk nueAnTueAnhkk11)()()()(11 1)( ?? ?? ? zeAzH Ts kNk k（ 623） 根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系 ??????????? ??maa mTjsHTsH?21)(?推導(dǎo)理想采樣信號的拉氏變換與采樣序列的 Z 變換之間存在的 S 平面與 Z 平面的映射關(guān)系。 T?2?j?0T??T?3T?3?T?)Im (zj)Re( z0?S 平面 Z 平面 ??? ~: ? 應(yīng)指出， Z=esT的映射關(guān)系反映的 是 Ha(s) 的周期延拓與 H（ Z）的關(guān)系，而不是 Ha(s) 本身與 H（ Z）的關(guān)系 ，因此，使用脈沖響應(yīng) 不變法時，從 Ha(s)到 H(z)并沒有一個由 S平 面到 Z平面的一一對應(yīng)的簡單代數(shù)映射關(guān)系， 即沒有一個 S=f(z)代數(shù)關(guān)系式。 例 將一個具有如下系統(tǒng)函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化 。 k H zfsr a dfT cccc 102,/102022 35 ???????? ? ????有由 ,Tcc ???解：先計(jì)算模擬截止頻率， 設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器分三步： 4,1,))((1)(8)142(22??????????kessssssHkjka?第一步 查巴特沃斯數(shù)字低通濾波器原型表 ， 求得系統(tǒng)函數(shù) 第二步 部分分式分解并求 Ak H sAs sAs skakkkkk i i k( ) ,( ), , ,?????? ?? ?14 4 11 4?第三步 將 代入下式， kck sA 及、 ?整理并化簡求得 H(z)的實(shí)系數(shù)二次形式 H zAe zkNk cs k c( ) ? ????111??H zAe zkk cs k c( ) ? ????1411??? ?? ? ?? ? ? ?? ??? ??? ??101 84776