【正文】 抽樣時(shí)間間隔， fs 抽樣頻率 ? ??理想濾波器的頻率響應(yīng) 0 s?p??1p? ：通帶波紋 s? ：阻帶波紋 ?? ：過渡帶 ：通帶截止頻率 p?：阻帶截止頻率 s?DF的性能要求（低通為例） 1 p??1 p??s?p?s? ? ?) (?j e H從信號不失真角度講通常要求 ? 相位線性 ???? ??)( 為時(shí)延常數(shù)?– 具有群恒時(shí)延特性 常數(shù)??? )()(?????dd)(??相位響應(yīng) 2． IIR和 FIR數(shù)字濾波器 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通常可表示成的有理分式 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)則可表示為的多項(xiàng)式 設(shè)計(jì)過程一般包括以下三個(gè)基本問題： ? 根據(jù)實(shí)際要求確定濾波器性能指標(biāo)； ? 用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)指標(biāo)； ? 用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)傳輸函數(shù) ?問題 3與實(shí)際的要求及實(shí)現(xiàn)的硬件條件有關(guān) ?本章主要討論問題 2，即系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì) (或逼近 )問題。 3．設(shè)計(jì) IIR濾波器的幾種方法 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為的有理分式 11101)(????????zazbzHkNkkNk? 設(shè)計(jì) IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定 H(z)的階數(shù) N（通常稱 N為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項(xiàng)式的系數(shù) ?? jezjkk zHeHba ?? )()(，使其、 滿足指定的頻率特性 (1)利用模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì) 模擬濾波器研究較早，理論已經(jīng)十分成熟，有許多簡單而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑O(shè)計(jì)公式和大量的圖表可以利用，利用這些現(xiàn)有技術(shù)來解決數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題 采用這種方法時(shí)，要先要設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器 這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等 當(dāng)把模擬濾波器的 H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的 H(z) 時(shí)，要實(shí)現(xiàn) S平面向 Z平面的映射，必須滿足兩個(gè)條件 必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致 ? 要求變換后代表 S平面的虛軸 jΩ應(yīng)映射到 Z平面的單位圓 ? 且數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器頻率響應(yīng)的形狀應(yīng)基本保持不變； 因果穩(wěn)定的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器傳輸函數(shù) H(z)后，仍然是因果穩(wěn)定的 ? 要求 S平面左半平面的極點(diǎn)必須映射到 Z平面的單位圓內(nèi) 兩種常用的方法 ? 脈沖響應(yīng)不變法：從時(shí)域的角度出發(fā)進(jìn)行映射 ? 雙線性不變法：從頻域角度出發(fā)進(jìn)行映射 (2)利用最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行 CAD設(shè)計(jì) 若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復(fù)雜，可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) (CAD)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)思想 )( ?jd eH 希望濾波器的幅頻響應(yīng) ： )( ?jeH 設(shè)計(jì) 濾波器的幅頻響應(yīng) ： ? 選擇一種最優(yōu)化的準(zhǔn)則，例如采用最小均方誤差準(zhǔn)則 )()( ?? jjd eHeH 、設(shè)在指定的一組離散的頻率點(diǎn) Mii ,2,1},{ ???的均方誤差 221[ ( ) ( ) ]iiM jjdiH e H e???????? 求解 H(z)的系數(shù) ，、 kk ba 使 均方誤差 最小 ? 當(dāng) 濾波器階數(shù) N 較高時(shí)， 轉(zhuǎn)換為 一個(gè)多變量最優(yōu)化問題，需要大量的迭代運(yùn)算，因此必須采用 CAD的方法。 ? 頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準(zhǔn)頻率 （ 濾波器的截止頻率 ） ? 計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率 ， 進(jìn)行反歸一化 ? 頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通 、 帶通 、 帶阻等其它類型的濾波器的變換方法 3 . 從模方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(s) 當(dāng)不含有源器件，作為一個(gè)因果穩(wěn)定、物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)必須滿足的條件 | ( )|H j? 2a、是一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的 s有理函數(shù) )(/)()( sDsNsH ?b、所有極點(diǎn)必須全部分布在 s的左半平面內(nèi) c、 分子多項(xiàng)式式 N(s)的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式D(s)的階次 —— 正實(shí)函數(shù) 實(shí)函數(shù)的傅立葉變換存在共軛對稱的性質(zhì) H j H j* ( ) ( )? ?? ?)()(|)(| 2 ????? jHjHjH ()( sHsHjs ????| ( )| ( ) * ( ) ( ) ( )H j H j H j H j H j? ? ? ? ?2 ? ? ?有 得平面的虛軸，解析延拓代表 sj?從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法 a、解析延拓 ,令 s= 代入模方函數(shù)得到 , 并求其零極點(diǎn) j? H s H s( ) ( )?b、 取 所有在左半平面的極點(diǎn)作為 的極點(diǎn) )(sHH s H s( ) ( )?c、按需要的相位條件 (最小相位 ,混合相位等 )取 一半的零點(diǎn)構(gòu)成 的零點(diǎn) )(sHH s H s( ) ( )?4． 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 逼近問題 pAsA：通帶衰減 ：阻帶衰減 ??,：與通帶衰減、阻帶衰減有關(guān)的系數(shù) ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 p?s?尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性 —— 所謂逼近問題 最常用的具有優(yōu)良性能的濾波器： ? 巴特沃思 (Butterworth)濾波器 ? 切比雪夫 (Chebyshev)濾波器 ? 橢圓 (elliptic)函數(shù)或考爾（ Cauer）濾波器 ? 實(shí)現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器 211 0 l o g ( )1pA ??? ?211 0 l o g ( )1sA ??? ?之間的關(guān)系、與 sP AA?? ,6． 2． 2巴特沃思 Butterworth低通濾波器 1．基本性質(zhì) BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù) BW的低通模平方函數(shù)表示 ,2,1)/(1 1|)(| 22 ??????? NjjjH Nc指定 、 后，帶 到上式，得 pAp? p???0 . 122211| ( ) | 1 01 ( / ) 1pAp NpcHj ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?10 10 1. A p13 ＝時(shí)，＝當(dāng) ?dBA p指定 、 后，帶 到上式，得 sAs? s???0 . 122211| ( ) | 1 01 ( / ) 1sAs NscHj ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?10 10 1. A s用 3dB截止頻率 來規(guī)一化：對頻率進(jìn)行 ，下式變?yōu)? ?c ? ?/ c,2,1)/(11|)(|22 ??????? NjjjH Nc| ( )|( )H j N??2211??討論： | ( )| ( )H j N? ?2 211? ?當(dāng) =0 時(shí) ， =1 ,取最大值 ?| ( )|H j? 2當(dāng) 時(shí) ， =,取 3dB值 )(1 c???| ( )|H j? 2? ? 1)(/,1/ 22 接近時(shí)，很小，通帶 ???????? jHNNcc? ? 0)(/,1/ 22 接近時(shí)，很大，通帶 ???????? jHNNcc阻帶內(nèi)，由于 | ( )|( )H j jj cN? ??221? 或 A H j N jjsc? ? ?10 202l g | ( )| l g ( )? ??幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為 6N db/倍頻程。 若給定的指標(biāo) =3dB, 即通帶邊頻 時(shí) , ε =1,可求得 cp ???pA(b)從模方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù) H(s) ①求得極點(diǎn) ,2,1)/(1 1|)(| 22 ??????? NjjjH Nc帶入上式，得：?? js0)(1 2 ??? Ncjs?)12()1( ??? kje由于Nkes NNkjck 2,2,12/)12( ???? ?? ?分析討論 ?c在歸一化頻率的情況 =1， 極點(diǎn)均勻分布在單位圓上 Nkes NNkjk 2,2,12/)12( ??? ?? ?對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) ,它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在 s的左半平面上 ②系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù) )(1)(1iNissAsH????對于低通濾波器 ， 為了保證在頻率零點(diǎn) =0處 ， =1， 可取 ?|)(| ?jH????NiiN sA1)1()()1()(1 iiNiNssssH??? ??因此得 例 621舉例說明系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器 ， 使其滿足以下指標(biāo) : 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB， 阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dB p?Ap s?As解 :由于通帶邊頻就是 3dB 截止頻率，即 cp ???1110 ??? pA? ??? sA?確定階次 N ， )/l g ( )/l g ( ?????csN ?? 3?N取求左半平面的極點(diǎn) : s e kk c j k N N? ?? ?? ( ) / , ,2 1 2 1 2 3?,3/21 ?jc es ?? ,2 ?jc es ?? s ec j3 2 3? ?? ? /得極點(diǎn)： 構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) H(s)為 H s s s ss s s s s s s s scc c c( ) ( )( )( )? ?? ? ? ? ? ? ?1 2 31 2 333 2 2 32 2?? ? ?相對截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) ?c H sa ( )H s s s sa ( ) ? ? ? ?12 2 13 2③一般 N階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) 表示 H ss s a s a s a s saiNiNN N( )( )???? ? ? ? ?????1 1111 2211?是 =1時(shí)的極點(diǎn)，分布在單位圓上 si ?c分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過查表求得 ,見表 521 表 621 巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù) N a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 表 622 巴特沃思多項(xiàng)式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 項(xiàng) 式 1 s+1 2 s2++1 3 (s+1)(s2+s+1) 4 (s2++1)(s2++1) 5 (s+1)(s2++1)(s2++1) 6 (s2++1)(s2 ++1)(s2 ++1) 7 (s+1)(s2++1)(s2++1)(s2++1) 8 (s2++1)(s2++1)(s2++1)(s2++1) 9 (s+1)(s2++1)(s2+s+1)(s2++1)(s2++1) 上述歸一化公式和表格是相對 3dB 截止頻率 給出的。 N用來求巴特沃思多項(xiàng)式， 用來反歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。 2） Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成 H（ z）后保持不變，即 S平面的左半平面 Re{S}＜ 0 應(yīng)映射到 Z平面的單位圓以內(nèi) |Z|1。 nTtthnh ?? )()(1( ) ,( ) [ ]Hsh t L H s??如 果 已 知?jiǎng)t 有 ： （ ）則可由下式求的 H（ z）： )]([)]([)( nThZnhZzH ??下面討論兩種常用的映射變換方法。 ?? ?? ???????????????????????????nn s TnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()(])()([)(?aaaa?????????nnznhzH )()(sTez ?s平面與 z平面的映射關(guān)系 以上表明，采用