【正文】 由以上分析得變換關(guān)系： （ 1） 或 （ 2） ??? ???00~0~0~~00????????????????????? ~~0 ??? ，?2?1)( 1122211211????????????zrzrrzrzzgu1122212????????????????jjjjjererreree確定 r1, r2 ： 把變換關(guān)系 代入（ 2）式得 ： 其中 ， r1, r2代入（ 2）式，得圖 4（ b） ,此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。 ????????????????????????????1122221111122212122212??????????jjjjjjjjjjererrereeererrereecc把變換關(guān)系 代入（ 2）式得 ： 消去 r1，得： 令 cc ???? ??? 21 ,)()()()(1212121222111122)()(2??????????????????????jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc????????????????????????????2)2(12 ctgtgk ??? ??確定 r1, r2 ： 可證明， 其中 r1,r2代入（ 2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖 3（ b）。 ，即將 Z變換成 Z即可 —— 旋轉(zhuǎn)變換 11111)( ????????ZZZGz??將下式中的 用 代替， 1?Z 1??Z得到低通到高通的變換 ???????????????1111 ZZz???????? ??????? ???2c os2c os cccc ?????圖 3 (a) LPBP變換 1?0?2??c?c??????003．?dāng)?shù)字低通 — 數(shù)字帶通 LPBP變換把帶通的中心頻率 故 N=2。由全通函數(shù) 相角變化為 ，可確定此處階數(shù)應(yīng)為 ，故變換函數(shù) 為一階全通函數(shù) ? ?? ??N 1?N11111)( ????????ZZZGz???? jj eZez ?? ,帶入 ，注意 ?為實數(shù)。 )(zHL )(ZHd)( 1?ZG設(shè) 和 分別為 z 平面和 Z 平面的數(shù)字頻率變量，即 ? ??jez ? ?jeZ ?得帶入 )( 11 ?? ? ZGz)](a r g [|)(|)( ???? jeGjjj eeGeGe ??? ??有： 1|)(| ?? ?jeG)](a r g [ ?? jeG ???表明函數(shù) 在單位圓上的幅度必須恒等于 1—— 全通函數(shù) ， 任何全通函數(shù)都可以表示為 ????????? Ni iiZZZG11*111)(??)( 1?ZG全通函數(shù)的特點 保證極點在單位圓內(nèi)，即 ，以保證變換后穩(wěn)定性不變 1|| ?i?????????? Ni iiZZZG11*111)(??)( 1?ZG 的所有零點都是其極點的共軛倒數(shù) ， )/1( *i?當(dāng) 由 0變到 時，全通函數(shù)相角 的變化量 為 。由下式 sANcssjH22 10)/(11|)(| ???????得： ])/(1 1[l og10 210 NcssA ?????代入 和 及 N=3，求得 ?c s?dBA s ?例 653設(shè)計的帶通濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng) 6． 5． 2 數(shù)字域頻率變換法 在已知數(shù)字低通濾波器時，通過在 Z域內(nèi)的數(shù)字頻域變換得到所需類型的數(shù)字濾波器 假定變換前的平面為 z平面，變換后的為 Z平面，這種變換就是要將 z平面的系統(tǒng)函數(shù) 映射成 Z平面的系統(tǒng)函數(shù) 。并求阻帶的最小衰減。 ??? ? ??? 2~由0~?? 由 ?? ~0??? ?????????22kk ctgT ?例 ： 采樣 設(shè)計一個三階切比雪夫高通 DF， 其通過頻率 （ 但不必考慮 以上的頻率分量 ） ， 通帶內(nèi)損耗不大于 1dB。 高通變換的計算步驟和低通變換一樣 。 ?j????????????????jj c t gTeeTseZ jjj22112,???? 時????????? 22 ?c tgT如圖 即 映射到 即 映射到 即 圖 1 高通變換頻率關(guān)系 這一曲線的形狀與雙線性變換時的頻率非線性關(guān)系曲線相對應(yīng) ， 只是將 坐標(biāo)倒置 ， 因而通過這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通 ,如圖 2。因此 ,雙線性變換法使過渡帶變窄 ,對頻率的選擇性改善 ,而脈沖響應(yīng)不變法存在混淆 ,且沒有傳輸零點 。 幅值 / d B 39。 頻率 / H z 39。 g r i d 。 39。 . 39。 f = w / p i * 2 0 0 0 。 [ n u m 2 , d e n 2 ] = b i l i n e a r ( B , A , 4 0 0 0 ) 。 s 39。 [ h 1 , w ] = f r e q z ( n u m 1 , d e n 1 ) 。 )。 311211111121111211211)()(11??????????????????????????????????????????????zzzzzzsHZHzzTsa? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 圖 1 三階 Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響 脈沖響應(yīng)不變法 雙線性變換法 fs/2 我們也可以用 MA T L A B 完成設(shè)計，在 MA T L A B 中相關(guān)的語句有b u t t e r （ 巴特沃茲濾波器）、 i m p i n v a r （ 脈沖響應(yīng)不變法 ）、b i l i n e a r （ 雙線性變換），具體的程序如下：[B , A ] = b u t t e r ( 3 , 2 * p i * 1 0 0 0 , 39。 最后得： sc ff /2111 20 55 20 )(???? ??????? zzzzZHC?K HzfK Hzf cs 10,40 ??K HzfK Hzf cs 1,4 ?? b. 雙線性變換法 （ 一 ） 首先確定數(shù)字域臨界頻率 ??? ?? Tf ccTtgTcc222 ????????? ?cs ?/32 )/()/(2)/(211)(ccca ssssH ???????Tc /2??（ 二 ） 根據(jù)頻率的非線性關(guān)系 ， 確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率 (三 ) 以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將 代入上式 。為此，實際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時稍作一點修改，即求出 H（ Z）后，再乘以因子 T,使 H（ Z）只與 有關(guān)，即只與 fc和 fs的相對值 有關(guān)，而與采樣頻率 fs無直接關(guān)系。, ?jcc ecAsA ????????2/)31(,3/。 解： a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的 ， 所以可直接按 Ωc =2πfc設(shè)計 Ha(s)。 例 1 設(shè)采樣周期 ,設(shè)計一個三階巴特沃茲 LP濾波器 ,其 3dB截止頻率 fc=1khz。 2） 由變換關(guān)系將 {ωk}映射到模擬域 ， 得出模擬濾波器的臨界頻率值 {Ωk}。 置換過程 : ?????????????