【正文】 ?????? 11112 112)()(11zzTHsHzH azzTsa??????????? 22)()(22??? tgTjHjHeH atgTaj這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便 捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài) 響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他 情況下，對(duì)于 IIR的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變 換。 ３ )計(jì)算 H(Z) 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單 。 例如 ， 一個(gè)模擬微分器 ， 它的幅 度與頻率是直線關(guān)系 ，但通過(guò)雙線性變換后 ， 就不可能得到數(shù)字微分器 bk t gjHeHbkjHtgj ?????????? 2)()()(2???b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。1|| ??? zz 時(shí)?時(shí) 小結(jié) 1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)： S平 面與 Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴(yán)重 非線性關(guān)系得到的），即整個(gè) jΩ軸單值的對(duì)應(yīng)于單位 圓一周，關(guān)系式為： ????????22 ?tgT可見(jiàn)， ω和 Ω為非線性關(guān)系，如圖所示。 2 1 2 ()21jjes j tg jTT e??????? ? ? ??,?jez ?令 11211zsT z?????帶入表達(dá)式 得： 說(shuō)明 S平面的虛軸 映射成了 Z平面的單位圓 s j? ?? ?令 , 帶入表達(dá)式 1 / 21 / 2TszTs???得： 即 s左半平面映射在單位圓內(nèi)， s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過(guò)雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。 實(shí)現(xiàn)方法： 通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 ， 將 Ω 1映射到 Z平面的單位圓上 Tsez 1?通常取 C=2/T, TsTseecTscs1111)2(th 1 ??????????????????zzTsTsez 1?再將 S1 平面通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面，即令 將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè) S平面，則得到 S平面到 S1 最后得 S平面與 Z 雙線性換法的主要優(yōu)點(diǎn)是 S平面與 Z平面一一單值對(duì)應(yīng) ，S平面的虛軸 (整個(gè) jΩ)對(duì)應(yīng)于 Z平面 單位圓的一周 ， S平面的Ω=0處對(duì)應(yīng)于 Z平面的 ω=0處 ， 對(duì)應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折疊頻率處 ， 所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng) 。 2s?6． 4 設(shè)計(jì) IIR濾波器的雙線性變換法 1．設(shè)計(jì)方法 )( ?jH)( ?jeH 從頻域響應(yīng)出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng) ， 逼近模擬濾波器的頻域響應(yīng) ,進(jìn)而求出 H(z)。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法 2)在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng) TjHeHaj /)()( ?? ???? 3)如果 Ha(s)是穩(wěn)定的 ， 即其極點(diǎn)在 S左半平面 ， 映射后得到的 H(Z)也是穩(wěn)定的 。 k H zfsr a dfT cccc 102,/102022 35 ???????? ? ????有由 ,Tcc ???解：先計(jì)算模擬截止頻率， 設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器分三步： 4,1,))((1)(8)142(22??????????kessssssHkjka?第一步 查巴特沃斯數(shù)字低通濾波器原型表 ， 求得系統(tǒng)函數(shù) 第二步 部分分式分解并求 Ak H sAs sAs skakkkkk i i k( ) ,( ), , ,?????? ?? ?14 4 11 4?第三步 將 代入下式， kck sA 及、 ?整理并化簡(jiǎn)求得 H(z)的實(shí)系數(shù)二次形式 H zAe zkNk cs k c( ) ? ????111??H zAe zkk cs k c( ) ? ????1411??? ?? ? ?? ? ? ?? ??? ??? ??101 84776 0 884821 1 31495 0 618231 84776 0 409811 1 08704 0 3131711 211 2. .. .. .. .zz zzz z小結(jié) 1)脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的， ω＝ ΩΤ， ω與 Ω 是線性關(guān)系。我們只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。 例 將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化 。模擬濾波器頻響 在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小， 這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾 波器才能得到良好的效果。 T?2?j?0T??T?3T?3?T?)Im (zj)Re( z0?S 平面 Z 平面 ??? ~: ? 應(yīng)指出， Z=esT的映射關(guān)系反映的 是 Ha(s) 的周期延拓與 H（ Z）的關(guān)系，而不是 Ha(s) 本身與 H（ Z）的關(guān)系 ，因此，使用脈沖響應(yīng) 不變法時(shí)，從 Ha(s)到 H(z)并沒(méi)有一個(gè)由 S平 面到 Z平面的一一對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系， 即沒(méi)有一個(gè) S=f(z)代數(shù)關(guān)系式。 STez? 如果模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是穩(wěn)定的，其極點(diǎn)應(yīng)位于左半平面 11 1)( ?? ?? ?zeAzHTskNkk0][ ?ke sR 對(duì)應(yīng) Z平面的極點(diǎn)有 1?? Tsk kez 位于單位園內(nèi)。 方法 ：將 H(s)表示為部分分式形式 kkNk ssAsH?? ?? 1)(? 其拉氏反變換為 ? 得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) ? 對(duì)上式兩邊取 Z變換得 )()(1tueAth tskNkk?????????NknTskNknTsk nueAnTueAnhkk11)()()()(11 1)( ?? ?? ? zeAzH Ts kNk k（ 623） 根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系 ??????????? ??maa mTjsHTsH?21)(?推導(dǎo)理想采樣信號(hào)的拉氏變換與采樣序列的 Z 變換之間存在的 S 平面與 Z 平面的映射關(guān)系。 1．脈沖響應(yīng)不變法 原理： 從時(shí)域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) h(t)的抽樣值。 ssPp AA , ???c?c?c6． 2． 3 切比雪夫?yàn)V波器 6． 3 設(shè)計(jì) IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù) Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) H（ z），這歸根到底是一個(gè)由 S平面到 Z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則： 1） H（ z）的頻響要能模仿 Ha(s)的頻響，即 S平面的虛軸應(yīng)映射到 Z平面的單位圓上。由指定的技術(shù)指標(biāo) 利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，最關(guān)鍵的 2個(gè)參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù) N和 3dB 截止頻率 。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性 | ( )| ( )H j N? ?2 211? ?上式的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)為 ： ???????? NNjH 422 1|)(|12,2,1,0|)(| 02 ????? ?? NkjHddk? =0處函數(shù)對(duì) 2N— l階導(dǎo)數(shù)都等于零 —— 曲線在 =0附近是最 “ 平坦 ” ,—— 巴特沃思濾波器又叫做 “ 最大平坦濾波器 ” ? ? 歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性 2．設(shè)計(jì)過(guò)程 (a)按給定指標(biāo)確定階次 N 222 )( ?? ??? Nps)/l g ()]110/()110l g [(21)/l g ()/l g ( psAApspsN???????? ??)/l g ()110l g ()/l g ()l g ()/l g ()/l g ( csAcscssN?????????? ???實(shí)際計(jì)算時(shí)，要對(duì)上式求得的數(shù)值取整加 1。 模擬濾波器設(shè)計(jì) IIR濾波器的設(shè)計(jì)是基于模擬濾波器的成熟技術(shù)而完成的 簡(jiǎn)單介紹模擬濾波器設(shè)計(jì)的一些基本概念，并介紹兩種常用的濾波器的設(shè)計(jì)方法 ： ? 巴特沃思 (Butterworth)濾波器 ? 切比雪夫 (Chebyshev)濾波器 6． 2． 1模擬濾波器設(shè)計(jì)的基本概念 1 . 模擬濾波器的頻率特性與衰減特性 濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) ???? jssHjH |)()( 工程設(shè)計(jì)中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶的衰減 ， 它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來(lái)定義 dBjHjHA |)(|lg20|)(|lg10)( 2 ??????? 當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性 （ 延時(shí) τ 為常數(shù) ） 時(shí)濾波器的頻率特性為 H j H j e j( ) | ( )| ( )? ? ?? ? ???? ?? )(，2. 歸一化與頻率變換 采用歸一化參數(shù) ? 設(shè)計(jì)結(jié)果具有普遍性 ? 計(jì)算方便 歸一化包含： ? 電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無(wú)源元件的阻抗或運(yùn)算阻抗分別除以基準(zhǔn)電阻 (系統(tǒng)的負(fù)載電阻值 )。第 6章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波類型與指標(biāo) 模擬濾波器設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì) IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)計(jì) IIR濾波器的雙線性變換法 設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器頻率變換法 IIR數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 第 6章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 濾波的目的 ? 為了壓制輸入信號(hào)的某些頻率成分，從而改變信號(hào)頻譜中各頻率分量的相對(duì)比例 ? 廣義濾波包括對(duì)信號(hào)的檢測(cè)與參量的估計(jì) ?信號(hào)的檢測(cè) :確定在干擾背景中信號(hào)是否存在 ?信號(hào)參量的估計(jì) :為識(shí)別信號(hào)而確定信號(hào)的某一個(gè)或某幾個(gè)參量的估值 數(shù)字濾波類型與指標(biāo) 濾波技術(shù)包括 : ? 濾波器設(shè)計(jì) :根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)， ? 濾波過(guò)程的實(shí)現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對(duì)輸入信號(hào)的進(jìn)行濾波的目的 數(shù)字濾波器 ? 具有某種特定頻率特性的線性時(shí)不變系統(tǒng) ? 廣義上 ， 任何線性時(shí)不變離散系統(tǒng)都是一個(gè)數(shù)字濾波器 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的任務(wù) ? 尋求一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng) ， 使其系統(tǒng)函數(shù) H(z)具有指定的頻率特性 ???? ??0)()()(nnjezj enhzHeHj??????? ??0)()()(nnjezj enhzHeHj???對(duì)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)： )( ?jeH :濾波器的傳輸函數(shù) H(z):系統(tǒng)函數(shù) h(n) :濾波器的單位脈沖響應(yīng) )()()( ??? ? jj eHeH ?)]([Im)]([Re)( 22 ??? jj eHeHH ??)](R e [)](I m [)(???? jjeHeHa r c t g?)(?H ： 幅度響應(yīng) )(?? ： 相位響應(yīng) DF按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通 特點(diǎn)為 ?數(shù)字頻率以 周期 ?2?頻率特性只限于 范圍，依取樣定理， 對(duì)應(yīng)于實(shí)際模擬抽樣頻率的一半 ?? ?)( sfT ??????頻率變量以數(shù)字頻率 表示 其中 模擬角頻率， T