【正文】 ?????? NjjjH Nc帶入上式，得：?? js0)(1 2 ??? Ncjs?)12()1( ??? kje由于Nkes NNkjck 2,2,12/)12( ???? ?? ?分析討論 ?c在歸一化頻率的情況 =1， 極點(diǎn)均勻分布在單位圓上 Nkes NNkjk 2,2,12/)12( ??? ?? ?對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) ,它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在 s的左半平面上 ②系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù) )(1)(1iNissAsH????對于低通濾波器 ， 為了保證在頻率零點(diǎn) =0處 ， =1， 可取 ?|)(| ?jH????NiiN sA1)1()()1()(1 iiNiNssssH??? ??因此得 例 621舉例說明系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器 ， 使其滿足以下指標(biāo) : 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB， 阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dB p?Ap s?As解 :由于通帶邊頻就是 3dB 截止頻率，即 cp ???1110 ??? pA? ??? sA?確定階次 N ， )/l g ( )/l g ( ?????csN ?? 3?N取求左半平面的極點(diǎn) : s e kk c j k N N? ?? ?? ( ) / , ,2 1 2 1 2 3?,3/21 ?jc es ?? ,2 ?jc es ?? s ec j3 2 3? ?? ? /得極點(diǎn)： 構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) H(s)為 H s s s ss s s s s s s s scc c c( ) ( )( )( )? ?? ? ? ? ? ? ?1 2 31 2 333 2 2 32 2?? ? ?相對截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) ?c H sa ( )H s s s sa ( ) ? ? ? ?12 2 13 2③一般 N階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) 表示 H ss s a s a s a s saiNiNN N( )( )???? ? ? ? ?????1 1111 2211?是 =1時的極點(diǎn)，分布在單位圓上 si ?c分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過查表求得 ,見表 521 表 621 巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù) N a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 表 622 巴特沃思多項(xiàng)式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 項(xiàng) 式 1 s+1 2 s2++1 3 (s+1)(s2+s+1) 4 (s2++1)(s2++1) 5 (s+1)(s2++1)(s2++1) 6 (s2++1)(s2 ++1)(s2 ++1) 7 (s+1)(s2++1)(s2++1)(s2++1) 8 (s2++1)(s2++1)(s2++1)(s2++1) 9 (s+1)(s2++1)(s2+s+1)(s2++1)(s2++1) 上述歸一化公式和表格是相對 3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術(shù)指標(biāo) 利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)時，最關(guān)鍵的 2個參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù) N和 3dB 截止頻率 。 N用來求巴特沃思多項(xiàng)式， 用來反歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。 ssPp AA , ???c?c?c6． 2． 3 切比雪夫?yàn)V波器 6． 3 設(shè)計(jì) IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù) Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) H（ z），這歸根到底是一個由 S平面到 Z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個基本原則： 1） H（ z）的頻響要能模仿 Ha(s)的頻響，即 S平面的虛軸應(yīng)映射到 Z平面的單位圓上。 2） Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成 H（ z）后保持不變，即 S平面的左半平面 Re{S}＜ 0 應(yīng)映射到 Z平面的單位圓以內(nèi) |Z|1。 1．脈沖響應(yīng)不變法 原理： 從時域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) h(t)的抽樣值。 nTtthnh ?? )()(1( ) ,( ) [ ]Hsh t L H s??如 果 已 知則 有 ： （ ）則可由下式求的 H（ z）： )]([)]([)( nThZnhZzH ??下面討論兩種常用的映射變換方法。 方法 ：將 H(s)表示為部分分式形式 kkNk ssAsH?? ?? 1)(? 其拉氏反變換為 ? 得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) ? 對上式兩邊取 Z變換得 )()(1tueAth tskNkk?????????NknTskNknTsk nueAnTueAnhkk11)()()()(11 1)( ?? ?? ? zeAzH Ts kNk k（ 623） 根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系 ??????????? ??maa mTjsHTsH?21)(?推導(dǎo)理想采樣信號的拉氏變換與采樣序列的 Z 變換之間存在的 S 平面與 Z 平面的映射關(guān)系。 ?? ?? ???????????????????????????nn s TnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()(])()([)(?aaaa?????????nnznhzH )()(sTez ?s平面與 z平面的映射關(guān)系 以上表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時，它所完成的 S 平面到 Z 平面的變換，正是拉氏變換到 Z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對 Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到 Z 平面上。 STez? 如果模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是穩(wěn)定的，其極點(diǎn)應(yīng)位于左半平面 11 1)( ?? ?? ?zeAzHTskNkk0][ ?ke sR 對應(yīng) Z平面的極點(diǎn)有 1?? Tsk kez 位于單位園內(nèi)。因此 H(z)是一個穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)，這說明由一個穩(wěn)定的模擬濾波器得到了一個穩(wěn)定的數(shù)字濾波器 穩(wěn)定性 映射關(guān)系 ?j?jT?2???? jsrez j ?? ,令Ter T ??? ?? ,則S平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將重疊地 映射到 Z平面的整個平面上 : 每一橫帶的左半部分映射到 Z平面單位圓以內(nèi)， 每一橫帶的右半部分映射到 Z平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上， 軸上每一段 都對應(yīng)于 繞單位圓一周。 T?2?j?0T??T?3T?3?T?)Im (zj)Re( z0?S 平面 Z 平面 ??? ~: ? 應(yīng)指出， Z=esT的映射關(guān)系反映的 是 Ha(s) 的周期延拓與 H（ Z）的關(guān)系，而不是 Ha(s) 本身與 H（ Z）的關(guān)系 ，因此，使用脈沖響應(yīng) 不變法時，從 Ha(s)到 H(z)并沒有一個由 S平 面到 Z平面的一一對應(yīng)的簡單代數(shù)映射關(guān)系， 即沒有一個 S=f(z)代數(shù)關(guān)系式。 還可看到，數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn)模擬濾 波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓： ? ? ?????? ?? ????? TmjjHTeH amj ??? 21? ? ?????? ?????? ???mez mTjsHTsHzH ST?21)(?aa如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率之內(nèi)，即 這樣數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能等于模擬濾波器的頻率響應(yīng) H j Ts( )? ? ?? ? ?0 2 ?H e T H j Tj( ) ( )? ? ? ?? ?1但任何一個實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都 不可能是真正帶限的，因此不可避免地存 在頻譜的交疊，即混淆，如圖，這時，數(shù) 字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的 頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響 在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小， 這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾 波器才能得到良好的效果。 ????????)( ?jeH)( TjH a ?00脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混淆 注意：高通和帶阻濾波器一定不能滿足避免頻率混迭要求，將會產(chǎn)生混疊 脈沖響應(yīng)不變法不適合用來設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器。 例 將一個具有如下系統(tǒng)函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化 。 解： 3111)3)(1(2)(??????? sssssHTT ezezzH 311 1111)(???? ????243131)(1)(?????????????zeeezeezTTTTT模擬濾波器的頻率響應(yīng)為 : 示于圖 a ???????????? ?? 4)3(2)3)(1(2)()(2 jjjsHjHa js數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為 : 顯然 與采樣間隔 T有關(guān) ,如圖 b, T越小 ,衰減越大 ,混疊越小 ,當(dāng) fs=24Hz ,混疊可忽略不計(jì) ,為什么混迭呢 ? ????? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj ????????? ??????)( ?jeH3．幾點(diǎn)修正 1）、消去 T的影響 H e T H j Tj( ) ( )? ? ? ?? ?1由 上 式可見， 數(shù)字頻率響應(yīng)與模擬頻率響應(yīng)的第一差別是具有一個乘法因子 (1/T)= fS，當(dāng)采樣頻率 fS很高時，將會使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對 下 式作修正 ： nTtthnh ?? )()(h n Th t t nT( ) ( )? ?令 2）、直接用數(shù)字頻率表示的求 H(z)的公式 在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中 ， 因模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化低通原型 ， 其濾波器 3dB點(diǎn)截止頻率都?xì)w一化在 ? c ? 1H sa ( )原因：可將設(shè)計(jì)公式及有關(guān)參數(shù)表格化，使之更通用。我們只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。 H sa ( )?c當(dāng)濾波器的實(shí)際截止頻率不等于 1時，須進(jìn)行所謂反歸一化，以 (s/ )代替 中的 s， 即實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(s)應(yīng)為 H s H sa c( ) ( / )? ?H s H s As sAs sa c kNkc k kNk ck c( ) ( )( / )? ????? ?? ?? ???1 1H s H sa c( ) ( / )? ?1()Nkak kAHsss????為模擬歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn) skH z Z Th t TAe zkNk cs Tk c( ) [ ( )]? ? ????111??有由 ,Tcc ???H zAe zkNk cs k c( ) ? ????111??例 531利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個 4階巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器，滿足以下指標(biāo) (A) 若采樣周期 T=10μ s， 求實(shí)際模擬截止頻率 fc， (B) 3dB截止頻率 = 弧度 。 k H zfsr a dfT cccc 10