【正文】 帶阻高通)(jaΩH)(jaΩH)(jaΩH0 00c重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ４ 第三節(jié) 數(shù)字濾波器的設(shè)計要求 濾波器的指標(biāo)常常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù) )( jweH 一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為： )()(|)()( wjjwezjw eeHzHeH jw ?? ?? （式 14） 其中， | )( jweH |稱為幅頻特性函數(shù)，Φ (w)稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各 頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時間上的延時情況。一般 IIR 數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應(yīng)函數(shù)| )( jweH |來描述設(shè)計指標(biāo)，相頻特性一般不作要求。 IIR 濾波器指標(biāo)參數(shù)如下圖所示。圖中，ω p 和ω s 分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；δ 1 和δ 2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用 dB數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（ dB）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（ dB）分別為αp和α s表示： 1111 11lg2022lg20 ???? ???????pa （式 15） 2lg20 ???sa （式 16） 一般要求： 當(dāng) p?? ??0 時，pjw aeH ?? )(lg20； 當(dāng) ??? ?? 時， )(lg20 jweHa s ?? 。 圖 12 低通濾波器的技術(shù)要求 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ５ 第 二 章 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計方 法 IIR數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 )()(1)(10zxzrzazbZH NkkkMkkk????????? （ 式 21） 假設(shè) M≤ N，當(dāng) M＞ N時 ,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個 IIR的子系統(tǒng)和一個 (MN)的 FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計實際上是求解濾波器的系數(shù) ka 和 kb ， 它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在 S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在 z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。 第一節(jié) IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計 一般有兩種方法：一個是借助模擬濾波器的設(shè)計方法進行。其設(shè)計步驟是，先設(shè)計模 擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因為模擬濾波器的設(shè)計方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時域內(nèi)進行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計時需要計算機做輔助設(shè)計。 其設(shè)計步驟是：先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù) )(sHa ，然后將 )(sHa 按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。這是因為模擬濾波器的設(shè)計方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計公式， 還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。 為了保證轉(zhuǎn)換后的 )(zH 穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求 : (1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性， s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。 利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器的過程是： 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ６ (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率 p? 、通帶最大衰 減 p? 、阻帶截止頻率 s? 、阻帶最小衰減 s? 。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計過渡模擬低通濾波器。 (4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器 )(sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計 流程圖如下： 圖 21 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟流程圖 成熟的模擬濾波器設(shè)計方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 第二節(jié) 用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器 一、 設(shè)計原理 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響 應(yīng)序列 h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng) ha(t)，即將 ha(t)進行等間隔采樣，使 h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT) 式中 ,T是采樣周期。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換， H(z)為 h(n)的 Z 變換，利用采樣序列的 Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系得 )(ZfS? 數(shù)字濾波器 技術(shù)指標(biāo) 模擬濾波器 技術(shù)指標(biāo) 數(shù)字濾波器 )(ZH 模擬濾波器 )(SHa 模擬濾波器 設(shè)計方法 變換 )(?g?? 變換 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ７ ?? ????????? ?????? ????? k ak sagz kTjsXTjksXTzX xT ?21)(1|)( (式 22) 則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的 S平面變換成數(shù)字濾波器的 Z平面，這個從 s到 z的變換 z=esT是從 S平面變換到 Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。 圖 22 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 由（ 22）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 ????? ?????? ?? k aj T kjHTeH ??? 21)( (式 23) 這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即 0)( ??jHa 2sT ???? ? (式 24) 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 ??????? TjHTeH ae j ?? 1)( ??? (式 25) 但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的， 變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真 。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 j?3 ?? / T?? / T－ 3?? / T－ ?? / To o? － 1 1jI m [ z ]R e [ z ]Z 平面S 平面重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ８ 圖 23脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)進行采樣，采樣頻率為 fs，若使 fs增加，即令采樣時間間隔（ T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 二、 脈沖響應(yīng)不變 法優(yōu)缺點 從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系 ω =Ω T。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通 或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會進一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。 － 3? － 2?… …)j(aΩH?oo－ ? 2 ? 3 ?? ? ＝ ? ? T)(ej?HTπ2TπTπTπ2－重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） ９ 第三節(jié) 雙線性變換法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器 一、 設(shè)計 原理 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因為從 S平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用 非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π /T～π /T之間，再用 z=esT轉(zhuǎn)換到 Z 平面上。也就是說，第一步先將整個 S 平面壓縮映射到 S1平面的 π /T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 z=es1T將此橫帶變換到整個 Z平面上去。這樣就使 S平面與 Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 23所示。 圖 24雙線性變換的映射關(guān)系 為了將 S平面的整個虛軸 jΩ 壓縮到 S1平面 jΩ 1軸上的 π /T到π /T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) ????????? 2tan2 1TT （ 式 26） 式中 ,T仍是采樣間隔。 當(dāng) Ω 1 由 π /T 經(jīng)過 0 變化到 π /T 時， Ω 由 ∞經(jīng)過 0 變化到 +∞，也即映射了整個 jΩ 軸。將式（ 26）寫成 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj ????????? （ 式 27） 將此關(guān)系解析延拓到整個 S平面和 S1平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，則得 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １０ TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs ????????????????? a 112/2/2/2/ （ 式 28） 再將 S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? （ 式 29） 從而得到 S平 面和 Z 平面的單值映射關(guān)系為： 11112????? zzTs （ 式 210） sTsTsTsTz?????? 222121 （ 式 211） 式（ 210）與式（ 211）是 S平面與 Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換 式（ 26）與式（ 210）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求。 首先 ,把 z=ejω ，可得 ???????????? ?? jTjeeTs jj 2t a n2112 ??? （ 式 212） 即 S平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓。 其次，將 s=σ +jΩ 代入式（ 212），得 ???????jTjTz??22 （ 式 213） 因此 222222???????? ????????? ????TTz （ 式 214） 由此看出，當(dāng) σ 0 時， |z|1；當(dāng) σ 0 時， |z|1。也就是說， S 平面的左半平面映射到 Z平面的單位圓內(nèi)， S平面的右半平面映射到 Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計（論文） １１ 二、 雙線性變換法優(yōu)缺點 雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為 S 平面與 Z 平面是單值的 一一對應(yīng)關(guān)系。 S 平面整個 jΩ 軸單值地對應(yīng)于 Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（ 210）所示，重寫如下： ???????? 2tan2 ?T （ 式 215） 上式表明， S平面上 Ω 與 Z平面的 ω 成非線性的正切關(guān)系，如圖 24 所示。 由圖 24看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng) Ω 進一步增加時， ω 增長得越來越慢，最后當(dāng) Ω →∞時，ω 終止在折疊頻率 ω =π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率 混疊現(xiàn)象。 圖 25雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（ 212）及圖 24所示。由于這種頻率之間的非