【文章內(nèi)容簡介】 必須取 a=(N1)/2 。 ???????0)(???jjdeeH|ω|≤ωc ωc|ω|≤π 例如，要求設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位 FIR數(shù)字低通濾波器，假設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為： （ 739） 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 39 設(shè)截取的一段用 h(n)表示，則 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12d d Nh n h n w n h n R nN?????? ????理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗 hd( n )RN( n )h ( n )nnnooo( N － 1 ) / 2N － 1( N － 1 ) / 2 N － 1( a )( b )( c )1第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 40 分析窗口函數(shù)法對(duì)頻響產(chǎn)生的影響 ( ) ( )jj dH e H e??? 逼近程度 ?? ?????? deWeHeH jjdj )()(21)( )( ???? 根據(jù)復(fù)卷積定理，由 可得 ( ) ( ) ( )dh n h n w n?h(n)的頻率特性為： H(ejω)能否逼近 Hd(ejω)取決于窗函數(shù)的頻譜特性 W(ejω) （ 742） 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 41 這里選用矩形窗 RN(n)，其頻譜特性為 )2/s i n()2/s i n(11)( 2 110 ??????? NeeeeeW NjjNjNnnjjR?????? ??????? ????? ?幅頻特性和相頻特性為 ?? ? ?????? ??? 21)()(NjRjR eWeW（ 745） ?????10)()(Nnnjj enweW ??第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 42 )2/s i n()2/s i n()(??? NWR ?式中： 其中 ， WR(ω)是周期函數(shù) ， 主瓣寬度為 4π/N， 兩側(cè)有許多衰減振蕩的旁瓣 。 通常主瓣定義為原點(diǎn)兩邊第一個(gè)過零點(diǎn)之間的區(qū)域 。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 43 若將理想濾波器的頻率響應(yīng)也寫成 ?? ? ?????? ??? 2 1)()( Njdjd eHeH則其幅頻特性 ???????????????||0||1)(ccdH 將 式 （ 745） 和 式 （ 747） 代入 式 （ 742） ， 就可以得到實(shí)際設(shè)計(jì)的 FIR濾波器頻率響應(yīng)為： ???????????????????dWHedeWeHeHRdNjNjRNjdj)()(21)()(21)(21)(2121????????????? ????????? ???????? ???（ 747） 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 44 設(shè) ?? ? ?????? ??? 2 1)()( Njj eHeH則實(shí)際設(shè)計(jì)的 FIR濾波器的幅頻特性為 ?????? ??dWHH Rd )()(2 1)( ?? ?? 顯然 ， 對(duì)實(shí)際 FIR濾波器的幅頻特性 H(ω)有影響的只是窗函數(shù)的幅頻特性 WR(ω)。 實(shí)際 FIR濾波器的幅頻特性是理想低通濾波器的幅頻特性與窗函數(shù)的幅頻特性的卷積 。 （ 751） 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 45 卷積過程說明 : （ 1） ω =0 時(shí)的響應(yīng) H(0)，根據(jù)式（ 638），響應(yīng)應(yīng)該是圖中（ a）和 (b)兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，即 H(0)等于 WR(θ )在θ =ω c到 θ =+ω c一段的積分面積。通常 ω c2π/ N， H(0)實(shí)際上近似等于 WR(θ )的全部積分（ θ =π 到 θ =+π ）面積。 ?????? ?? dWHH Rd )()(2 1)( ?? ??第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 46 （ 2） ω=ωc時(shí)的響應(yīng) H(ωc)， Hd(θ)剛好與 WR(ωθ)的一半重疊，如圖 (c) 。因此卷積值剛好是 H(0)的一半，即 H(ωc)/H(0)=1/2，如圖（ f）。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 47 (4)當(dāng) 時(shí)， 主瓣全部在通帶外都在 Hd(θ)的 通帶（ |ω|≤ωc）之外，而通帶內(nèi)的旁瓣負(fù)的面積大于正 的面積，因而卷積結(jié)果達(dá)到最負(fù)值，頻響出現(xiàn)負(fù)肩峰。 2/c N? ? ???(3)當(dāng) 時(shí)， 的主瓣全部在 的通帶內(nèi)，這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。 2c N????? ()RW ??? ()dH ?第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 48 (6)當(dāng) 時(shí)， 的右邊旁瓣將進(jìn)入 的通 帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動(dòng)。 (5)當(dāng) 時(shí)，隨 增加， 左邊旁瓣的 起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通 帶內(nèi)的面積變化而變化，故 將圍繞著零值而波動(dòng)。 2c N????? ? ()RW ???()H ?()H ? ()RW ???2c N????? ()RW ???()dH ?()H? (0)H第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 49 綜上所述 ， 加窗函數(shù)處理后 ， 對(duì)理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響： （ 1） H(ω)將 Hd(ω)在截止頻率處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)曲線 ， 使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬 ， 形成一個(gè)過渡帶 ， 過渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng) WR(ω)的主瓣寬度 Δω=4π/N， 即正肩峰與負(fù)肩峰的間隔為 4π/N。 窗函數(shù)的主瓣越寬 ， 過渡帶也越寬 。 （ 2） 在截止頻率 ωc的兩邊即 ω=ωc177。 (2π/N)的地方 ， H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值 ， 肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩 ， 其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度 ， 而振蕩的多少 ， 則取決于旁瓣的多少 。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 50 （ 3） 改變 N， 只能改變窗譜函數(shù)的主瓣寬度 ， 改變 ω的坐標(biāo)比例以及改變 WR(ω)的絕對(duì)值大小 。 例如 ， 在矩形窗情況下 ， xxNNNWRs i n2/)2/s i n()2/s i n()2/s i n()( ????????式中， x=ωN/2。 當(dāng)截取長度 N增加時(shí) ， 只會(huì)減小過渡帶寬度 （ 4π/N） ， 但不能改變主瓣與旁瓣幅值的相對(duì)比例 。 同樣 ， 也不會(huì)改變肩峰的相對(duì)值 。 這個(gè)相對(duì)比例是由窗函數(shù)形狀決定的 ， 與 N無關(guān) 。 換句話說 ， 增加截取窗函數(shù)的長度 N只能相應(yīng)的減少過渡帶 ， 而不能改變肩峰值 。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 51 由于 肩峰值的大小直接影響通帶特性和阻帶衰減 ， 所以對(duì)濾波器的性能影響較大 。 例如 , 在矩形窗情況下 ， 最大相對(duì)肩峰值為 %， N增加時(shí) ， 2π/N減小 ， 起伏振蕩變密 ， 最大相對(duì)肩峰值則總是 %， 這種現(xiàn)象稱為 吉布斯效應(yīng) 。 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 52 二 、 矩形窗截?cái)嘣斐傻募绶逯禐?%， 則阻帶最小衰減為 20 lg(%)=21 dB, 這個(gè)衰減量在工程上常常是不夠大的 。 為了加大阻帶衰減 ， 只能改變窗函數(shù)的形狀 。 只有當(dāng)窗譜逼近沖激函數(shù)時(shí) ， 也就是絕大部分能量集中于頻譜中點(diǎn)時(shí) ， H(ω)才會(huì)逼近Hd(ω)。 這相當(dāng)于窗的寬度為無限長 ， 等于不加窗口截?cái)?， 這沒有實(shí)際意義 。 從以上討論中看出 ， 窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇很關(guān)鍵 ， 一般希望窗函數(shù)滿足兩項(xiàng)要求： 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 53 （ 1） 窗譜主瓣盡可能地窄 ， 以獲取較陡的過渡帶 。 （ 2） 盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度 。 也就是能量盡量集中于主瓣 ， 這樣使肩峰和波紋減小 ， 就可增大阻帶的衰減 。 但是這兩項(xiàng)要求是不能同時(shí)都滿足的 。 當(dāng)選用主瓣寬度較窄時(shí) ， 雖然得到較陡的過渡帶 ， 但通帶和阻帶的波動(dòng)明顯增加； 當(dāng)選用最小的旁瓣幅度時(shí) ， 雖能得到平坦的幅度響應(yīng)和較小的阻帶波紋 ， 但過渡帶加寬 ， 也即主瓣會(huì)加寬 。 因此 , 實(shí)際所選用的窗函數(shù)往往是它們的折衷 。 在保證主瓣寬度達(dá)到一定要求的前提下 ， 適當(dāng)犧牲主瓣寬度以換取相對(duì)旁瓣的抑制 。 以上是從幅頻特性的改善對(duì)窗函數(shù)提出的要求 。 實(shí)際上設(shè)計(jì)的 FIR濾波器往往要求具有線性相位 ， 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 54 h(n)=hd(n)w(n) 因此 ， 除了要求 hd(n)滿足線性相位條件外 ， 對(duì) w(n)也要求長度 N有限 ， 且以 (N1)/2為其對(duì)稱中心 ， w(n)=w(N1n) 綜上所述 ， 窗函數(shù)不僅起截?cái)嘧饔?， 還能起平滑作用 ， 在很多領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用 。 因此 , 設(shè)計(jì)一個(gè)特性良好的窗函數(shù)有著重要的實(shí)際意義 。 設(shè)計(jì) FIR濾波器常用的窗函數(shù)有： 第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 55 1. 矩形窗 ???????01)()( nRnw N0≤n≤N1 其他 )2/s i n ()2/s i n ()()()(21??????NWeWeWRNjRjR???????? ??第 7章 有限長單位沖激響應(yīng) FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 56 2. 三角形（ Bartlett）窗 ??????????????????12112221012)(NnNNnNnNnnww(n)的傅里葉變換為 ????????????? ???????? ????????????????????????????????????? ??? 212212)2/s i n ()4/s i n (2)2/s i n (41s i n12)(NjNjjeNNeNNeW 近似結(jié)果在 N1