【正文】 窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影響 六種窗函數(shù)的基本參數(shù) 四、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟 1．確定希望逼近的濾波器的頻響函數(shù) Hd(ejω) 根據(jù) Hd(ejω)確定其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) hd(n) 22101( ) ( )M j k j k nMMMdkh n H e eM????? ?IDFT ( ) ( )Mdrh n h n r M?? ? ????RM(n) 1( ) ( )2jjddh n H e e d? ??? ?? ?? ?n (1) Hd(ejω)可封閉求解，則： (2) Hd(ejω) 不可封閉求解，對(duì) Hd(ejω) 從 ω=0?2?采樣 M點(diǎn)，采樣值為 Hd(ej2?k/M)， k=0,1,…,M 1，用 2?/M 代替上式中 dω ，則： (3) 如果已知通帶 (或阻帶 )衰減和邊界截止頻率 ωc，選 理想濾波器 作為逼近函數(shù)，對(duì)理想濾波器頻響函數(shù)作 IFT ，求出 hd(n)。其中 w(n)是上面選擇好的窗函數(shù)， hd(n)與 w(n)都應(yīng)滿足線性相位要求。 缺點(diǎn)是： 要求用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，邊界頻率不易控制。 改進(jìn)措施： 增大 N值 ， 使設(shè)計(jì)出的濾波器愈逼近待設(shè)計(jì) Hd(ejω)。 誤差分析 ： (1)增大 N值， 但間斷點(diǎn)仍無(wú)法彌補(bǔ)，帶來(lái)體積增大，成本增加。 例： 試用頻率采樣設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)一個(gè) FIR線性相位低通濾波器，已知：ωc =， N=51。 Hk＝ 1 0≤k≤12 和 39≤k≤50 13≤k≤38 0 ?(k) = ? ?k(N1)/N＝－ 50?k/51 由幅度和相位特性，得到 FIR DF的采樣值為 H(k)＝ Hkej?k ＝ e－ j50?K/51 0≤k≤12 和 39≤k≤50 13≤k≤38 0 畫(huà)出 |Hd(ejw)|， |Hd (k)|的曲線如下圖所示 20lg|H(ejw)|曲線如下圖所示 Ne1)jwe(H Nωj=－ 1 20 110121 ( )()12( ) ( ) ( )1sin( /2)()sin( /2)N Njk NNjkNjz HkHzN ezHe Hk kNN eN????????? ?? ????????? ? ?????ωjkN eW1)k(H－ 頻率采樣法特點(diǎn)： 優(yōu)點(diǎn)： (1) 可以在頻域直接進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且適合于最優(yōu)化設(shè)計(jì)； (2) 特別適合于設(shè)計(jì)窄選頻濾波器，因?yàn)橹挥猩贁?shù)幾個(gè)非零值的H(k)，因而設(shè)計(jì)計(jì)算量小。 FIR濾波器 優(yōu)點(diǎn) ：可以得到嚴(yán)格的線性相位。 在語(yǔ)音通信中，對(duì)相位線性特性要求不高，可以選用經(jīng)濟(jì)高效的 IIR濾波器實(shí)現(xiàn) ；而在圖像通信中，對(duì)相位的線性特性要求較高，則要用稍為復(fù)雜的 FIR濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn) 。 IIR和 FIR數(shù)字濾波器的比較 2．結(jié)構(gòu)方面： ? IIR濾波器采用 遞歸型結(jié)構(gòu) ，極點(diǎn)要控制在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)才確保穩(wěn)定，缺點(diǎn)是有限字長(zhǎng)效應(yīng)時(shí)，有 寄生振蕩 ； ? FIR采用 非遞歸型結(jié)構(gòu) ，由于 FIR的單位沖激響應(yīng) h(n)有限長(zhǎng)，可采用 FFT運(yùn)算，其運(yùn)算速度快，誤差?。? 3. 設(shè)計(jì)工具方面： ? IIR濾波器的設(shè)計(jì)可借助于模擬濾波器的成果 ,由于有有效的封閉設(shè)計(jì)公式和圖表供選擇，計(jì)算工作量小 ,計(jì)算工具要求不高 ； ? FIR濾波器設(shè)計(jì)沒(méi)有封閉形式的公式和圖表，一般 FIR設(shè)計(jì)只有按照計(jì)算程序進(jìn)行，故對(duì) 計(jì)算工具要求較高 。 1．性能方面： IIR濾波器 ：傳輸極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)任何地方。 解： 在 0～ ～ 2π處的幅度函數(shù)為 1，其余為 0 。過(guò)渡帶的優(yōu)化要借助于計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)。 ? 在采樣點(diǎn)間， H(ejω)由有限項(xiàng) H(k)與 ?(ω 2?k/N)之乘積和形成，其誤差與Hd(ej ω)平滑度有關(guān)，越平滑，誤差越小。 單位脈沖響應(yīng) hd(n)為 : 1 s i n ( ( ))()2 ( )ccj a j n cdnah n e e dna? ??????????????? )an(π)]an( i n[=1 s i n ( ( ))()2 ( )ccj a j n cdnah n e e dna? ???????????????,()0,jacjdceHe ?? ??? ? ??? ??? ?????,()0,ja cjdceHe ?? ??? ? ??? ???? ????,()0,jacjd ceHe?? ??????? ????????,()0,ja cjd ceHe ?? ??? ? ??? ??? ?????｛ 解 ： 理想濾波器的頻響為： 計(jì)算得： hd(n)＝ {… ， 0， 1/9π， 0，－ 1/7π， 0， 1/5π， 0，－ 1/3π， 0， 1/π， ， 1/π， 0， 1/3π， 0， 1/5π， 0， 1/7π， 0， 1/9π， 0 ， …} n=0 加矩形窗： h(n)=hd(n).RN(n) h(n)＝ { 0， ， 0， ， 0， ， 0， ， 0， ， ， ， 0， ， 0， ， 0， ， 0， ， 0 } h(n)＝ {0， 1/9π， 0，－ 1/7π， 0， 1/5π， 0，－ 1/3π， 0， 1/π， ， 1/π， 0， 1/3π， 0， 1/5π， 0， 1/7π， 0， 1/9π， 0 } 20lg|H(ω)/H(0)|曲線如下： 正肩峰 A點(diǎn)： ωc 2π/N＝ 2π/21 20lg() = 臨界頻率 B點(diǎn)： ωc＝ 20lg() = 6dB 負(fù)肩峰 C點(diǎn)： ωc＋ 2π/N＝ ＋ 2π/21 20lg() = 21dB 過(guò)渡帶 A~C寬度為： ωc＋ 2π/N－ (ωc2π/N) = 4π/N = 一、頻率采樣法基本原理 設(shè) Hd(ejω) 為所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，則 : 在 ?=???? 范圍內(nèi)對(duì) Hd(ejω) 進(jìn)行 N點(diǎn)等間隔采樣，得到 Hd(k) 用頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR濾波器 2210( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 11( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1jddkDN j k nNdkH k H e k Nh n H k e k NN? ??????? ? ??? ?? ? ??? ??2210() ( ) , 0,1,2, , 11() () , 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHk He k Nhn Hke k NN? ??????? ? ??? ?? ? ??? ??2210() ( ) , 0,1,2, , 11() () , 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHkHe k Nhn Hke k NN? ??????? ? ?? ?? ? ?? ??2210() ( ) , 0,1,2, , 11() () , 0,1,2, , 1jddkDN j knNdkHkHe khn Hke k NN? ??????? ? ?? ?? ? ?? ??2210( ) ( ) , 0 , , 2 , , 11( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1jdd kDN j k nNdkH k H e k Nh n H k e k NN???????? ? ??? ?? ? ??? ??2210( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 11( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1jdd kDN j k nNdkH k H e k Nh n H k e k NN???????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??對(duì) N點(diǎn) Hd(K)進(jìn)行 IDFT，得所設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n) 3．對(duì)求出的 h(n)進(jìn)行 z變換，得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z) 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?120 11 ( )()1N Ndjkk Nz H kHzN ez ?? ?? ?????或利用頻域內(nèi)插公式（ P88） Hd(ejω) Hd(k) h(n) H(ejω) 等間隔采樣 IDFT 內(nèi)插函數(shù) 是否滿足指標(biāo) 二、線性相位的約束 (1) 第一類線性相位： h(n)偶對(duì)稱， N為奇數(shù) kNNkNNk ??? 122 1 ???????kk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2???? ?? 2 1)( )()()( ???? Njjj eHeHeH特點(diǎn)： 幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=0， π， 2π偶對(duì)稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk關(guān)于 N/2偶對(duì)稱，即： Hk= HNk ? 相位采樣值： (2) 第一類線性相位： h(n)偶對(duì)稱， N為偶數(shù) kNNkNNk ??? 122 1 ???????kk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2???? ?? 2 1)( )()()( ???? Njjj eHeHeH特點(diǎn)： 幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=π奇對(duì)稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk關(guān)于 N/2奇對(duì)稱，即： Hk= HNk ，且 HN/2 =0 ? 相位采樣值： (3) 第二類線性相位： h(n)奇對(duì)稱， N為奇數(shù) 212221 ????? ????????? kNNkNNkkk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2)22 1()( )()()( ????? ?? ????? Njjj eHeHeH特點(diǎn)： 幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=0， π， 2π奇對(duì)稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk奇對(duì)稱，即： Hk= HNk ? 相位采樣值： (4) 第二類線性相位： h(n)奇對(duì)稱， N為偶數(shù) 212221 ????? ????????? kNNkNNkkk jkjkNj eHekNHeHkH??? ???? )2()()(2)22 1()( )()()( ????? ?? ????? Njjj eHeHeH特點(diǎn)： 幅度函數(shù) H(ω)關(guān)于 ω=π偶對(duì)稱， H (ω) = H(2?? ω) 采樣值： ? Hk偶對(duì)稱，即： Hk=HNk ? 相位采樣值： （ 2） h(n)偶對(duì)稱， N為偶數(shù)時(shí)： 設(shè)計(jì)方法： 用理想濾波器作為逼近濾波器 ， 截止頻率為 ωc， 采樣點(diǎn)數(shù)為 N，則 Hk和 θk的計(jì)算公式為： （ 1） h(n)偶對(duì)稱， N為奇數(shù)時(shí)： Hk = HNk = 1， k=0， 1， … ， kc； Hk = 0， k= kc+1， kc+2， … ， Nkc1； kNNk ?? 1???k=0， 1， … ，