【正文】 [ 33 nRnn n ppp ??? ??2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return (6)由 h(n)求 H(ejω)，檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿足要求，如不滿足要改變 N或改變窗形狀重新計(jì)算。 jjdeeHn 0 )2 1Nn(h d ??(N1)/2 N1 這樣將 hd’(n)加窗后， w(n)是偶對稱因果序列，所以 h(n)也是偶對稱因果序列，對稱中心在 ?=(N1)/2。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ?????p?? ???? nn nnh cd )( ])s in [ ()(39。 （如不滿足需重新設(shè)計(jì)） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ?????p??nnnnh cd )s in()(n 0 hd(n) 根據(jù) h(n)=hd(n)w(n)， w(n)與h(n)都為 0~N1，且對稱中心為 (N1)/2，所以要求對 hd(n)進(jìn)行移位，才能得到正確的 h(n) 注 意 前面介紹窗函數(shù)的理論時(shí)的分析，雖然是針對矩形窗，但其基本原則 和 所得結(jié)論 對于采用其他窗時(shí)也完全適合。 ⑷ 求得所設(shè)計(jì)的 FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)。 ⑵ 其次 求 其反變換，得到無限長序列 hd(n) 。 ⑸ 二階升余弦窗 一 布萊克曼 (Blackman)窗 為了進(jìn)一步抑制旁瓣，可以對升余弦窗再加一個(gè)二次諧波的余弦分量，這樣得到窗函數(shù)為： ????? ????p??p??e ls e 01n0 14c o s 12c o )(NNnNnnw顯然，漢寧窗和哈明窗可以統(tǒng)一表示為 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 布萊克曼 )14()14()12()12()()(?p????p????p????p??????NWNWNWNWWWRRRRR可得到更低的旁瓣，但 主瓣寬度 加寬到矩形窗的三倍 (12p/N) 各種窗函數(shù)的比較： 1 w(n) n 0 N1 (N1)/2 矩形窗 三角形 哈明 漢寧 其幅度頻譜為： 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 矩形窗 函數(shù)的傅氏變換 （ N=51） 旁瓣峰值衰減 13dB 主瓣寬度 4p/N （書表達(dá)不準(zhǔn)） 理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)， ?c＝ 過渡帶 阻帶最小衰減 21dB a 矩形窗 參見書 P158表 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 三角形窗 函數(shù)的傅氏變換 （ N=51） 旁瓣峰值衰減 25dB 主瓣寬度 8p/N 理想低通濾波器加窗后 的幅度響應(yīng)， ?c＝ 過渡帶 阻帶最小衰減 25dB b 三角形 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 漢寧窗 函數(shù)的傅氏變換 （ N=51） 旁瓣峰值衰減 31dB 主瓣寬度 8p/N 理想低通濾波器加窗后 的幅度響應(yīng)， ?c＝ 過渡帶 阻帶最小衰減 44dB c 漢寧窗 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 哈明窗 函數(shù)的傅氏變換 （ N=51） 旁瓣峰值衰減 41dB 主瓣寬度 8p/N 理想低通濾波器加窗后 的幅度響應(yīng)， ?c＝ 過渡帶 阻帶最小衰減 53dB d 哈明窗 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 布萊克曼窗 函數(shù)的傅氏 變換 (N=51) 旁瓣峰值衰減 57dB 主瓣寬度 12p/N 理想低通濾波器加窗后 的幅度響應(yīng)， ?c＝ 過渡帶 11p/N 阻帶最小衰減 74dB e 布萊克曼窗 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 以上幾種窗函數(shù)都是以一定的 主瓣加寬為代價(jià) 來 換取 某種程度的 旁瓣抑制 。 由于 偶對稱 ，所以相位函數(shù)都一樣 三、 幾種常用窗函數(shù) ? 這里介紹幾種常見窗函數(shù)，它們的長度均設(shè)為 N， N可以是奇數(shù)或偶數(shù)，但 w(n)都是 偶對稱 的。一般來說，若選擇的窗函數(shù)頻譜旁瓣較小，其主瓣就必定較大，因此常常要根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行折衷的選擇。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 因此， 窗口法 設(shè)計(jì) FIR濾波器 ? h(n)長度 N可以影響過渡帶的寬度，而所選 窗函數(shù) 不僅可以影響過渡帶寬度，還能影響肩峰和波動(dòng)的大小，因此選擇窗函數(shù)應(yīng)使其頻譜滿足： ① 主瓣寬度盡可能小，以使過渡帶盡可能陡； ② 旁瓣相對于主瓣越小越好，這樣可使肩峰和波動(dòng)減小。不同窗函數(shù)的頻譜旁瓣情況不向，因此肩峰及波動(dòng)與所選窗函數(shù)有關(guān)。 ② 肩峰及波動(dòng) ：這是由窗函數(shù)頻譜的旁瓣引起的。 下圖表示了 H(ejω)在 ? 由 p～ p范圍內(nèi)變化的情況 ? p ～ 0的情況與 0～ p對稱； H(ejω)以 2p 為周期 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 出現(xiàn)的這些差異與哪些出素有關(guān)？ ① 過渡帶 ：正負(fù)肩峰之間為過渡帶，其寬度等于窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度（此過渡帶與濾波器真正的過渡帶還有一些差別，濾波器真正的過渡帶要小一些）對于矩形窗頻譜 WR(ejω)，此寬度為 4π/N。 ⑷ 當(dāng) ?=?c+2p/N時(shí) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 由圖可知，加了矩形窗后所到的 FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)與理想的頻響 Hd(ejω)之間產(chǎn)生了差異，表現(xiàn)在 H(ejω)出現(xiàn)了肩峰、過渡帶以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)，這就是所謂的吉布斯現(xiàn)象 。 整個(gè)主瓣仍在區(qū)間內(nèi)，而面積最大且為負(fù)值的旁瓣有一個(gè)已完全移出區(qū)間，故此時(shí) H(ej?)取最大值約為 H(ej0) ，此處稱為 上臂峰 或 正肩峰 。 因而得到頻率響應(yīng) H(ejω) ?? ? ?? ???p p? ???? ?p??p? c c deWdeWeH jRjRjd ][2 1][)(2 1 )()(2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 當(dāng) ?逐漸增大，隨著圖中不同正負(fù)，不同大小的旁瓣 移出和移入積分區(qū)間，使得 H(ej?)的大小產(chǎn)生波動(dòng)。 2π/N之內(nèi)為一個(gè) 主瓣 ，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣。 2p ω |Hd(ejω)| 2p p p 0 ?c ?c p???p??p? ??????pp???nndedeeHnh cjnjnjddcc)s in (21)(21)(2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 此沖激響應(yīng)是無限長，但要求的是 有限長沖激響應(yīng)濾波器 ，要由 hd(n)得到 FIR濾波器的沖激響應(yīng) h(n)，最直接的方法就是將 hd(n)截短，即令（假設(shè) N為奇數(shù)） ?????p?? nn nnh cd )s in()(????? ??e ls e 021N|n| ( n))( dhnhn 0 hd(n) 21N21N?h(n) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return )()()( nwnhnh Rd ?? ????? ??e ls e 021N|n| 1)( nw R這樣便得到了 FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng) h(n)，但此濾波 器的頻率響應(yīng) H(ejω)肯定與理想濾波器的頻率響應(yīng) Hd(ejω) 有 差異 。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 167。在應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)實(shí)際需要選用合適類型的 FIR濾波器，同時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)要遵循有關(guān)的 約束條件 。 因而他們的基本因子為： 21111 )1(1)1)(1()( ????? ????? zzrrzzzzzH iiiii ??用線性相位 FIR濾波器 直接型結(jié)構(gòu) 實(shí)現(xiàn) (N=3) Re(z) jIm(z) z平面 1 0 zi zi1 ?i＝ 0 “＋ ”號表示零點(diǎn)在負(fù)半軸，“ － ”號表示零點(diǎn)在正半軸 ⑶ 零點(diǎn) zi在實(shí)軸上，但不在單位圓上 如圖 ri≠1， ?i＝ 0或 ?i＝ π 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return jIm(z) z平面 Re(z) 1 0 1 這時(shí)零點(diǎn)只能有兩種情況，z=1 或 z= 1， 因而他們的基本因子為： )z1()z(H 1i ???“＋ ”號表示零點(diǎn)在 z=1處，“ － ”號表示零點(diǎn)在 z=1 用線性相位 FIR濾波器 直接型結(jié)構(gòu) 實(shí)現(xiàn) (N=2) ⑷ 零點(diǎn) zi既在實(shí)軸上，又在單位圓上 如圖 ri＝ 1， ?i＝ 0或 ?i＝ π 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 線性相位 FIR濾波器的零點(diǎn) 只能有以上四種情況 ? 那么線性相位 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)也可能由以上這四種因子組合 而構(gòu)成。 因而他們的基本因子為： ijii erz ?? ijii erz ??? ?ijii erz??? ? 1)( 1ijii erz??? ? 11分以下幾種情況 ? 設(shè)零點(diǎn) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 43211)( ???? ????? zazbzazzH iiiirra ???? c o s)1(2 2iii rrb ???? c o s412其中 上式可用線性相位 FIR濾波器 直接型結(jié)構(gòu) 實(shí)現(xiàn) (N=5) ])(1)[1)(1)(1()( 111111 ???????? ????? zzzzzzzzzH iiiii或化成兩個(gè)實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式（把共軛對因子相乘） 用線性相位 FIR濾波器 級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 實(shí)現(xiàn) 化簡后為 xi(n) z1 z1 a b yi(n) z1 z1 a 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return jIm(z) z平面 Re(z) 1 0 zi zi* iji ez ?? iji ez ??? ?ij1i e)z( ??? ?ij1i ez ??? ?這時(shí) 零點(diǎn)的共軛值就是它的倒數(shù) 。 h(N1n) )( 1)1( ????? zHz N2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return )()( 1)1( ????? zHzzH N )()( )1(1 zHzzH N ?? ??或 ① 若 z=zi 是 H(z)的零點(diǎn)，即 H(zi