【正文】 ：長度 N的改變只能改變 ω坐標(biāo)的比例以及窗函數(shù)頻譜WR(ejω) 的絕對大小，不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，因而也就不能改變肩峰和波動的相對大小，也就是說，增大 N，只能使通、阻帶內(nèi)振蕩加快，振蕩幅度卻不減小。 ? 但對窗函數(shù)的這兩個要求總不能兼得，它們是相互制約的。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return )()()( ??? ?? jj eWeW?????? 2 1)( N因此，我們只需考察 w(n)和 W(?)的表示式即可。 ? w(n)的頻譜可以表示為： 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? ??e ls e 021N|n| 1)( nw R2s in2s in)(????NeW jR以上為對稱中心在 n＝ 0處的 非因果矩形窗 其頻譜為 ω 0 2p/N 2p/N WR(ejω) π 1 wR(n) n 0 (N1)/2 (N1)/2 ⑴ 矩形窗 前面討論的矩形窗函數(shù)為 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 1 wR(n) n 0 N1 (N1)/2 ??? ????e ls e 01n0 1)( NnwR)()( ??? nwnw NRwR(n)對稱中心移到了 (N1)/2，這 相當(dāng)于 wN(n)有了 ?=(N1)/2的延時 因此頻譜變?yōu)?: )()( ????? ? jNjjR eWeeW2s i n2s i n21???????NeNjω 0 2p/N 2p/N WR(ω) π 2s i n2s i n)(????NW R?????? 2 1)( N將矩形窗右移 主瓣寬度為 4π/N 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????????????1n21)(N21)(Nn0 1)(Nn22 1)(Nn2)(Nnw 1 w(n) n 0 N1 (N1)/2 ???? ??????????????????? ??????????? 2122s i n41s i n12)(Njj eNNeW頻譜為： 當(dāng) N1時 ???? ??????????????????? ????????? 2122s i n4s i n2)(Njj eNNeW主瓣寬度為 8π/N ⑵ 三角形窗 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????????????????p?el s e 01n0 12co s121)(NNnnw1 w(n) n 0 N1 (N1)/2 ???? ??p????p????? 2 1)]12()12()([)( NjRRRj eNWNWWeW頻譜為： 當(dāng) N 1時，幅度頻譜近似為： )2()2()()( NWNWWW RRR p???p??????⑶ 升余弦窗 ——漢寧 (Hanning)窗 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 頻譜特性如圖，由于這三部分頻譜的相加，使總頻譜的旁瓣大大抵銷，從而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，但其代價是使 主瓣 與矩形窗主瓣相比加寬了一倍，為 8p/N W(?) 0 ω － 4p/N 4p/N ω 0 2p/N 2p/N 4p/N 4p/N (ω) )2()2()()( NWNWWW RRR p???p??????(ω2p/N) (ω+2p/N) W(ω) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? ????p??e ls e 01n0 12c o )(NNnnw)12()12()()( ?p????p?????? NWNWWW RRR其幅度頻譜為： 當(dāng) N1時 )2()2()()( NWNWWW RRR p???p??????可將 99． 963%的能量集中在主瓣內(nèi)，而主 瓣寬度 仍與漢寧窗 相同 (8p/N)，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1% ⑷ 改進(jìn)的升余弦窗 ——哈明 (Hamming)窗 ? 對升余弦窗加以改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的效果，窗函數(shù)為： 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? ????p?????e ls e 01n0 12c o s)1()(NNnnw漢寧窗 ?＝ ；對于哈明窗 ?＝ 。 ⑹ 凱塞窗 (Kaiser) ? 凱塞窗本身就可以全面地反映主瓣寬度與旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，它可以通過某一參數(shù)的調(diào)整在二者之間自由地選擇它們的比重（略） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 四、 設(shè)計方法 ⑴ 首先 給定 所要求的頻率響應(yīng)函數(shù) Hd(ejω)。 ⑶ 由 過渡帶 及 阻帶最小衰減 的要求，利用表 ， 選定 窗函數(shù) w(n)的形狀及 N的大小，一般 N要通過幾次試探而確定。 h(n) = hd(n)w(n) ⑸ 求 H(ejω)，檢驗是否滿足設(shè)計要求。只是所涉及的序列都是以 n=0為對稱中心的，即都是非因果的，但實際中，所要求的濾波器都應(yīng)當(dāng)是因果的，即要求 h(n)為因果序列 (0~N1)。 ?????? ????阻帶通帶 0 )(39。 H(ejω)=H(?)ej?(ω) ， H(?)與對稱中心在 n=0的 hd(n)的頻譜一樣，但 ??????21)( N將 hd(n)對稱中心移至 ?=(N1)/2，相當(dāng)于 延時 ? （ N為奇數(shù)） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 例 721：設(shè)計一個線性相位 FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為Ws=2p 104(rad/s)，通帶截止頻率為 Wp=2p 103(rad/s)，阻帶截止頻率 Wst=2p 3 103(rad/s)，阻帶衰減 d2不小于 50dB。 H(ejω)圖形如下，滿足要求。 注意：確定 N時只能取奇數(shù)。當(dāng) ?1 =0 、 ?2 = ?c 時，即為理想低通，當(dāng) ?1 = ?c 、 ?2 =p時，即為理想高通。 H(p)=0 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 167。 頻率取樣法 則是從頻域出發(fā)，以有限個頻率響應(yīng)抽樣，去近似理想的頻率響應(yīng)。 我們對理想頻率響應(yīng) Hd(ejω)進(jìn)行取樣，即 在各頻率抽樣點上，濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格的和理想頻率響應(yīng)數(shù)值對應(yīng)，但是在抽樣點之間的頻率響應(yīng)則是由各抽樣點的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)疊加形成，因而有一定的逼近誤差。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ω 0 2p/N Hd(ejω) H(ejω) H(k) ω 0 H(ejω) Hd(ejω) 取樣點之間理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想，逼近誤差越小。 。 所以有 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return )11( Nkk ?p???因為 H(?)在 0～ 2p是 ?的奇函數(shù)，且以 2p為周期 ， 即有 H(?) = － H(2p－ ?) 那么樣值也為奇對稱 H(2pk/N) = － H(2p－ 2pk/N)， 即 Hk＝－ HN－ k （第三類和第四類濾波器以此類推） 對于第二類線性相位 FIR濾波器，即 h(n)偶對稱， N為偶數(shù) ?k即同樣滿足 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return Im[z] Re[z] 0 1 N=12 1 2p/N Im[z] Re[z] 0 1 N=11 1 2p/N 二、 頻率取樣的兩種方法 ? 對 Hd(ejω)進(jìn)行頻率抽樣，就是在 z平面單位圓上的 N個等間隔點上抽取出頻率響應(yīng)值。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ω 0 Hd(ejω) Hk Hc1 ?c 增加兩個過渡點時，阻帶最小衰減可提高到 － 60dB～－ 75dB 過渡帶寬 6p/N ω 0 Hd(ejω) Hk Hc1 Hc2 ?c 增加一個過渡點時，阻帶最小衰減可提高到 － 40dB～－ 54dB 過渡帶寬 4p/N 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ω 0 Hd(ejω) Hk Hc1 Hc2 ?c Hc3 一般來說，增加三個過渡點即可滿足設(shè)計結(jié)果，它是以增加過渡帶寬度為代價的。但增大 N會使濾波器階次增高，計算量增大。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 167。例，頻率抽樣法設(shè)計阻帶衰減為－ 20dB的 FIR濾波器，其階數(shù)要 33階才能達(dá)到，而用雙線性變換法設(shè)計只需 4～ 5階的切比雪夫 IIR濾波器即可達(dá)到指標(biāo)要求，所以 FIR濾波器的階數(shù)要高 5～ 10倍左右。因而，如果 IIR濾波器要得到線性相位，又要滿足幅度濾波的技術(shù)要求，必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，這同樣會大大增加濾波器的階數(shù)。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return FIR濾波器 主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，因而無論是從理論上還是從實際的有限精度的運算中它都是 穩(wěn)定 的，有限精度運算的誤差也較小。 對于 FIR濾波器 ，由于沖激響應(yīng)是有限長的，因而 可以用快速傅里葉變換算法 ，這樣運算速度可以快得多。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 從設(shè)計上看， IIR濾波器利用模擬濾波器設(shè)計的 現(xiàn)成的閉合公式、數(shù)據(jù)和表格 ，因而 計算工作量較小 ，對計算工具要求不高。 一般 FIR濾波器設(shè)計 僅有計算機程序可資利用，因而要借助于計算機 。 FIR濾波器則 要靈活得多，例如頻率抽樣設(shè)計法， 可適應(yīng)各種 幅度特性及相位特性的 要求 ，因而 FIR濾波器可設(shè)計出理想正交變換器、理想微分器、線性調(diào)頻器等各種網(wǎng)絡(luò)，適應(yīng)性較好，而且目前已有許多 FIR濾波器的計算機程序可供使